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浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故二次函数的顶点坐标为．
故选：B．
【分析】
根据二次函数的相关性质，对于顶点式形式的二次函数，它的顶点坐标为，利用这个结论来解答本题.
2．下列事件中是随机事件的是 (　　)
A．太阳从东边升起
B．水中捞月
C．抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上
D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上，是随机事件，符合题意；
D、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据事件发生的可能性大小判断.
3．已知圆O外一点A 到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A是⊙O外的一点，
∴点A点圆心O的距离大于⊙O的半径，
∵点A到圆心O的距离为4，
∴⊙O的半径小于4，
∴圆O的半径可能是3，而不可能是4或5或6，故A符合题意，而B、C、D都不符合题意，
故答案为：A .
【分析】由点A是⊙O外的一点，点A到圆心O的距离为4，可知⊙O的半径小于4，可判断A符合题意，而B、C、D都不符合题意，于是得到问题的答案.
4．如图，在中，，，且，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
按照平行线分线段成比例定理，可以推出比例式，再将已知的数值代入比例式计算就能得到对应结果.
5．如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰内接于圆O，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再结合等边对等角得到∠ACB的度数，最后根据三角形内角和定理计算出最终结果.
6．将抛物线 先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为(　　)
A．- 1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，得到新抛物线为 -2，即
∵新抛物线经过原点，
故答案为：D .
【分析】利用平移的规律得到新抛物线的解析式，代入原点坐标即可求得a的值.
7．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，且，
∴二次函数为，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解.
8．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，连接，
∴，
∵，，是圆O的直径，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
故选：A
【分析】
过点O作于点E，连接，根据垂径定理可以得到，在中，结合特殊角的三角函数值可以推出，进而证得，最后利用弧长公式即可完成计算.
9．如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵的坐标为，线段平行于轴，，
故点的坐标为，
若线段的端点在抛物线上，
联立方程组，得，
整理得，
解得，，
即当、时，线段的端点在抛物线上，
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段的端点在抛物线上，
此时线段与抛物线有两个交点，
故．
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段与抛物线有一个交点．
若线段的端点在抛物线上，
即，
整理，得，
解得，（舍去）；
即当时，线段与抛物线有一个交点．
结合函数图象可得，
当时，线段端点在抛物线上，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段与抛物线有两个交点，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段的端点在抛物线上，
综上，的取值范围为或．
故选：D．
【分析】
根据线段AB平行于x轴及点A坐标，确定B点坐标及线段AB所在直线的方程，将线段AB与抛物线有一个交点转化为关于x的一元二次方程在特定区间内有唯一实数根的问题，然后分两种情况讨论：方程有两个相等实根（相切）或方程有两个不等实根但仅有一个在区间内即可解答.
10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图：
∵点的坐标是，，
∴，，
∴，
故是等腰直角三角形，
∴，，
故，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∵点是弦的中点，
∴，
故点是在以点为圆心的圆上，
当点、、三点共线时，的值最小；
此时．
故选：C．
【分析】
连接、，先过点作，交于点；再过点作，交于点；接着过点作，交于点，最后连接，先根据垂径定理可以得到，再结合等腰直角三角形的性质与勾股定理，计算得到，，再根据“两点之间，线段最短”这一结论可知，当点、、三点共线时，的长度可以取得最小值，由此即可完成求解.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若正n边形的一个外角是，则　 　.
【答案】10
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：因为正多边形的每一个外角都相等，
所以．
故答案为：10．
【分析】利用多边形的外角和定理：多边形的外角和360°，正多边形的性质：每个内角相等，再利用邻补角的性质，即可求出n的值．
12．一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是 则袋子中一共有　 　个球.
【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中一共有x个球，
∵随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是
解得x=8，
经检验x=8是方程的解，
∴袋子中一共有8个球.
故答案为：8.
【分析】设袋子中一共有x个球，由概率公式列式求解即可.
13．如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
第一种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
第二种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
【分析】
先根据题意画出对应图形，分情况进行讨论，借助垂径定理与勾股定理先计算出的长度，进而得到的长度，最后再次结合勾股定理就能求解出的长度.
14．如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上，
故，，
∴，
∵，
∴，
故，
∵，
∴，
即，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
由旋转的性质可知，，且；再根据等边对等角的性质，可得。接着结合平行线的性质与平角的定义，可推导出，再依据等边三角形的判定与性质得到，最后结合三角形内角和定理即可完成求解.
15．已知点在二次函数的图像上，当时，总有成立，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为点 在二次函数 的图象上，
所以，
当 时，总有 成立，即，
整理得，
由于，不等式两边同时除以，
得，即，
对于所有， 恒成立，
故不大于的最小值，当 时，取得最小值，
因此，
故答案为：．
【分析】
已知点在该二次函数的图象上，将点坐标代入二次函数解析式可得，结合条件，整理后可以得到，题目给出，即m恒为正数，因此不等式两边可以同时除以m，化简得到。该不等式需要对区间内的所有m都成立，因此变形可得对所有符合条件的m成立，即a小于等于在区间内的最小值。当时，的最小值为，因此可得.
16．如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，如图：
∵将弦顺时针旋转得到弦，
故，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∵，，，，
∴，，
∴，，
设，
故，，
即，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故，
解得，
即，，
在中，．
故答案为：．
【分析】
连接并延长，交圆于点，依次连接、、，与交于点。首先由旋转的性质，可以得到；再根据“直径所对的圆周角为直角”，可得，借助勾股定理计算得到和的长度。接下来结合“同圆中等弧所对的圆周角相等”，推导出角的关系，得到，再根据相似三角形的判定与性质，得到线段关系，，，最后利用线段和差关系列出方程，解出未知数的值，结合勾股定理即可求出最终结果.
三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17． 已知线段a， b， 满足
（1） 求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且(a=4时，求x的值.
【答案】（1）解：∵a， b满足
设a=4k，b=9k，
则原式
（2）解：当a=4时，
∵线段x是a，b的比例中项，
∵线段x>0，
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据比例的性质求解即可；
(2)根据比例中项的定义，即可得到 再根据 即可求解.
18．如图，已知二次函数图象经过点和点
（1）求该二次函数的解析式
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围
【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；

（2）抛物线的对称轴为，∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法，将和点 代入函数解析式即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数图象及其性质即可得到结论．
（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
19．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
【答案】解：设用A、B、C分别表示“向”、“未”、“来”，列表如下：
第一次
第二次
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数有6种，
∴小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表得到所有等可能结果，再找到符合要求的结果数，根据概率公式计算解答可．
20．如图，在扇形中，，于点D，求的长．
【答案】解：∵在扇形中，，，∴，，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】
首先根据垂径定理可得，结合题意可推出圆的半径。接下来设，那么，最后利用勾股定理进行计算，即可求解本题.
21．如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：为直径，
，
，，
，
，
．
（2）解：作，垂足为．则，
，
．而，
是等边三角形．
，，
阴影部分的面积．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，结合已知条件、，可推出；再根据同弧所对圆周角相等，得到，由此即可计算出的度数；
（2）过圆心作，垂足为，根据垂径定理可得；之后结合图形中的角度与边长关系，可证明是等边三角形，最后分别计算出对应扇形和三角形的面积，即可求出阴影部分的面积.
（1）解：为直径，
，
，，
，
，
．
（2）解：作，垂足为．则，
，
．而，
是等边三角形．
，，
阴影部分的面积．
22．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
【答案】解：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意得
y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=，
∵a=-20＜0，
∴抛物线开口向下，当每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；
（2）)将y=6000代入y=(10+x)(500-20x)得(10+x)(500-20x)=6000，
解得x1=10，x2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5，
∴每千克应涨价为5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据利润=每千克利润×每天销售数量建立出y关于x的函数解析式，再根据函数的性质即可得到结果；
（2）把y=6000代入（1）所求的函数解析式，算出对应的自变量x的值，再根据题意进行取舍即可得出答案.
23．平面直角坐标系中，图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“竖直高”
（1）直接写出下列图形的“竖直高”
①，其中，，；
②如图，以原点为圆心，作弧，四边形内接于，平分，，，弧与线段围成的图形；
（2）如果抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，求实数a的值．
【答案】（1）解：①∵，，，∴纵坐标最大为，最小为，
∴的“竖直高”为；
②过点作于点E，
根据题意得，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即点的纵坐标为，
∴弧与线段围成的图形的“竖直高”为；
（2）解：设过点，的直线的解析式为，则，解得，
∴过点，的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立，即，
整理得，
∵，
∴，
解得，
则，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）①直接按照题目给出的“竖直高”的定义计算即可得到结果；②过点作于点E，根据直径所对圆周角为直角可得，先结合已知点坐标利用勾股定理算出，由此可得圆的半径，即可确定点A坐标为；再利用三角形面积公式求出的长度，结合点C的位置可得其纵坐标为，最后按照“竖直高”的定义计算即可；
（2）先根据已知条件求出一次函数的解析式，将一次函数与二次函数联立，求出两个交点的纵坐标。已知二次函数和直线围成图形的“竖直高”为4，根据抛物线的开口方向分和两种情况分别建立方程，解方程即可得到最终结果.
（1）解：①∵，，，
∴纵坐标最大为，最小为，
∴的“竖直高”为；
②过点作于点E，
根据题意得，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即点的纵坐标为，
∴弧与线段围成的图形的“竖直高”为；
（2）解：设过点，的直线的解析式为，
则，解得，
∴过点，的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立，即，
整理得，
∵，
∴，
解得，
则，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为．
24．如图，直径弦于点．
（1），．
①求半径长；
②如图，点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当线段过圆心时，求的面积；
（2）点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当，，时，求的面积．
【答案】（1）解：①如图，连接，
∵直径弦于点，
∴，，
设的半径长为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②当线段过圆心时，如图，则为的直径，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上取，过点作于，则，
∵，
∴，
∵直径弦于点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先连接，根据垂径定理可以得到。接下来设的半径为，那么，最后结合勾股定理就能计算出半径的长度；②当线段经过圆心时，对应图中情况，此时就是的直径，因此可得，且根据直径所对圆周角为直角可得，先利用勾股定理算出的长度，再进一步求出，即可得到最终结果；
（2）连接AB，在CF上截取CG，使CG的长度等于BF，即，再过点A作AH垂直于FC，垂足为H。首先计算FG的长度：。根据垂径定理可以得到AB=AC，结合截取的CG=BF，可证明，由全等三角形的性质可得AF=AG。又因为AH⊥FG，根据等腰三角形三线合一，可得H是FG的中点，因此，进一步计算CH可得：，最后利用勾股定理计算出AH的长度，即可完成求解.
（1）解：①如图，连接，
∵直径弦于点，
∴，，
设的半径长为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②当线段过圆心时，如图，则为的直径，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上取，过点作于，则，
∵，
∴，
∵直径弦于点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中是随机事件的是 (　　)
A．太阳从东边升起
B．水中捞月
C．抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上
D．三角形任意两边之和大于第三边
3．已知圆O外一点A 到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中，，，且，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线 先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为(　　)
A．- 1 B． C． D．
7．已知二次函数的顶点坐标为，若点，，在函数图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若正n边形的一个外角是，则　 　.
12．一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是 则袋子中一共有　 　个球.
13．如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为　 　．
14．如图，绕点顺时针旋转一定角度，得到，点的对应点恰好在线段上，且，若，则的度数为　 　．
15．已知点在二次函数的图像上，当时，总有成立，则a的取值范围是　 　．
16．如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17． 已知线段a， b， 满足
（1） 求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且(a=4时，求x的值.
18．如图，已知二次函数图象经过点和点
（1）求该二次函数的解析式
（2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围
19．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
20．如图，在扇形中，，于点D，求的长．
21．如图，在中，，．以AC为直径的交BC于点，交BA的延长线于点，连结CE，DE．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．
当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？
23．平面直角坐标系中，图形上任意两个点，其纵坐标分别是，，则称的最大值为图形的“竖直高”
（1）直接写出下列图形的“竖直高”
①，其中，，；
②如图，以原点为圆心，作弧，四边形内接于，平分，，，弧与线段围成的图形；
（2）如果抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，求实数a的值．
24．如图，直径弦于点．
（1），．
①求半径长；
②如图，点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当线段过圆心时，求的面积；
（2）点在弧上运动（点不与点和点重合），连接．当，，时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为，
故二次函数的顶点坐标为．
故选：B．
【分析】
根据二次函数的相关性质，对于顶点式形式的二次函数，它的顶点坐标为，利用这个结论来解答本题.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上，是随机事件，符合题意；
D、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据事件发生的可能性大小判断.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A是⊙O外的一点，
∴点A点圆心O的距离大于⊙O的半径，
∵点A到圆心O的距离为4，
∴⊙O的半径小于4，
∴圆O的半径可能是3，而不可能是4或5或6，故A符合题意，而B、C、D都不符合题意，
故答案为：A .
【分析】由点A是⊙O外的一点，点A到圆心O的距离为4，可知⊙O的半径小于4，可判断A符合题意，而B、C、D都不符合题意，于是得到问题的答案.
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
按照平行线分线段成比例定理，可以推出比例式，再将已知的数值代入比例式计算就能得到对应结果.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰内接于圆O，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再结合等边对等角得到∠ACB的度数，最后根据三角形内角和定理计算出最终结果.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，得到新抛物线为 -2，即
∵新抛物线经过原点，
故答案为：D .
【分析】利用平移的规律得到新抛物线的解析式，代入原点坐标即可求得a的值.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，且，
∴二次函数为，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
先根据抛物线的顶点坐标和确定二次函数的解析式，再分别将这三个点的坐标代入解析式，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，连接，
∴，
∵，，是圆O的直径，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长为．
故选：A
【分析】
过点O作于点E，连接，根据垂径定理可以得到，在中，结合特殊角的三角函数值可以推出，进而证得，最后利用弧长公式即可完成计算.
9．【答案】D
【知识点】平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵的坐标为，线段平行于轴，，
故点的坐标为，
若线段的端点在抛物线上，
联立方程组，得，
整理得，
解得，，
即当、时，线段的端点在抛物线上，
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段的端点在抛物线上，
此时线段与抛物线有两个交点，
故．
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段与抛物线有一个交点．
若线段的端点在抛物线上，
即，
整理，得，
解得，（舍去）；
即当时，线段与抛物线有一个交点．
结合函数图象可得，
当时，线段端点在抛物线上，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段与抛物线有两个交点，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段的端点在抛物线上，
综上，的取值范围为或．
故选：D．
【分析】
根据线段AB平行于x轴及点A坐标，确定B点坐标及线段AB所在直线的方程，将线段AB与抛物线有一个交点转化为关于x的一元二次方程在特定区间内有唯一实数根的问题，然后分两种情况讨论：方程有两个相等实根（相切）或方程有两个不等实根但仅有一个在区间内即可解答.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图：
∵点的坐标是，，
∴，，
∴，
故是等腰直角三角形，
∴，，
故，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∵点是弦的中点，
∴，
故点是在以点为圆心的圆上，
当点、、三点共线时，的值最小；
此时．
故选：C．
【分析】
连接、，先过点作，交于点；再过点作，交于点；接着过点作，交于点，最后连接，先根据垂径定理可以得到，再结合等腰直角三角形的性质与勾股定理，计算得到，，再根据“两点之间，线段最短”这一结论可知，当点、、三点共线时，的长度可以取得最小值，由此即可完成求解.
11．【答案】10
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：因为正多边形的每一个外角都相等，
所以．
故答案为：10．
【分析】利用多边形的外角和定理：多边形的外角和360°，正多边形的性质：每个内角相等，再利用邻补角的性质，即可求出n的值．
12．【答案】8
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中一共有x个球，
∵随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是
解得x=8，
经检验x=8是方程的解，
∴袋子中一共有8个球.
故答案为：8.
【分析】设袋子中一共有x个球，由概率公式列式求解即可.
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
第一种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
第二种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
【分析】
先根据题意画出对应图形，分情况进行讨论，借助垂径定理与勾股定理先计算出的长度，进而得到的长度，最后再次结合勾股定理就能求解出的长度.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在线段上，
故，，
∴，
∵，
∴，
故，
∵，
∴，
即，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【分析】
由旋转的性质可知，，且；再根据等边对等角的性质，可得。接着结合平行线的性质与平角的定义，可推导出，再依据等边三角形的判定与性质得到，最后结合三角形内角和定理即可完成求解.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为点 在二次函数 的图象上，
所以，
当 时，总有 成立，即，
整理得，
由于，不等式两边同时除以，
得，即，
对于所有， 恒成立，
故不大于的最小值，当 时，取得最小值，
因此，
故答案为：．
【分析】
已知点在该二次函数的图象上，将点坐标代入二次函数解析式可得，结合条件，整理后可以得到，题目给出，即m恒为正数，因此不等式两边可以同时除以m，化简得到。该不等式需要对区间内的所有m都成立，因此变形可得对所有符合条件的m成立，即a小于等于在区间内的最小值。当时，的最小值为，因此可得.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，如图：
∵将弦顺时针旋转得到弦，
故，
∵是直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∵，，，，
∴，，
∴，，
设，
故，，
即，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故，
解得，
即，，
在中，．
故答案为：．
【分析】
连接并延长，交圆于点，依次连接、、，与交于点。首先由旋转的性质，可以得到；再根据“直径所对的圆周角为直角”，可得，借助勾股定理计算得到和的长度。接下来结合“同圆中等弧所对的圆周角相等”，推导出角的关系，得到，再根据相似三角形的判定与性质，得到线段关系，，，最后利用线段和差关系列出方程，解出未知数的值，结合勾股定理即可求出最终结果.
17．【答案】（1）解：∵a， b满足
设a=4k，b=9k，
则原式
（2）解：当a=4时，
∵线段x是a，b的比例中项，
∵线段x>0，
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据比例的性质求解即可；
(2)根据比例中项的定义，即可得到 再根据 即可求解.
18．【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；

（2）抛物线的对称轴为，∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法，将和点 代入函数解析式即可求出函数解析式；
（2）根据二次函数图象及其性质即可得到结论．
（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，y取得最大值为：，
当时，，
当时，，
∴函数y的取值范围：．
19．【答案】解：设用A、B、C分别表示“向”、“未”、“来”，列表如下：
第一次
第二次
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数有6种，
∴小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表得到所有等可能结果，再找到符合要求的结果数，根据概率公式计算解答可．
20．【答案】解：∵在扇形中，，，∴，，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】
首先根据垂径定理可得，结合题意可推出圆的半径。接下来设，那么，最后利用勾股定理进行计算，即可求解本题.
21．【答案】（1）解：为直径，
，
，，
，
，
．
（2）解：作，垂足为．则，
，
．而，
是等边三角形．
，，
阴影部分的面积．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】
（1）由直径所对的圆周角为直角，可得，结合已知条件、，可推出；再根据同弧所对圆周角相等，得到，由此即可计算出的度数；
（2）过圆心作，垂足为，根据垂径定理可得；之后结合图形中的角度与边长关系，可证明是等边三角形，最后分别计算出对应扇形和三角形的面积，即可求出阴影部分的面积.
（1）解：为直径，
，
，，
，
，
．
（2）解：作，垂足为．则，
，
．而，
是等边三角形．
，，
阴影部分的面积．
22．【答案】解：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意得
y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=，
∵a=-20＜0，
∴抛物线开口向下，当每千克涨价7.5元时每天盈利最多，最多为6125元；
（2）)将y=6000代入y=(10+x)(500-20x)得(10+x)(500-20x)=6000，
解得x1=10，x2=5，
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5，
∴每千克应涨价为5元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据利润=每千克利润×每天销售数量建立出y关于x的函数解析式，再根据函数的性质即可得到结果；
（2）把y=6000代入（1）所求的函数解析式，算出对应的自变量x的值，再根据题意进行取舍即可得出答案.
23．【答案】（1）解：①∵，，，∴纵坐标最大为，最小为，
∴的“竖直高”为；
②过点作于点E，
根据题意得，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即点的纵坐标为，
∴弧与线段围成的图形的“竖直高”为；
（2）解：设过点，的直线的解析式为，则，解得，
∴过点，的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立，即，
整理得，
∵，
∴，
解得，
则，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；圆周角定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）①直接按照题目给出的“竖直高”的定义计算即可得到结果；②过点作于点E，根据直径所对圆周角为直角可得，先结合已知点坐标利用勾股定理算出，由此可得圆的半径，即可确定点A坐标为；再利用三角形面积公式求出的长度，结合点C的位置可得其纵坐标为，最后按照“竖直高”的定义计算即可；
（2）先根据已知条件求出一次函数的解析式，将一次函数与二次函数联立，求出两个交点的纵坐标。已知二次函数和直线围成图形的“竖直高”为4，根据抛物线的开口方向分和两种情况分别建立方程，解方程即可得到最终结果.
（1）解：①∵，，，
∴纵坐标最大为，最小为，
∴的“竖直高”为；
②过点作于点E，
根据题意得，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即点的纵坐标为，
∴弧与线段围成的图形的“竖直高”为；
（2）解：设过点，的直线的解析式为，
则，解得，
∴过点，的直线的解析式为，
设直线与抛物线交点坐标为，，
联立，即，
整理得，
∵，
∴，
解得，
则，
∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点坐标为，
∵与抛物线与经过点，的直线围成的图形“竖直高”是4，矛盾，
∴在之间，即，
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
当时，则，
整理得，即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
综上，实数a的值为．
24．【答案】（1）解：①如图，连接，
∵直径弦于点，
∴，，
设的半径长为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②当线段过圆心时，如图，则为的直径，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上取，过点作于，则，
∵，
∴，
∵直径弦于点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）先连接，根据垂径定理可以得到。接下来设的半径为，那么，最后结合勾股定理就能计算出半径的长度；②当线段经过圆心时，对应图中情况，此时就是的直径，因此可得，且根据直径所对圆周角为直角可得，先利用勾股定理算出的长度，再进一步求出，即可得到最终结果；
（2）连接AB，在CF上截取CG，使CG的长度等于BF，即，再过点A作AH垂直于FC，垂足为H。首先计算FG的长度：。根据垂径定理可以得到AB=AC，结合截取的CG=BF，可证明，由全等三角形的性质可得AF=AG。又因为AH⊥FG，根据等腰三角形三线合一，可得H是FG的中点，因此，进一步计算CH可得：，最后利用勾股定理计算出AH的长度，即可完成求解.
（1）解：①如图，连接，
∵直径弦于点，
∴，，
设的半径长为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为；
②当线段过圆心时，如图，则为的直径，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上取，过点作于，则，
∵，
∴，
∵直径弦于点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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