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浙江省杭州市拱墅区大成岳家湾实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若（a，b均不为0），则的值是（　　）
A．2 B．3 C．2：3 D．3：2
【答案】D
【知识点】求比值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a=b，然后求比值即可.
2．“一个仅装有红球的不透明布袋只有颜色不同中摸出一个白球”这一事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．必然事件 D．随机事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“一个仅装有红球的不透明布袋只有颜色不同中摸出一个白球”这一事件是不可能事件，
故答案为：A.
【分析】根据不可能事件的定义“在一定条件下不可能发生的事件是不可能事件”解题即可.
3．若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（　　）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【分析】
抛物线在平移的过程中，开口大小和方向都不会发生改变，因此二次项系数a保持不变，由此即可得到a=1.
4．两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 两枚同样的硬币同时抛出，落地后朝上一面会出现的结果数有：正正，反反，正反，反正，四种情况，
∴两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是.
故答案为：B.
【分析】用列举法列举出两枚同样的硬币同时抛出，落地后朝上一面会出现的所有等可能的结果数，进而找出落地后一个正面朝上、一个反面朝上的结果数，从而根据概率公式即可算出答案.
5．在比例尺为：的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是千米（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：，两地间的实际距离是2×1500000=3000000米=30千米，
故答案为：C.
【分析】根据比例尺的定义计算，然后换算单位即可.
6．某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
【分析】设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，由题意可得，，且半径，设，根据垂径定理可得，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
根据平行线分三角形相似的定理：平行于三角形一边，且与三角形另外两边或另外两边的延长线相交的直线，截得到的新三角形的三边，和原三角形的三边对应成比例，以此来进行计算求解.
8．以下点可能成为二次函数 顶点的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解： 二次函数 中 ，
， ，
顶点坐标为 ，
可能成为函数顶点的是 ，
故答案为：A.
【分析】根据顶点坐标公式把顶点坐标用含m的代数式表示，因为m是m2的一个平方根，据此关系找出符合条件的选项即可
9．如图，在中，点D在边AB上，交AC于点E．连接BE，交AC于点F．若，，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设EF=x，
∵，
∴△ADE∽△ABC，△DFE∽△BEC
∴，
∴，解得：，（舍去）
∴AE=
∵
∴
∴
故选：B．
【分析】
设EF的长度为x，首先可以证明得到△ADE与△ABC相似，同时△DFE与△BEC也相似，之后可以利用相似三角形的性质，列出对应的比例关系式，进而求解出x的值.
10．已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵y1＝x2+1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2+1+，
∵0＜x＜1时，x2+1＞1且＞1，
∴y1-y2＞2，
∴A选项不符合题意；
B、∵y1＝x2+1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2+1-2x+1=（x-1）2+1，
∵0＜x＜1时，（x-1）2+1＞1，
∴y1-y2＞1，
∴B选项不符合题意；
C、∵y1＝x2-1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2-1+=x2+-1，
∵0＜x＜时，x2＞0且-1＞2，
∴y1-y2＞2，
∴C选项不符合题意；
D、∵y1＝x2-1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2-1-2x+1=（x-2）2-1
∵0＜x＜1时，-1＜（x-2）2-1＜0，
∴D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先分别表示每个选项两个函数的差的关系式，再利用不等式性质求得差值的范围，最后根据“亲函数”定义判断即可得出正确答案.
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在　 　．
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为4，点A到圆心O的距离为3，且，
∴点A在内，
故答案为：内．
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法：设点到圆心的距离为，对应圆的半径为，判定规则为：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，依据这个规则即可完成对题目的判断.
12．二次函数的顶点坐标是　 　.
【答案】(1，2)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）.
13．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据给出的比例关系，通过设参数的方式表示出各个未知数，再将参数代入待求的式子化简，就可以得到最终结果.
14．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应周长；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
故答案为：．
【分析】
设正方形网格中每一个小正方形的边长都为1，先根据勾股定理分别算出△EDF和△ABC各边的长度，再计算两组三角形对应边的比值，根据"三边对应成比例的两个三角形相似"判定△EDF∽△BAC，最后根据相似三角形的性质得到对应角相等，即可得出所求角的度数.
15．设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值．
1 2 3
0
则方程的解是　 　，不等式的解集是　 　．
【答案】或；或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴为直线．
∵当时，，
∴当时，，
∴方程的解是或．
∵当时，，
∴当时，．
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴不等式的解集是或．
故答案为：或；或．
【分析】
根据题目条件推导出二次函数的对称轴为直线，之后结合函数、方程和不等式的关系即可求出结果.
16．如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，延长交点为，
∵矩形，
∴，，，，
∵为的中点，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，延长DC、AF交点为G，由矩形性质得AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，由已知易得AE=1，BF=2，CF=1，从而可推出△ABF与△CFG都是等腰直角三角形，得CG=CF=1，由∠BAF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AF的长，由∠G的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出FG的长，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ANB∽△GND，△AME∽△GMD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AN、AM的长，最后根据MN=AN-AM计算可得答案.
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分）
17．已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和．
（1）求此二次函数解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：
解方程组得：
∴二次函数解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，所以该二次函数的图象开口向上，与轴的交点为、，
因此，当时，x的取值范围为：．
【分析】
（1）利用待定系数法把已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，从而确定二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的图象性质，抛物线的开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间．
（1）解：根据题意得：
解方程组得：
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，
所以该二次函数的图象开口向上，与轴的交点为、，
因此，当时，x的取值范围为：．
18．为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．
【答案】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：
由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，
∴三袋垃圾都投对的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法.
19．如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是．
（1）画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的；
（2）画出将绕点O逆时针旋转后的；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：由图可知，∴．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据题目要求作出平移后得到的即可完成本问。
（2）根据题目要求作出旋转90°后得到的即可完成本问。
（3）最后利用三角形面积公式计算面积即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：由图可知，
∴．
20．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）先由垂径定理得，再由等腰三角形三线合一得，最后再利用线段的和差关系即可；
（2）设圆的半径为r，则OF=r-2，再由垂径定理知CF=4，最后由勾股定理可得关于r的方程并求解即可.
（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
21．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．
（1）用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）①；②
（2）（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元
（3）（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①利润=售价-成本-降价，即（元）。
②根据题意，每天基础销售量为80组，每降价1元可增加4组销量，因此总销量表达式为（组）。
故答案为：①；②
【分析】本题重点考察一元二次方程的实际应用，解题关键在于理解题意并建立正确的数学模型。（1）利润计算需考虑售价、成本和降价因素；销量计算需结合基础销量与降价带来的增量。
（2）根据利润关系建立方程，求解即可。
（3）设每日利润为，建立二次函数解析式并化为顶点式，可求得最优解。
（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元．
22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【答案】解：（1）∵四边形EGHF为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x，
在正方形EFHG中，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴即，
解得：x=48，
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时，，
，
，
当x=60时，
长方形的面积最大为2400．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题以锐角三角形内加工正方形和矩形零件为背景，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及二次函数求最值。
（1）由EF∥BC直接得△AEF∽△ABC。
（2）设正方形边长为x，利用相似三角形对应高之比等于相似比列方程求解。
（3）设矩形长x、宽y，由相似得，面积表示为二次函数，利用顶点坐标求最大值。
23．已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：．
【答案】（1）解：由题意可知，
∴，
∴，
∴，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解方程可得：；
（3）证明：由题意可知抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线为：，
∵在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵是这条抛物线上不同的两点，
∴，
∴
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）将代入给定的二次函数解析式，之后将二次函数配方整理为顶点式，即可得到对应的结果；（2）首先根据二次函数平移的规律，得到平移之后新二次函数的解析式，再结合新函数的图象和x轴只有一个交点，也就是判别式为0的条件，列出方程，求解方程就能得到对应的值；
（3）根据题意可以得出就是抛物线的顶点，由此可以推出抛物线的对称轴为直线，根据对称轴公式计算就可以得到a的值；再把点代入抛物线的解析式，整理后可以得到关系式，根据这个关系式就可以推出对应结论.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解方程得：；
（3）解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线为：，
∵在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵是这条抛物线上不同的两点，
∴，
∴
∴．
24．如图，在中，，为上的点，过作，过作，，交于点，已知，．
（1）证明：；
（2）若，请求出的长；
（3）连结，记，与面积的差为．若存在实数，，（其中），当或时，的值都为．求实数的取值范围．
【答案】解：（1），，，
，，
，
；
（2）如图，过点作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
解得，
则；
（3），，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
解得，
则，
，，
的取值范围是．
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；尺规作图-作三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据题目中的已知条件，可得知，，再根据相似三角形的判定即可解答；
（2）通过作辅助线，首先作， 则有， 可得到四边形是矩形，即可得，，根据第一问的结论，可得，可求得，根据可得答案；
（3）根据第二问的相似三角形可得，可求得，再根据DEBC，证，进而得，据此求得，；最后根据二次函数的性质可得的取值范围．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区大成岳家湾实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．若（a，b均不为0），则的值是（　　）
A．2 B．3 C．2：3 D．3：2
2．“一个仅装有红球的不透明布袋只有颜色不同中摸出一个白球”这一事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．必然事件 D．随机事件
3．若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（　　）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
4．两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
5．在比例尺为：的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是千米（　　）
A． B． C． D．
6．某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．以下点可能成为二次函数 顶点的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点D在边AB上，交AC于点E．连接BE，交AC于点F．若，，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
10．已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在　 　．
12．二次函数的顶点坐标是　 　.
13．已知，则　 　．
14．如图，若与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则与的周长比为　 　．
15．设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了、的部分对应值．
1 2 3
0
则方程的解是　 　，不等式的解集是　 　．
16．如图，矩形的边长，为的中点， F在边上，且，分别与相交于点M，N，则的长为　 　．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分）
17．已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和．
（1）求此二次函数解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
18．为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．
19．如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是．
（1）画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的；
（2）画出将绕点O逆时针旋转后的；
（3）求的面积．
20．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，求的半径．
21．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．
（1）用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
22．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
23．已知二次函数，
（1）若，求函数的对称轴和顶点坐标．
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点是这条抛物线上不同的两点，求证：．
24．如图，在中，，为上的点，过作，过作，，交于点，已知，．
（1）证明：；
（2）若，请求出的长；
（3）连结，记，与面积的差为．若存在实数，，（其中），当或时，的值都为．求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求比值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得a=b，然后求比值即可.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“一个仅装有红球的不透明布袋只有颜色不同中摸出一个白球”这一事件是不可能事件，
故答案为：A.
【分析】根据不可能事件的定义“在一定条件下不可能发生的事件是不可能事件”解题即可.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【分析】
抛物线在平移的过程中，开口大小和方向都不会发生改变，因此二次项系数a保持不变，由此即可得到a=1.
4．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 两枚同样的硬币同时抛出，落地后朝上一面会出现的结果数有：正正，反反，正反，反正，四种情况，
∴两枚同样的硬币同时抛出，落地后一个正面朝上、一个反面朝上的概率是.
故答案为：B.
【分析】用列举法列举出两枚同样的硬币同时抛出，落地后朝上一面会出现的所有等可能的结果数，进而找出落地后一个正面朝上、一个反面朝上的结果数，从而根据概率公式即可算出答案.
5．【答案】C
【知识点】比例的性质；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：，两地间的实际距离是2×1500000=3000000米=30千米，
故答案为：C.
【分析】根据比例尺的定义计算，然后换算单位即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米，
∴，，且半径，
设，在中，，，
∴，解方程得，，
∴拱桥的半径为，
故选：．
【分析】设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，由题意可得，，且半径，设，根据垂径定理可得，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
【分析】
根据平行线分三角形相似的定理：平行于三角形一边，且与三角形另外两边或另外两边的延长线相交的直线，截得到的新三角形的三边，和原三角形的三边对应成比例，以此来进行计算求解.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解： 二次函数 中 ，
， ，
顶点坐标为 ，
可能成为函数顶点的是 ，
故答案为：A.
【分析】根据顶点坐标公式把顶点坐标用含m的代数式表示，因为m是m2的一个平方根，据此关系找出符合条件的选项即可
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设EF=x，
∵，
∴△ADE∽△ABC，△DFE∽△BEC
∴，
∴，解得：，（舍去）
∴AE=
∵
∴
∴
故选：B．
【分析】
设EF的长度为x，首先可以证明得到△ADE与△ABC相似，同时△DFE与△BEC也相似，之后可以利用相似三角形的性质，列出对应的比例关系式，进而求解出x的值.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵y1＝x2+1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2+1+，
∵0＜x＜1时，x2+1＞1且＞1，
∴y1-y2＞2，
∴A选项不符合题意；
B、∵y1＝x2+1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2+1-2x+1=（x-1）2+1，
∵0＜x＜1时，（x-1）2+1＞1，
∴y1-y2＞1，
∴B选项不符合题意；
C、∵y1＝x2-1，y2＝-，
∴y1-y2＝x2-1+=x2+-1，
∵0＜x＜时，x2＞0且-1＞2，
∴y1-y2＞2，
∴C选项不符合题意；
D、∵y1＝x2-1，y2＝2x-1，
∴y1-y2＝x2-1-2x+1=（x-2）2-1
∵0＜x＜1时，-1＜（x-2）2-1＜0，
∴D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先分别表示每个选项两个函数的差的关系式，再利用不等式性质求得差值的范围，最后根据“亲函数”定义判断即可得出正确答案.
11．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为4，点A到圆心O的距离为3，且，
∴点A在内，
故答案为：内．
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法：设点到圆心的距离为，对应圆的半径为，判定规则为：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，依据这个规则即可完成对题目的判断.
12．【答案】(1，2)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）.
13．【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，，，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据给出的比例关系，通过设参数的方式表示出各个未知数，再将参数代入待求的式子化简，就可以得到最终结果.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应周长；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设正方形网格的边长为1，
由勾股定理得：
DE2＝22+22，EF2＝22+42，
∴DE＝2，EF＝2；
同理可求：AC＝，BC＝，
∵DF＝2，AB＝2，
∴，
∴△EDF∽△BAC，
∴与的周长比为：，
故答案为：．
【分析】
设正方形网格中每一个小正方形的边长都为1，先根据勾股定理分别算出△EDF和△ABC各边的长度，再计算两组三角形对应边的比值，根据"三边对应成比例的两个三角形相似"判定△EDF∽△BAC，最后根据相似三角形的性质得到对应角相等，即可得出所求角的度数.
15．【答案】或；或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴为直线．
∵当时，，
∴当时，，
∴方程的解是或．
∵当时，，
∴当时，．
∵当时，随的增大而增大，
∴，
∴不等式的解集是或．
故答案为：或；或．
【分析】
根据题目条件推导出二次函数的对称轴为直线，之后结合函数、方程和不等式的关系即可求出结果.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，延长交点为，
∵矩形，
∴，，，，
∵为的中点，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵AB∥CD
∴，
∴，即，
解得，，
同理，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，延长DC、AF交点为G，由矩形性质得AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，由已知易得AE=1，BF=2，CF=1，从而可推出△ABF与△CFG都是等腰直角三角形，得CG=CF=1，由∠BAF的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AF的长，由∠G的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出FG的长，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△ANB∽△GND，△AME∽△GMD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AN、AM的长，最后根据MN=AN-AM计算可得答案.
17．【答案】（1）解：根据题意得：
解方程组得：
∴二次函数解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，所以该二次函数的图象开口向上，与轴的交点为、，
因此，当时，x的取值范围为：．
【分析】
（1）利用待定系数法把已知点的坐标代入二次函数解析式，得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，从而确定二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的图象性质，抛物线的开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间．
（1）解：根据题意得：
解方程组得：
∴二次函数解析式为；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，
所以该二次函数的图象开口向上，与轴的交点为、，
因此，当时，x的取值范围为：．
18．【答案】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：
由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有6种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，
∴三袋垃圾都投对的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：由图可知，∴．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据题目要求作出平移后得到的即可完成本问。
（2）根据题目要求作出旋转90°后得到的即可完成本问。
（3）最后利用三角形面积公式计算面积即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：由图可知，
∴．
20．【答案】（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的实际应用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）先由垂径定理得，再由等腰三角形三线合一得，最后再利用线段的和差关系即可；
（2）设圆的半径为r，则OF=r-2，再由垂径定理知CF=4，最后由勾股定理可得关于r的方程并求解即可.
（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
21．【答案】（1）①；②
（2）（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元
（3）（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①利润=售价-成本-降价，即（元）。
②根据题意，每天基础销售量为80组，每降价1元可增加4组销量，因此总销量表达式为（组）。
故答案为：①；②
【分析】本题重点考察一元二次方程的实际应用，解题关键在于理解题意并建立正确的数学模型。（1）利润计算需考虑售价、成本和降价因素；销量计算需结合基础销量与降价带来的增量。
（2）根据利润关系建立方程，求解即可。
（3）设每日利润为，建立二次函数解析式并化为顶点式，可求得最优解。
（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元．
22．【答案】解：（1）∵四边形EGHF为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x，
在正方形EFHG中，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴即，
解得：x=48，
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
当长方形的长在BC时，，
，
，
当x=60时，
长方形的面积最大为2400．
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的实际应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题以锐角三角形内加工正方形和矩形零件为背景，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质及二次函数求最值。
（1）由EF∥BC直接得△AEF∽△ABC。
（2）设正方形边长为x，利用相似三角形对应高之比等于相似比列方程求解。
（3）设矩形长x、宽y，由相似得，面积表示为二次函数，利用顶点坐标求最大值。
23．【答案】（1）解：由题意可知，
∴，
∴，
∴，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解方程可得：；
（3）证明：由题意可知抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线为：，
∵在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵是这条抛物线上不同的两点，
∴，
∴
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）将代入给定的二次函数解析式，之后将二次函数配方整理为顶点式，即可得到对应的结果；（2）首先根据二次函数平移的规律，得到平移之后新二次函数的解析式，再结合新函数的图象和x轴只有一个交点，也就是判别式为0的条件，列出方程，求解方程就能得到对应的值；
（3）根据题意可以得出就是抛物线的顶点，由此可以推出抛物线的对称轴为直线，根据对称轴公式计算就可以得到a的值；再把点代入抛物线的解析式，整理后可以得到关系式，根据这个关系式就可以推出对应结论.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得，
∴与x轴只有一个交点，
∴，
解方程得：；
（3）解：∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
∴为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线为：，
∵在抛物线上，
∴，，
∴，
∴，
∵是这条抛物线上不同的两点，
∴，
∴
∴．
24．【答案】解：（1），，，
，，
，
；
（2）如图，过点作于，
则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，即，
解得，
则；
（3），，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，
解得，
则，
，，
的取值范围是．
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；尺规作图-作三角形；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据题目中的已知条件，可得知，，再根据相似三角形的判定即可解答；
（2）通过作辅助线，首先作， 则有， 可得到四边形是矩形，即可得，，根据第一问的结论，可得，可求得，根据可得答案；
（3）根据第二问的相似三角形可得，可求得，再根据DEBC，证，进而得，据此求得，；最后根据二次函数的性质可得的取值范围．
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