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浙江省杭州高新实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．已知的半径为4，P为内一点，则OP的长度可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵P为内一点 ，
∴OP<半径，即OP<4.
故A符合题意，BCD都不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据点P与圆的位置关系，可知OP和半径的大小关系.
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．在地球上，太阳东升西落
D．打开电视，正好在播放新闻
【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、是随机事件，该选项不合题意；
B、是随机事件，该选项不合题意；
C、是必然事件，该选项符合题意；
D、是随机事件，该选项不合题意；
故选：C．
【分析】
根据必然事件与随机事件的概念判断：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，结合概念对各选项逐一判断即可得到结果.
3．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点，且，则线段AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义及性质即可得结果.
4．四边形内接于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】
结合题目条件，利用圆内接四边形的性质可以得到，代入已知的∠B的度数就可以计算出的度数.
5．如图，已知，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴
故选：B．
【分析】
依据平行线分线段成比例定理，可以列出对应比例式，再将题目给出的已知数据代入比例式计算，就可以得到结果.
6．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据二次函数的增减性，进行判断即可．
7．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是，
当是圆直径时，的值最大是，
∴的取值范围是．
故选：D．
【分析】
过O作于H，根据图形可知C、O、D三点共线且O在C与D之间，因此CD=CO+OD，其中OD是半径，恒为5，是定值，所以CD的变化完全由CO决定，最小值，点C到圆心O的连线中，垂直于弦的线段最短，当OC⊥AB时，由勾股定理求出CO，最大值：当C移动到弦的端点A或B时，CO等于半径，取得最大值，最后即可解答.
8．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：依题意旋转角∠A'CA=40°，
由于AC⊥A'B'，由互余关系得∠A'=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A'=50°．
故选A．
【分析】
由旋转的度数可知 ∠ACA`=40°，则由直角三角形两锐角互余可得∠A'的度数，又旋转前后对应角相等，即∠BAC=∠A'.
9．如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为：．
故选：B．
【分析】
连接，根据圆周角定理可以得到。再由等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，可以推出。根据三角形外角的定义与性质，可得。接下来可以证明是等边三角形，因此得到，最后直接套用弧长公式计算，就能得到最终答案.
10．如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
11．已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据比例的性质即可求出答案.
12．在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球　 　个.
【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有x个球.
根据题意得，
解得x=8（个），
8-2=6个，
∴袋中有8个白球.
故答案为：6.
【分析】
结合概率公式，利用已知的取出红球的概率，计算出袋子中球的总个数.
13．将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为，即，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律，按照这个平移规律进行计算求解即可.
14．如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：过O作，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】
过点O作，结合垂径定理与解直角三角形求出的长度，进一步得到的长度；观察图形可得：阴影部分的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，根据这个关系即可计算出最终结果.
15．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【分析】
先从给出的二次函数解析式中，判断出抛物线的开口方向，再求出它的对称轴，最后结合性质即可得到结果。根据二次函数解析式可以得到，该函数图象开口向上，对称轴为直线，据此即可解答该题.
16．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为　 　．
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过O作于E，连接，，，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：24．
【分析】
由于已知圆的半径和弦BC的长，可过O作于E，连接，由垂径定理可知OE平分BC，则由根据勾股定理可得OE=BE，则是等腰直角三角形且底角，则，由圆周角定理可得，再由垂径定理DE垂直平分AB，则，，再直接应用勾股定理即可．
17．如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明得到，再结合相似三角形的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据相似三角形的性质，可以推出，据此即可求出对应结果，得到问题的答案.
（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母）
（1）在图1中，画出的外心；
（2）在图2中，在线段上找一点，使得．
【答案】（1）解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示：
是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
的外心即为所求；
（2）解：找格点，连接交于点，如图所示：
，
，
则，
，
线段上点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据三角形外接圆的性质：外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，该距离就是外接圆的半径，因此可以通过作三角形任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心。首先找到对应格点，连接得到线段，再找到格点，连接得到线段，两条线段的交点就是圆心，如图所示，由此即可得到结果；
（2）先找出格点，连接，该线段与的交点就是所求的点，如图所示，再结合三角形相似的判定定理和性质进行计算，即可得到最终答案.
（1）解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示：
是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
的外心即为所求；
（2）解：找格点，连接交于点，如图所示：
，
，
则，
，
线段上点即为所求．
19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 28 34 48 130 197 251
摸到白球的频率 0.28 0.23 0.24 0.26 0.246 0.251
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　　　(精确到0.01)；
(2)试估算口袋中白种颜色的球有多少只
(3)请根据估算的结果思考从口袋中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少 画出树状图(或列表)表示所有可能的结果，并计算概率.
【答案】（1）0.25；
(2)因为不透明的口袋里的球共4只，且白球的概率约为0.25，
所以估算口袋中白种颜色的球有：
4×0.25=1(只).
(3)画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，两只球颜色不同的结果有6种，所以两只球颜色不同的概率为P==.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.25.
【分析】
（1）用多次试验得到的频率来估计事件发生的概率，据此就可以计算得到对应的结果；
（2）先求出摸出白球的概率，再直接运用概率公式计算就能得到最终答案；
（3）先按照题目的描述画出树状图，再通过树状图找出所有满足条件的等可能结果，以及两次摸出的球颜色不相同的结果，最后代入概率公式计算即可得到答案.
20．已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）结合图象填空：
①关于的一元二次方程的解是________；
②不等式的解集为______．
【答案】（1）解：由图象可知抛物线顶点为，∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①；②或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线的对称点是，
∴关于的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）从图象可以得到抛物线的顶点坐标为，因此可以设抛物线的解析式为，再将点代入解析式，即可求出系数的值，得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性，可以求出已知点关于对称轴的对称点坐标，再结合函数图象即可得出对应问题的结果.
（1）解：由图象可知抛物线顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线的对称点是，
∴关于的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
21．如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
∴的半径为5．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据直线平行性质可得，即，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得AE，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
∴的半径为5．
22．某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为．
（1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？
（2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量）
【答案】（1）解：设利润为，则由题意得
，
，
答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
，
抛物线开口向下，
时，，
，
当时，，
设成本为元，由题意，得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）销售利润的计算公式为利润=(售价-进价)销售量，依据该公式即可列出利润的表达式，再结合题目给出的条件，就能直接确定自变量x的取值范围；
（2）得到利润的函数表达式后，结合二次函数的性质即可求出最大利润，得到题目的结果.
（1）解：设利润为，则由题意得
，
，
答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
，
抛物线开口向下，
时，，
，
当时，，
设成本为元，由题意，得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元；
23．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示．
x … 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
（1）求二次函数的对称轴．
（2）若当时，y有最小值，求a的值．
（3）求证：．
【答案】（1）解：当时，，当时，，∴二次函数的对称轴直线为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，
∵当时，，
∴，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值，
∴，
解得，；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，当时，，∴，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称性，观察表格中函数值相等的点x=0和x=2，即可得到二次函数的对称轴为直线，进而完成对应求解；
（2）根据对称轴可设出二次函数的解析式为，之后分情况讨论a的符号对最值的影响：当时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值；
（3）结合题意，将代入得到函数值y=m，将代入得到函数值y=n，整理可得，最后结合所得二次函数的图象性质即可得到mn的取值范围，完成求解.
（1）解：当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴直线为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值，
∴，
解得，；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
24．如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求．
（3）若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
，
，
由同弧所对的圆周角相等得，
是的直径，且，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
．
（3）解：的值不会改变，设，则，
，
，
，
∴，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）如图1，连接，由条件，根据等边对等角可得。根据同弧所对的圆周角相等，可以推出。又因为垂直于弦，由垂径定理可知是的垂直平分线，因此，进而可得。结合对顶角相等，可得。最后结合三角形内角和定理推出，再结合圆周角定理和三角形外角的性质，即可证明。
（2）已知，因此可得。由（1）的结论可得，根据等角对等边可知，再通过角的关系证明，最后根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出对应结果。
（3）设，结合已知可得，再结合前面得到的相似三角形的性质，即可完成解答.
（1）证明：如图1，连接，
，
，
由同弧所对的圆周角相等得，
是的直径，且，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
．
（3）解：的值不会改变，
设，则，
，
，
，
∴，
，
，
．
1 / 1浙江省杭州高新实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷
1．已知的半径为4，P为内一点，则OP的长度可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
2．下列事件是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．在地球上，太阳东升西落
D．打开电视，正好在播放新闻
3．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点，且，则线段AC的长是（　　）
A． B． C． D．
4．四边形内接于，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（　　）
A．函数图象的横轴表示的长
B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点
C．两段抛物线的形状不同
D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为
11．已知，那么　 　．
12．在一个不透明的袋中有2个红球，若干个白球，它们除颜色外其它都相同，若随机从袋中摸出一个球，摸到红球的概率是，则袋中有白球　 　个.
13．将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为　 　．
14．如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长交于点O，，若，，则图2中扇环的面积为　 　（结果保留）．
15．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是　 　．
16．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为　 　．
17．如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
18．如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母）
（1）在图1中，画出的外心；
（2）在图2中，在线段上找一点，使得．
19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 28 34 48 130 197 251
摸到白球的频率 0.28 0.23 0.24 0.26 0.246 0.251
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　　　(精确到0.01)；
(2)试估算口袋中白种颜色的球有多少只
(3)请根据估算的结果思考从口袋中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少 画出树状图(或列表)表示所有可能的结果，并计算概率.
20．已知二次函数的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）结合图象填空：
①关于的一元二次方程的解是________；
②不等式的解集为______．
21．如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为．
（1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？
（2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量）
23．设二次函数（，b，c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示．
x … 0 1 2 …
y … m 1 n 1 …
（1）求二次函数的对称轴．
（2）若当时，y有最小值，求a的值．
（3）求证：．
24．如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求．
（3）若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵P为内一点 ，
∴OP<半径，即OP<4.
故A符合题意，BCD都不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据点P与圆的位置关系，可知OP和半径的大小关系.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、是随机事件，该选项不合题意；
B、是随机事件，该选项不合题意；
C、是必然事件，该选项符合题意；
D、是随机事件，该选项不合题意；
故选：C．
【分析】
根据必然事件与随机事件的概念判断：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，结合概念对各选项逐一判断即可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵线段，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的定义及性质即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【分析】
结合题目条件，利用圆内接四边形的性质可以得到，代入已知的∠B的度数就可以计算出的度数.
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴
故选：B．
【分析】
依据平行线分线段成比例定理，可以列出对应比例式，再将题目给出的已知数据代入比例式计算，就可以得到结果.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故选B．
【分析】
根据二次函数的增减性，进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是，
当是圆直径时，的值最大是，
∴的取值范围是．
故选：D．
【分析】
过O作于H，根据图形可知C、O、D三点共线且O在C与D之间，因此CD=CO+OD，其中OD是半径，恒为5，是定值，所以CD的变化完全由CO决定，最小值，点C到圆心O的连线中，垂直于弦的线段最短，当OC⊥AB时，由勾股定理求出CO，最大值：当C移动到弦的端点A或B时，CO等于半径，取得最大值，最后即可解答.
8．【答案】A
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：依题意旋转角∠A'CA=40°，
由于AC⊥A'B'，由互余关系得∠A'=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A'=50°．
故选A．
【分析】
由旋转的度数可知 ∠ACA`=40°，则由直角三角形两锐角互余可得∠A'的度数，又旋转前后对应角相等，即∠BAC=∠A'.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为：．
故选：B．
【分析】
连接，根据圆周角定理可以得到。再由等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，可以推出。根据三角形外角的定义与性质，可得。接下来可以证明是等边三角形，因此得到，最后直接套用弧长公式计算，就能得到最终答案.
10．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵在两段函数中，
∴点P点C重合．
∵等边的边长为1，，
∴．
∴，
∴．
∵符合所给点．
∴横轴表示的长，故A错误；
如图：作于点D．
又∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵P为中点，
∴．
∴．
∴．
∴点H为的四等分点，故B错误；
当P在上时，为x，则，
∴．
当P在上时，为x，则，
∴，
∴．
∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等，
∴形状相同，故C错误；
当时，点P在上，
∴，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据函数图形上的数据，再利用三角形的面积公式的计算方法分别列出函数解析式，再分别求解即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据比例的性质即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有x个球.
根据题意得，
解得x=8（个），
8-2=6个，
∴袋中有8个白球.
故答案为：6.
【分析】
结合概率公式，利用已知的取出红球的概率，计算出袋子中球的总个数.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为，即，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律，按照这个平移规律进行计算求解即可.
14．【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：过O作，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】
过点O作，结合垂径定理与解直角三角形求出的长度，进一步得到的长度；观察图形可得：阴影部分的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，根据这个关系即可计算出最终结果.
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【分析】
先从给出的二次函数解析式中，判断出抛物线的开口方向，再求出它的对称轴，最后结合性质即可得到结果。根据二次函数解析式可以得到，该函数图象开口向上，对称轴为直线，据此即可解答该题.
16．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过O作于E，连接，，，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：24．
【分析】
由于已知圆的半径和弦BC的长，可过O作于E，连接，由垂径定理可知OE平分BC，则由根据勾股定理可得OE=BE，则是等腰直角三角形且底角，则，由圆周角定理可得，再由垂径定理DE垂直平分AB，则，，再直接应用勾股定理即可．
17．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明得到，再结合相似三角形的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据相似三角形的性质，可以推出，据此即可求出对应结果，得到问题的答案.
（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示：
是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
的外心即为所求；
（2）解：找格点，连接交于点，如图所示：
，
，
则，
，
线段上点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据三角形外接圆的性质：外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，该距离就是外接圆的半径，因此可以通过作三角形任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心。首先找到对应格点，连接得到线段，再找到格点，连接得到线段，两条线段的交点就是圆心，如图所示，由此即可得到结果；
（2）先找出格点，连接，该线段与的交点就是所求的点，如图所示，再结合三角形相似的判定定理和性质进行计算，即可得到最终答案.
（1）解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示：
是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，
的外心即为所求；
（2）解：找格点，连接交于点，如图所示：
，
，
则，
，
线段上点即为所求．
19．【答案】（1）0.25；
(2)因为不透明的口袋里的球共4只，且白球的概率约为0.25，
所以估算口袋中白种颜色的球有：
4×0.25=1(只).
(3)画树状图如下：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，两只球颜色不同的结果有6种，所以两只球颜色不同的概率为P==.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.25.
【分析】
（1）用多次试验得到的频率来估计事件发生的概率，据此就可以计算得到对应的结果；
（2）先求出摸出白球的概率，再直接运用概率公式计算就能得到最终答案；
（3）先按照题目的描述画出树状图，再通过树状图找出所有满足条件的等可能结果，以及两次摸出的球颜色不相同的结果，最后代入概率公式计算即可得到答案.
20．【答案】（1）解：由图象可知抛物线顶点为，∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①；②或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线的对称点是，
∴关于的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）从图象可以得到抛物线的顶点坐标为，因此可以设抛物线的解析式为，再将点代入解析式，即可求出系数的值，得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性，可以求出已知点关于对称轴的对称点坐标，再结合函数图象即可得出对应问题的结果.
（1）解：由图象可知抛物线顶点为，
∴设抛物线解析式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴关于直线的对称点是，
∴关于的一元二次方程的解是；
故答案为：；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴的对称点是，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
21．【答案】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
∴的半径为5．
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据直线平行性质可得，即，再根据垂径定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得AE，设的半径为，则，根据边之间的关系可得OE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得；
∴的半径为5．
22．【答案】（1）解：设利润为，则由题意得
，
，
答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
，
抛物线开口向下，
时，，
，
当时，，
设成本为元，由题意，得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元；
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）销售利润的计算公式为利润=(售价-进价)销售量，依据该公式即可列出利润的表达式，再结合题目给出的条件，就能直接确定自变量x的取值范围；
（2）得到利润的函数表达式后，结合二次函数的性质即可求出最大利润，得到题目的结果.
（1）解：设利润为，则由题意得
，
，
答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润；
（2）解：由题意得：，
解得：，，
，
抛物线开口向下，
时，，
，
当时，，
设成本为元，由题意，得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元；
23．【答案】（1）解：当时，，当时，，∴二次函数的对称轴直线为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，
∵当时，，
∴，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值，
∴，
解得，；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，当时，，∴，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称性，观察表格中函数值相等的点x=0和x=2，即可得到二次函数的对称轴为直线，进而完成对应求解；
（2）根据对称轴可设出二次函数的解析式为，之后分情况讨论a的符号对最值的影响：当时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值；
（3）结合题意，将代入得到函数值y=m，将代入得到函数值y=n，整理可得，最后结合所得二次函数的图象性质即可得到mn的取值范围，完成求解.
（1）解：当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴直线为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，对称轴直线处取得最小值，
∴，
解得，；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当时，取得最小值，
∴，
解得，；
（3）解：当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，函数的最大值为，
∴．
24．【答案】（1）证明：如图1，连接，
，
，
由同弧所对的圆周角相等得，
是的直径，且，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
．
（3）解：的值不会改变，设，则，
，
，
，
∴，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）如图1，连接，由条件，根据等边对等角可得。根据同弧所对的圆周角相等，可以推出。又因为垂直于弦，由垂径定理可知是的垂直平分线，因此，进而可得。结合对顶角相等，可得。最后结合三角形内角和定理推出，再结合圆周角定理和三角形外角的性质，即可证明。
（2）已知，因此可得。由（1）的结论可得，根据等角对等边可知，再通过角的关系证明，最后根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出对应结果。
（3）设，结合已知可得，再结合前面得到的相似三角形的性质，即可完成解答.
（1）证明：如图1，连接，
，
，
由同弧所对的圆周角相等得，
是的直径，且，
，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
；
（2）解：∵，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
．
（3）解：的值不会改变，
设，则，
，
，
，
∴，
，
，
．
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