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浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题：（共10小题，3×10＝30分）
1．下列事件中，必然事件是（　　）
A．明天不会下雨
B．三点确定一个圆
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 明天不会下雨是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 不共线的三点确定一个圆，共线的三点无法确定一个圆，故B不符合题意；
对C选项， 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，圆中最长的弦是直径为必然事件，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】 分别判断各选项中事件发生的可能性，即可判断.
2．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标是（3，1）.
故答案为：A.
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
3．如图，，是上的三个点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：D．
【分析】
根据圆周角定理得到，就可以算出最终的结果.
4．一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝-（x+2）2 B．y＝-（x-2）2
C．y＝-x2-2 D．y＝-x2+2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为y=-x2+2.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
6．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于，
是等边三角形，
∵的周长是，
故答案为：
【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，圆心角是等边三角形，由的周长是，可得等边三角形散三边相等则CD=6．
7．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为：，
∴对称轴为直线，
由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：，
∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为；
∴一元二次方程的正数解的范围是；
故选：C．
【分析】
根据二次函数的对称性，求出二次函数图象与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可．
8．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的，开口向上，对称轴为，
点在对称轴上，点和点的横坐标与对称轴的距离分别为和，
∴距离越大函数值越大，故最小，次之，最大，即．
故选：A．
【分析】
根据二次函数的性质，确定二次函数的开口向上，对称轴为，点在对称轴上，点和点分别位于对称轴两侧，通过比较横坐标与对称轴的距离或直接计算函数值，可判断大小关系．
9．如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
弧，弧，弧，弧的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，，
，，
．
故选：B．
【分析】
连接、、、、，根据圆心角、弧、弦的关系，可得，，，的度数之比为，据此可以计算得到，；接下来根据圆周角定理，可得，；最后结合三角形外角的性质，即可计算得到的度数.
10．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，② ，③ ，④，其中正确的个数(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以①正确，符合题意；
②时，，
即，
，
，
，
，所以②错误，不符合题意；
③当时，，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
，所以③正确，符合题意；
④当时，，
即，
，
，所以④正确，符合题意．
故选：C．
【分析】
根据二次函数的图象和相关性质这个关系逐一推导，最终得到答案.
二、填空题：（共6小题，3×6＝18分）
11．抛物线的开口方向是　 　．(填“向上”或“向下”）
【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线，二次项系数，因此开口向上．
故答案为：向上．
【分析】
根据二次项系数的正负性来判断抛物线的开口方向.
12． 正十边形一个外角的度数是　 　．
【答案】36°
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷10=36°.
故答案为：36°.
【分析】根据多边形的外角和都是360°及正多边形的外角都相等即可得出答案.
13．连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛一枚硬币正面朝上的概率为.
故答案：.
【分析】抛一枚硬币正面朝上的概率为，与第几次抛没有影响.
14．如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】
已知四边形是菱形，根据菱形的四条边相等，结合圆的半径性质可得，由此可判定是等边三角形。再根据图形面积关系得到，因此图中阴影部分的面积就等于.
15．已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵的顶点坐标是
设
∴
所求解析式为：．
故答案为：．
【分析】
首先先求出给定二次函数的顶点坐标为，设顶点的横纵坐标满足，再消去参数b后整理得到，即可得到所求的抛物线解析式.
16．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，，
与是等圆，
，
，
，
点是的中点，
，
，
在中，，，
，
，则
的半径为：
故答案为：．
【分析】
设折叠后所在圆的圆心为，依次连接、、、；再分别过点作，垂足记为，过点作，垂足记为。根据圆周角定理，我们可以得到，由此可以推出；再结合等腰三角形三线合一的性质，可以得到，进而推导出。接下来在中，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，就能算出和的长度，进一步就能得到和的长度，从而得到的长度；最后在中，再次利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出，即可得到最终结果.
三、解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分）
17．已知二次函数的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：令，则，∴，
令，即，
解得：，
∴，．
（2）解：∵， ，，∴，，
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）结合题目条件，可以计算并得到该二次函数图象与轴和轴的交点坐标；
（2）先根据A、B、C三点的坐标，得到线段与的长度，再代入三角形面积公式即可计算出的结果.
（1）解：令，则，
∴，
令，即，
解得：，
∴，．
（2）解：∵， ，，
∴，，
∴．
18．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）
（1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形；
（2）求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长．
【答案】（1）解：如图所示即为所求，
（2）解：点所经过的路径的长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据旋转变换的性质，确定出、旋转后的对应点、，再顺次连接即可得到旋转后的图形；
（2）直接结合弧长公式计算对应弧的长度即可.
（1）解：如图所示即为所求，
（2）解：点所经过的路径的长为．
19．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片．
A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪
（1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________．
（2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率．
【答案】（1）
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为；
故答案为：．
【分析】
（1）利用概率公式计算即可得到答案；
（2）通过列表可知，所有等可能的结果一共有12种，其中恰好选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，最后再根据概率公式即可计算出所求概率.
（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为；
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为．
20．如图，在中，以为直径的⊙O交边，于点，且为边的中点．
（1）求证：
（2）若，求．
【答案】（1）证明：如图，连接
为直径
，
为的中点
∴垂直平分，
；
（2）解：连接，如图，
为直径
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
为边的中点，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，如图所示，首先根据圆周角定理可以推出，即垂直于，结合已知条件可得垂直平分线段，最后根据线段垂直平分线的性质即可证得对应结论；
（2）连接、，如图所示，先根据圆周角定理得到，再结合已知线段长度，利用勾股定理计算得到，进而推导得出，之后再次利用勾股定理计算出的长度，最后结合是边的中点，即可求出的长度.
（1）证明：如图，连接
为直径
，
为的中点
∴垂直平分，
；
（2）解：连接，如图，
为直径
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
为边的中点，
．
21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1）解：设每千克应涨价x元
（10+x）(500-20x)=6000
（舍）
答：每千克应涨价5元.
（2）解：设应涨价a元，每天的盈利为y
∴应该涨价元，此时每天的最大盈利是6125元
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设涨价x元，由题意列出利润等量关系，求解方程即得结果；
(2)设涨价a元，可得利润y与a之间的二次函数关系，由此得当a=7.5时，利润取最大值.
22．如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边，．某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边上，点P在圆弧上，且测得．记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离的长．
（2）求门洞的半径．
【答案】（1）解：如图，作，垂足为G，
是矩形，且，
，
根据题意可知，
，
圆心O到竹竿的距离的长为；

（2）解：，，
，
在中，设的半径为 ，
由勾股定理可得，
，
在中，，
解得，
故门洞的半径为
【知识点】矩形的性质；垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
（1）先作，垂足为G，再结合垂径定理和矩形的性质完成计算；
（2）先求出线段的长度，再设的半径为，两次运用勾股定理，即可列出关于R的方程，求解该方程即可得到最终结果.
（1）解：如图，作，垂足为G，
是矩形，且，
，
根据题意可知，
，
圆心O到竹竿的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，设的半径为 ，
由勾股定理可得，
，
在中，，
解得，
故门洞的半径为
23．已知二次函数（为常数）的图象经过， ．
（1）求和的值．
（2）当时，求的取值范围；
（3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值．
【答案】（1）解：二次函数（为常数）的图象经过点，，∴
解得
（2）解：由（1）知∶，，所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时．
∴
（3）解：因为，∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】
（1）将点与代入二次函数的解析式，即可计算得到结果；
（2）结合二次函数的对称轴，结合给定的自变量取值范围，即可分别求出函数的最大值和最小值；
（3）按照三种不同情况分类讨论：分别讨论当、以及时，结合二次函数的性质就可以求出对应的结果.
（1）二次函数（为常数）的图象经过点，，
∴
解得
（2）由（1）知∶，，
所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时．
∴
（3）因为，
∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或．
24．如图所示，在中，，点是外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与，重合），过作垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长．
【答案】（1）解：∵，∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形．
（2）解：①∵，∴为外接圆的直径，
∵点是外接圆上的一点，
∴，
∵为弧上一点，
∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，
，
，
当点C在中点时，四边形面积达到最大．
；
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，，
∴，
∵，
即，
解得（负值舍去）．
【知识点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）借助圆周角定理，结合等腰直角三角形的定义完成证明；
（2）①首先利用圆周角定理和勾股定理计算出线段的长度，由此可求出的面积；当点运动到弧的中点位置时，的面积达到最大，此时是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出的面积，而四边形的最大面积等于，据此即可得出结果；②过点作，交的延长线于点，先证明，可推出四边形是正方形，再结合勾股定理得到，依此建立方程求解，即可得到最终答案.
（1）∵，
∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形．
（2）①∵，
∴为外接圆的直径，
∵点是外接圆上的一点，
∴，
∵为弧上一点，
∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，
，
，
当点C在中点时，四边形面积达到最大．
；
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，，
∴，
∵，
即，
解得（负值舍去）．
1 / 1浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题：（共10小题，3×10＝30分）
1．下列事件中，必然事件是（　　）
A．明天不会下雨
B．三点确定一个圆
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
2．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．如图，，是上的三个点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝-（x+2）2 B．y＝-（x-2）2
C．y＝-x2-2 D．y＝-x2+2
6．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
7．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是( )
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，② ，③ ，④，其中正确的个数(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（共6小题，3×6＝18分）
11．抛物线的开口方向是　 　．(填“向上”或“向下”）
12． 正十边形一个外角的度数是　 　．
13．连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是　 　.
14．如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　．
16．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为　 　．
三、解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分）
17．已知二次函数的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点．
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积．
18．如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）
（1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形；
（2）求出在旋转的过程中，点所经过的路径的长．
19．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片．
A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪
（1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________．
（2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率．
20．如图，在中，以为直径的⊙O交边，于点，且为边的中点．
（1）求证：
（2）若，求．
21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
22．如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边，．某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点Q在边上，点P在圆弧上，且测得．记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离的长．
（2）求门洞的半径．
23．已知二次函数（为常数）的图象经过， ．
（1）求和的值．
（2）当时，求的取值范围；
（3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值．
24．如图所示，在中，，点是外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与，重合），过作垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 明天不会下雨是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 不共线的三点确定一个圆，共线的三点无法确定一个圆，故B不符合题意；
对C选项， 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，圆中最长的弦是直径为必然事件，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】 分别判断各选项中事件发生的可能性，即可判断.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标是（3，1）.
故答案为：A.
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：D．
【分析】
根据圆周角定理得到，就可以算出最终的结果.
4．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为y=-x2+2.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于，
是等边三角形，
∵的周长是，
故答案为：
【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，圆心角是等边三角形，由的周长是，可得等边三角形散三边相等则CD=6．
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为：，
∴对称轴为直线，
由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：，
∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为；
∴一元二次方程的正数解的范围是；
故选：C．
【分析】
根据二次函数的对称性，求出二次函数图象与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可．
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的，开口向上，对称轴为，
点在对称轴上，点和点的横坐标与对称轴的距离分别为和，
∴距离越大函数值越大，故最小，次之，最大，即．
故选：A．
【分析】
根据二次函数的性质，确定二次函数的开口向上，对称轴为，点在对称轴上，点和点分别位于对称轴两侧，通过比较横坐标与对称轴的距离或直接计算函数值，可判断大小关系．
9．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
弧，弧，弧，弧的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，，
，，
．
故选：B．
【分析】
连接、、、、，根据圆心角、弧、弦的关系，可得，，，的度数之比为，据此可以计算得到，；接下来根据圆周角定理，可得，；最后结合三角形外角的性质，即可计算得到的度数.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以①正确，符合题意；
②时，，
即，
，
，
，
，所以②错误，不符合题意；
③当时，，
抛物线的顶点坐标为，
把代入得，
，所以③正确，符合题意；
④当时，，
即，
，
，所以④正确，符合题意．
故选：C．
【分析】
根据二次函数的图象和相关性质这个关系逐一推导，最终得到答案.
11．【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线，二次项系数，因此开口向上．
故答案为：向上．
【分析】
根据二次项系数的正负性来判断抛物线的开口方向.
12．【答案】36°
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：360°÷10=36°.
故答案为：36°.
【分析】根据多边形的外角和都是360°及正多边形的外角都相等即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛一枚硬币正面朝上的概率为.
故答案：.
【分析】抛一枚硬币正面朝上的概率为，与第几次抛没有影响.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】
已知四边形是菱形，根据菱形的四条边相等，结合圆的半径性质可得，由此可判定是等边三角形。再根据图形面积关系得到，因此图中阴影部分的面积就等于.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵的顶点坐标是
设
∴
所求解析式为：．
故答案为：．
【分析】
首先先求出给定二次函数的顶点坐标为，设顶点的横纵坐标满足，再消去参数b后整理得到，即可得到所求的抛物线解析式.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，，
与是等圆，
，
，
，
点是的中点，
，
，
在中，，，
，
，则
的半径为：
故答案为：．
【分析】
设折叠后所在圆的圆心为，依次连接、、、；再分别过点作，垂足记为，过点作，垂足记为。根据圆周角定理，我们可以得到，由此可以推出；再结合等腰三角形三线合一的性质，可以得到，进而推导出。接下来在中，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，就能算出和的长度，进一步就能得到和的长度，从而得到的长度；最后在中，再次利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出，即可得到最终结果.
17．【答案】（1）解：令，则，∴，
令，即，
解得：，
∴，．
（2）解：∵， ，，∴，，
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）结合题目条件，可以计算并得到该二次函数图象与轴和轴的交点坐标；
（2）先根据A、B、C三点的坐标，得到线段与的长度，再代入三角形面积公式即可计算出的结果.
（1）解：令，则，
∴，
令，即，
解得：，
∴，．
（2）解：∵， ，，
∴，，
∴．
18．【答案】（1）解：如图所示即为所求，
（2）解：点所经过的路径的长为．
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】
（1）根据旋转变换的性质，确定出、旋转后的对应点、，再顺次连接即可得到旋转后的图形；
（2）直接结合弧长公式计算对应弧的长度即可.
（1）解：如图所示即为所求，
（2）解：点所经过的路径的长为．
19．【答案】（1）
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为；
故答案为：．
【分析】
（1）利用概率公式计算即可得到答案；
（2）通过列表可知，所有等可能的结果一共有12种，其中恰好选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，最后再根据概率公式即可计算出所求概率.
（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为；
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为．
20．【答案】（1）证明：如图，连接
为直径
，
为的中点
∴垂直平分，
；
（2）解：连接，如图，
为直径
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
为边的中点，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）连接，如图所示，首先根据圆周角定理可以推出，即垂直于，结合已知条件可得垂直平分线段，最后根据线段垂直平分线的性质即可证得对应结论；
（2）连接、，如图所示，先根据圆周角定理得到，再结合已知线段长度，利用勾股定理计算得到，进而推导得出，之后再次利用勾股定理计算出的长度，最后结合是边的中点，即可求出的长度.
（1）证明：如图，连接
为直径
，
为的中点
∴垂直平分，
；
（2）解：连接，如图，
为直径
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
为边的中点，
．
21．【答案】（1）解：设每千克应涨价x元
（10+x）(500-20x)=6000
（舍）
答：每千克应涨价5元.
（2）解：设应涨价a元，每天的盈利为y
∴应该涨价元，此时每天的最大盈利是6125元
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设涨价x元，由题意列出利润等量关系，求解方程即得结果；
(2)设涨价a元，可得利润y与a之间的二次函数关系，由此得当a=7.5时，利润取最大值.
22．【答案】（1）解：如图，作，垂足为G，
是矩形，且，
，
根据题意可知，
，
圆心O到竹竿的距离的长为；

（2）解：，，
，
在中，设的半径为 ，
由勾股定理可得，
，
在中，，
解得，
故门洞的半径为
【知识点】矩形的性质；垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】
（1）先作，垂足为G，再结合垂径定理和矩形的性质完成计算；
（2）先求出线段的长度，再设的半径为，两次运用勾股定理，即可列出关于R的方程，求解该方程即可得到最终结果.
（1）解：如图，作，垂足为G，
是矩形，且，
，
根据题意可知，
，
圆心O到竹竿的距离的长为；
（2）解：，，
，
在中，设的半径为 ，
由勾股定理可得，
，
在中，，
解得，
故门洞的半径为
23．【答案】（1）解：二次函数（为常数）的图象经过点，，∴
解得
（2）解：由（1）知∶，，所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时．
∴
（3）解：因为，∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】
（1）将点与代入二次函数的解析式，即可计算得到结果；
（2）结合二次函数的对称轴，结合给定的自变量取值范围，即可分别求出函数的最大值和最小值；
（3）按照三种不同情况分类讨论：分别讨论当、以及时，结合二次函数的性质就可以求出对应的结果.
（1）二次函数（为常数）的图象经过点，，
∴
解得
（2）由（1）知∶，，
所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时．
∴
（3）因为，
∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或．
24．【答案】（1）解：∵，∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形．
（2）解：①∵，∴为外接圆的直径，
∵点是外接圆上的一点，
∴，
∵为弧上一点，
∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，
，
，
当点C在中点时，四边形面积达到最大．
；
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，，
∴，
∵，
即，
解得（负值舍去）．
【知识点】正方形的判定与性质；等腰直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）借助圆周角定理，结合等腰直角三角形的定义完成证明；
（2）①首先利用圆周角定理和勾股定理计算出线段的长度，由此可求出的面积；当点运动到弧的中点位置时，的面积达到最大，此时是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出的面积，而四边形的最大面积等于，据此即可得出结果；②过点作，交的延长线于点，先证明，可推出四边形是正方形，再结合勾股定理得到，依此建立方程求解，即可得到最终答案.
（1）∵，
∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形．
（2）①∵，
∴为外接圆的直径，
∵点是外接圆上的一点，
∴，
∵为弧上一点，
∴当点为弧的中点时，此时点到的距离最大，则的面积取得最大值，此时，为等腰直角三角形，
，
，
当点C在中点时，四边形面积达到最大．
；
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，，
∴，
∵，
即，
解得（负值舍去）．
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