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浙江省杭州市行知中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．小明买彩票中奖
B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
C．任意三角形的两边，其差小于第三边
D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球
3．如图，点A、B、C在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．36 B．5 C．2 D．6
7．如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
8．如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．若二次函数的图象经过，，三点，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，是的直径，点在上位于直径两侧，且，连结交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．一个仅装有球的不透明布袋里共有个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是　 　 ．
12．抛物线与x轴的交点个数为　 　 个．
13．一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为　 　．（结果保留）
14．若，则的值为　 　．
15．如图，点为正八边形的中心，则的度数为　 　．
16．已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是　 　 ．
17．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
18．某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 m
（1）求此二次函数的表达式：______；
（2）的值是______．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出绕点B顺时针旋转后得到；
（2）点的坐标为______；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
20．如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
（1）证明：；
（2）若，，求弦的长．
21．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
22．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．
（1）用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
23．在二次函数中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
（2）若点在抛物线上，令，求证：．
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
24．如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径．
②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，
∴该点到圆心的距离为圆的半径，
∴这个点位于圆外，
故答案为：A.
【分析】依据点与圆的位置关系：①点到圆心距离大于圆的半径，则点在圆外；②点到圆心距离等于圆的半径，则点在圆上；③点到圆心距离小于圆的半径，则点在圆内，据此即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意；
D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据不可能事件的定义为：在一定条件下，必然不会发生的事件就是不可能事件.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
故选：A．
【分析】
依据圆周角定理完成计算，就能得到正确答案.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，解答即可．
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
6．【答案】D
【知识点】比例线段；比例中项
【解析】【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，
则，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两个外项的乘积，结合上述性质进行计算，就可以得到结果.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为，
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为；
∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值，
当时，，
∴当时，，即函数有最大值，有最小值．
故选：C．
【分析】
直接结合函数图象，确定二次函数的顶点坐标、开口方向与对称轴，由此可以得到给定取值范围内函数的最大值为；根据二次函数的对称性可知，当时，；再从图象中可以得到，当时，。因此在区间内，该函数的最大值为，最小值为.
8．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
设，则．
，
∴，
解得，
，
，，
．
故选：D．
【分析】
设，可得，接下来结合圆内接四边形对角互补的性质求出x的值，即可推得最终结论.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大，
点关于直线的对称点为，
，
．
故选：A．
【分析】
已知二次函数，因此开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象上关于对称轴对称的点的函数值相等，点A到对称轴x=-1的距离为1，因此点A关于对称轴X=-1的对称点为（0，y1），该点函数值与y1相等，因为函数开口向上，所以当x＞-1时，y随x的增大而增大，即可解答.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的度数为，
故选：A．
【分析】
如图，连接，根据圆周角定理可以推出，再结合等边对等角的性质与三角形内角和定理，可得。由题意可知，因此变形可得。再次利用圆周角定理，可得，结合等边对等角的性质可推出。最后根据三角形内角和定理，可得，代入后得到方程，计算求解该方程即可得到结果.
11．【答案】2
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：这个布袋里红球的个数是8=2（个）
故答案为：．
【分析】
利用概率公式计算，题目已经给出球的总数量，要求符合条件的球的个数，只需要用给定的概率乘球的总数，就能得到结果.
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由二次函数得，，，，
则，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【分析】
通过计算根的判别式，再根据计算得到的的具体数值，来判断方程根的情况（对应函数与x轴的交点个数）.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：一个扇形的圆心角为，半径为2，
这个扇形的面积为，
故答案为：．
【分析】
直接利用扇形的面积公式计算，即可得到对应结果.
14．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题得到，然后代入分式计算即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，是正八边形的外接圆，连接，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先作正八边形的外接圆，连接，，利用正多边形的性质计算出圆心角的度数，再结合圆周角定理就可以求出所求角的度数.
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，
，
解得．
∴二次函数为．
当时，取得最大值4；
当时，；
当时，；
时，．
∵即的解相当于与直线的交点，
当即时，在的范围内有解，
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可．
17．【答案】（1）解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，
指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）直接运用概率公式计算得到答案；
（2）先画出树状图，能够得到转动两次转盘一共存在16种等可能的情况，其中满足两次指针指向区域的数字相加和为偶数的情况一共有8种，最后再利用概率公式即可求出对应结果.
（1）解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，
转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，
指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）解：当时，，
．
故答案为：．
【分析】
（1）先根据表格给出的点的坐标特征确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，即可求出抛物线的解析式；
（2）把代入已经求得的抛物线解析式，计算即可得到.
（1）解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）解：当时，，
．
故答案为：．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）解：由勾股定理可得，
点C经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）解：由图可知：；
故填：.
【分析】本题主要考查旋转变换作图相关知识，掌握旋转变换的性质是解决这类问题的核心.
（1）依据旋转变换的性质，即可完成对应图形的绘制；
（2）绘制完成图形后，结合坐标系即可直接读出对应点的坐标；
（3）先借助勾股定理计算出线段BC的长度，再代入弧长计算公式，就可以求出对应的弧长.
（1）如图所示，即为所求；
（2）由图可知：；
（3）由勾股定理，得，
点C经过的路径长
20．【答案】（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
；
（2）解：为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】
（1）已知AB是的直径，CD是圆O的弦，且直径AB垂直于弦CD。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得，再结合圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，即可推导出；
（2）根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得。已知，，因此直径，由此可得圆O的半径。进一步计算可得OE的长度：，在Rt△OCE中，由勾股定理计算得，因此弦CD的长度为．
（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
；
（2）解：为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
21．【答案】解：(1)y=-x2+3x+1=-+∵-＜0，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
(2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】
（1）把抛物线的解析式整理成顶点式形式，就能得到抛物线的最大值，这个最大值就是演员弹跳的最大高度。
（2）将x=4代入给定的抛物线解析式，计算得到对应的y值，通过判断计算得到的y值是否等于3.4，可以确定此时演员是否能到达最高点，也就是能不能完成这次表演.
22．【答案】（1）①；②
（2）（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元
（3）（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①利润=售价-成本-降价，即（元）。
②根据题意，每天基础销售量为80组，每降价1元可增加4组销量，因此总销量表达式为（组）。
故答案为：①；②
【分析】本题重点考察一元二次方程的实际应用，解题关键在于理解题意并建立正确的数学模型。（1）利润计算需考虑售价、成本和降价因素；销量计算需结合基础销量与降价带来的增量。
（2）根据利润关系建立方程，求解即可。
（3）设每日利润为，建立二次函数解析式并化为顶点式，可求得最优解。
（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元．
23．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）解： 证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3）解：，都在这个二次函数的图象上，二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点在轴上，则顶点的纵坐标是0，即可解答；
（2）根据已知条件，将点代入解析式得到，再根据得到，最后根据二次函数的性质即可证得结论；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
24．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：①如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴的半径为；
②，理由如下：
如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得，从而得，进而得，即可得证结论；
（2）①连接，设，则，然后根据等腰三角形“三线合一”可得，在中利用勾股定理得关于r的方程，解方程求出r的值即可；
②过点作于点，根据圆周角定理推论得，然后由角平分线的性质得，从而可证明，得，接下来证明四边形是矩形，根据矩形的性质，进行等量即可求解.
（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：①如图，连接，
设，则，．
由（1）知，
又，
∴，
∴在中，，即，
解得，（不合题意，舍去），
即的半径为；
②．
理由如下：
如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴．
∵平分，，，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
1 / 1浙江省杭州市行知中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，
∴该点到圆心的距离为圆的半径，
∴这个点位于圆外，
故答案为：A.
【分析】依据点与圆的位置关系：①点到圆心距离大于圆的半径，则点在圆外；②点到圆心距离等于圆的半径，则点在圆上；③点到圆心距离小于圆的半径，则点在圆内，据此即可得到答案.
2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．小明买彩票中奖
B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
C．任意三角形的两边，其差小于第三边
D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球
【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意；
D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【分析】
根据不可能事件的定义为：在一定条件下，必然不会发生的事件就是不可能事件.
3．如图，点A、B、C在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
故选：A．
【分析】
依据圆周角定理完成计算，就能得到正确答案.
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，解答即可．
5．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是.
故答案为：C．
【分析】根据抛物线平移的规律“x值左加右减，函数值上加下减”进行求解即可得答案．
6．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．36 B．5 C．2 D．6
【答案】D
【知识点】比例线段；比例中项
【解析】【解答】解：设a，b的比例中项线段为c，
则，
∵，
∴．
故选：D．
【分析】
根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两个外项的乘积，结合上述性质进行计算，就可以得到结果.
7．如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为，
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为；
∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值，
当时，，
∴当时，，即函数有最大值，有最小值．
故选：C．
【分析】
直接结合函数图象，确定二次函数的顶点坐标、开口方向与对称轴，由此可以得到给定取值范围内函数的最大值为；根据二次函数的对称性可知，当时，；再从图象中可以得到，当时，。因此在区间内，该函数的最大值为，最小值为.
8．如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
设，则．
，
∴，
解得，
，
，，
．
故选：D．
【分析】
设，可得，接下来结合圆内接四边形对角互补的性质求出x的值，即可推得最终结论.
9．若二次函数的图象经过，，三点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
图象的开口向上，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大，
点关于直线的对称点为，
，
．
故选：A．
【分析】
已知二次函数，因此开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象上关于对称轴对称的点的函数值相等，点A到对称轴x=-1的距离为1，因此点A关于对称轴X=-1的对称点为（0，y1），该点函数值与y1相等，因为函数开口向上，所以当x＞-1时，y随x的增大而增大，即可解答.
10．如图，是的直径，点在上位于直径两侧，且，连结交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的度数为，
故选：A．
【分析】
如图，连接，根据圆周角定理可以推出，再结合等边对等角的性质与三角形内角和定理，可得。由题意可知，因此变形可得。再次利用圆周角定理，可得，结合等边对等角的性质可推出。最后根据三角形内角和定理，可得，代入后得到方程，计算求解该方程即可得到结果.
11．一个仅装有球的不透明布袋里共有个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是　 　 ．
【答案】2
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：这个布袋里红球的个数是8=2（个）
故答案为：．
【分析】
利用概率公式计算，题目已经给出球的总数量，要求符合条件的球的个数，只需要用给定的概率乘球的总数，就能得到结果.
12．抛物线与x轴的交点个数为　 　 个．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由二次函数得，，，，
则，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【分析】
通过计算根的判别式，再根据计算得到的的具体数值，来判断方程根的情况（对应函数与x轴的交点个数）.
13．一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：一个扇形的圆心角为，半径为2，
这个扇形的面积为，
故答案为：．
【分析】
直接利用扇形的面积公式计算，即可得到对应结果.
14．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题得到，然后代入分式计算即可．
15．如图，点为正八边形的中心，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，是正八边形的外接圆，连接，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先作正八边形的外接圆，连接，，利用正多边形的性质计算出圆心角的度数，再结合圆周角定理就可以求出所求角的度数.
16．已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，
，
解得．
∴二次函数为．
当时，取得最大值4；
当时，；
当时，；
时，．
∵即的解相当于与直线的交点，
当即时，在的范围内有解，
的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可．
17．如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
【答案】（1）解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，
指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）直接运用概率公式计算得到答案；
（2）先画出树状图，能够得到转动两次转盘一共存在16种等可能的情况，其中满足两次指针指向区域的数字相加和为偶数的情况一共有8种，最后再利用概率公式即可求出对应结果.
（1）解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，
转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，
指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率
18．某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 2 3 4
y 0 1 0 m
（1）求此二次函数的表达式：______；
（2）的值是______．
【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）解：当时，，
．
故答案为：．
【分析】
（1）先根据表格给出的点的坐标特征确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，即可求出抛物线的解析式；
（2）把代入已经求得的抛物线解析式，计算即可得到.
（1）解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）解：当时，，
．
故答案为：．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出绕点B顺时针旋转后得到；
（2）点的坐标为______；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）解：由勾股定理可得，
点C经过的路径长
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）解：由图可知：；
故填：.
【分析】本题主要考查旋转变换作图相关知识，掌握旋转变换的性质是解决这类问题的核心.
（1）依据旋转变换的性质，即可完成对应图形的绘制；
（2）绘制完成图形后，结合坐标系即可直接读出对应点的坐标；
（3）先借助勾股定理计算出线段BC的长度，再代入弧长计算公式，就可以求出对应的弧长.
（1）如图所示，即为所求；
（2）由图可知：；
（3）由勾股定理，得，
点C经过的路径长
20．如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
（1）证明：；
（2）若，，求弦的长．
【答案】（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
；
（2）解：为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】
（1）已知AB是的直径，CD是圆O的弦，且直径AB垂直于弦CD。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得，再结合圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，即可推导出；
（2）根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得。已知，，因此直径，由此可得圆O的半径。进一步计算可得OE的长度：，在Rt△OCE中，由勾股定理计算得，因此弦CD的长度为．
（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
；
（2）解：为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
21．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【答案】解：(1)y=-x2+3x+1=-+∵-＜0，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
(2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】
（1）把抛物线的解析式整理成顶点式形式，就能得到抛物线的最大值，这个最大值就是演员弹跳的最大高度。
（2）将x=4代入给定的抛物线解析式，计算得到对应的y值，通过判断计算得到的y值是否等于3.4，可以确定此时演员是否能到达最高点，也就是能不能完成这次表演.
22．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．
（1）用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）①；②
（2）（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元
（3）（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：①利润=售价-成本-降价，即（元）。
②根据题意，每天基础销售量为80组，每降价1元可增加4组销量，因此总销量表达式为（组）。
故答案为：①；②
【分析】本题重点考察一元二次方程的实际应用，解题关键在于理解题意并建立正确的数学模型。（1）利润计算需考虑售价、成本和降价因素；销量计算需结合基础销量与降价带来的增量。
（2）根据利润关系建立方程，求解即可。
（3）设每日利润为，建立二次函数解析式并化为顶点式，可求得最优解。
（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则
，
当时，有利润的最大值为3600元．
23．在二次函数中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
（2）若点在抛物线上，令，求证：．
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）解： 证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3）解：，都在这个二次函数的图象上，二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点在轴上，则顶点的纵坐标是0，即可解答；
（2）根据已知条件，将点代入解析式得到，再根据得到，最后根据二次函数的性质即可证得结论；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
24．如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径．
②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：①如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）知，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴的半径为；
②，理由如下：
如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得，从而得，进而得，即可得证结论；
（2）①连接，设，则，然后根据等腰三角形“三线合一”可得，在中利用勾股定理得关于r的方程，解方程求出r的值即可；
②过点作于点，根据圆周角定理推论得，然后由角平分线的性质得，从而可证明，得，接下来证明四边形是矩形，根据矩形的性质，进行等量即可求解.
（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：①如图，连接，
设，则，．
由（1）知，
又，
∴，
∴在中，，即，
解得，（不合题意，舍去），
即的半径为；
②．
理由如下：
如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴．
∵平分，，，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
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