资源简介

浙江省宁波市慈溪育才中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．二次函数 的图像上的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 为顶点式，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
抛物线的解析式为顶点式，直接根据顶点式图象得到顶点坐标，由此完成求解.
2．九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（　　）
A．抽到女生的可能性小
B．抽到男生的可能性小
C．抽到女生和男生的可能性一样大
D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定
【答案】A
【知识点】可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】解：九年级一班有16名女生和20名男生，
∴抽取男生的概率为，抽到女生的概率为：，
∴抽到男生的可能性大，女生的可能性小，
故答案为：A．
【分析】根据概率公式计算出抽取到男生和女生的概率解题解题．
3．在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（　　）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”，即可得到答案．
4．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
5．如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先借助圆内接四边形的性质求出，再根据圆心角、弧、弦的关系推出，最后结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理完成计算.
6．如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
8．数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（　　）
A．只有小吴的作法正确 B．只有小王的作法正确
C．小吴和小王的作法都正确 D．小吴和小王的作法都错误
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，小吴的作法正确；
小王的作法，连接并延长交网格于点D，如图所示：
根据题意得：点M和点A分别为的中点，
∴，
由网格得：，，
∴，
∴，小王的作法正确；
故选：C．
【分析】
对于小吴的画法：连接，选取格点H、K，构造出，再结合相似三角形的判定与性质推导出点P即为所求；对于小王的画法：连接并延长，与网格线相交得到点D，再结合相似三角形的判定与性质推导出点P即为所求．
9．点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时，
∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为，
∵ 当 时，且函数开口向下，
∴ 在时，，
设函数顶点式为，
则当时，，
即，
∵ 且（因），
∴ 该不等式恒成立，
∴，
故 t 的取值范围为，
故选：C．
【分析】
已知二次函数 ，因此二次函数开口向下，顶点为函数的最高点，函数在顶点处取得最大值，已知顶点在点 处，故对称轴为，函数的最大值为m+1，根据已知条件当时，，结合顶点坐标，推导出t必须小于2．
10．如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交的延长线于一点，如图所示；
∵，
∴
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，，
则，
∵已知的值，
∴可以求出的值．
故选：A．
【分析】
先延长，交的延长线于点，结合平行线的性质，和是的中点，就可以证明。再结合已知条件，可以进一步证明。接下来，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质，可以推导出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得到，整理后即可得到，由此即可得出最终答案.
11．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为：．
【分析】
根据题目给出的比例关系，利用设参数法进行求解，设，之后将其代入待求式，结合比例性质化简即可得到最终结果.
12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000
发芽频数 47 96 475 951 1900 2850
发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95
如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有　 　粒发芽．
【答案】9500
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率约为0.95，
∴播种该种小麦10000粒种子，有粒发芽.
故答案为：9500．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此结合频数表先得到麦种的发芽概率约为0.95，再利用发芽概率乘以小麦种子总数即可求解．
13．在中，是斜边，，，则　 　
【答案】
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，为斜边，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形中正弦的定义：在直角三角形里，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。题目已知斜边，角A的对边长度为5，直接根据定义计算.
14．如图，若，且，，．则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据，先计算出的长度，之后就可以求出题目的最终结果.
15．某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大．
【答案】150
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设房价提高x个10元，则房价为元，日均入住数为间，
日营业收入，
该二次函数，开口向下，对称轴为，
∵，且为整数，
当时，；
当时，，
∵，
∴当时y最大，此时房价为元，且在元范围内．
故答案为：150．
【分析】
先设宾馆每间客房的日租金提高x个10元，设宾馆客房租金的总收入为y，之后建立总收入y和x的函数关系，再借助二次函数的性质，就能求出总收入的最大值.
16．已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为　 　
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，，
此时，即为翻折后的线段，
①当时，
作的角平分线，交上一点为，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
过点B作交于点N，
∵，
在中，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴弦的长度为；
②当时，
作的角平分线，交上一点为，连接，，
同理可得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点M，
∵，
∴，则，
在中，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，，
∴弦的长度为，
综上所述，这条弦长为或．
故答案为：或．
【分析】
以点B为圆心，的长度为半径画圆，该圆和会相交得到两个交点和，这里的和，就是线段沿过点B的直线翻折后得到的对应线段，接下来分两种情况进行讨论：分别是翻折后对应点为（即），以及翻折后对应点为（即）的情况。翻折的折痕就是和的角平分线，折痕和的交点就是要求的点C，两种情况分别对应交点和。之后添加合适的辅助线，结合圆的相关性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，就可以计算得到AC的长度.
17．计算：
【答案】解：
，
，
，
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先按照特殊角的三角函数值代入，再依照三角函数的运算法则计算，最后合并同类项，就能得到运算结果.
18．现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】简单随机事件概率容易计算，对于两步试验，列表时一定注意抽取后放回还是不放回，如果是放回，则表格每栏都要填，否则对角线上的栏目不填数据。另列树状图时，记得不重复不遗漏。
（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
19．如图是由24个小正方形组成的网格图， 每一个正方形的顶点都称为格点， 的三个顶点都是格点. 请按要求完成下列作图， 每个小题只需作出一个符合条件的图形．
（1）在图1网格中找格点， 作， 使与相似， 且相似比为1： 2；
（2）如图 2， 仅用无刻度直尺在线段上找一点， 连结， 使将的面积分成1： 2两部分．
【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求．
∵AC=2，DF=1，AB=，DE=，BC=，EF=，
∴，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
（2）解：如图，AG或AG'即为所求．
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据作图-位似画图，进而根据勾股定理结合题意求出各边长，从而即可得到相似比；
（2）根据题意连接AH、KI与直线BC分别交于点G、G'，则AG或AG'即为所求．
（1）解：如图，△DEF即为所求．
∵AC=2，DF=1，AB=，DE=，BC=，EF=，
∴，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
（2）解：如图，AG或AG'即为所求．
20．如图，在中，半径，．
（1）求扇形的面积．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】
（1）依据“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”，可以先计算出的度数，再将对应数据代入扇形面积公式计算，即可得到结果；
（2）先利用角的和差关系计算得到，再结合“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可算出最终结果.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
21．图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度．
（1）当时，求到的距离．
（2）若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？
【答案】（1）解：连接，过点作于点，
，
，，
，
，
即到的距离为；
（2）解：连接，过点作于点，
，
∵，的最大张角为75度．
此时，，
在中，，
∴，
则，
∴此时能用取碗夹夹起这个盘子．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先连接，再过点作，垂足为。根据等腰三角形三线合一的性质，可以得到，之后通过列式计算就能得到的长度。
（2）和第一问的推导思路一致，可以得出，且，将已知数值代入三角函数关系式计算，就可以得到最终答案.
（1）解：连接，过点作于点，
，
，，
，
，
即到的距离为；
（2）解：连接，过点作于点，
，
∵，的最大张角为75度．
此时，，
在中，，
∴，
则，
∴此时能用取碗夹夹起这个盘子．
22．一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
（1）求，的值．
（2）当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：图象过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法将（1）所求的函数解析式配成顶点式，结合抛物线的开口方向即可求出最大值.
（1）解：图像过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
23．某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示：
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 0 m ．．．
（1）若，求二次函数的表达式及顶点坐标
（2）当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围
（3）若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值．
【答案】（1）解：设二次函数解析式为，根据题意，把；；分别代入解析式得
，
解得，
所以，抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由得：，∴，
∴对称轴为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：由（2）知，对称轴为，，分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧，
最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为，
和为，
解得，
∴
②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为，
通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为，
和为：，
整理得，
解得（负值舍去），
∴；
③当时，无符合条件的解，
综上，m的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式变形为顶点式即可解答问题；
（2）根据图表可得，再根据二次函数的对称轴公式得，再将代入，得，最后根据得，从而可求的取值范围；
（3）由（2）知，对称轴为，，分情况讨论，①当时，，②当时，，③当时三种情况在范围内求出二次函数最大值和最小值，根据最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为列出关于a的方程，求出a的值，代入计算即可得的值．
（1）解：设二次函数解析式为，
根据题意，把；；分别代入解析式得
，
解得，
所以，抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由得：，
∴，
∴对称轴为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：由（2）知，对称轴为，，
分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧，
最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为，
和为，
解得，
∴
②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为，
通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为，
和为：，
整理得，
解得（负值舍去），
∴；
③当时，无符合条件的解，
综上，m的值为或．
24．如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足．
（1）①求证：
②求证：
（2）已知，求的值
【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
②如图，连接，
∵为的直径，
设，则，
∵，
∴由圆周角定理可知，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵所对的圆周角相等，∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵所对应的圆周角相等，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
（1）①根据题目给出的条件可以推出，进而可证明，由此可得，最后结合同角的补角相等即可证得所需结论；②连接，设，那么，结合圆周角定理和①中已证的结论，可以推出，再利用边角边定理即可证明，根据全等三角形的性质就能得到；
（2）先证明，由相似三角形的性质可得，整理可得，再结合已知条件计算出圆O的半径，接着证明，根据相似三角形的性质得到，变形后即为，把已经得到的线段等量关系代入该式，就可以计算出最终结果．
（1）略
（2）解：∵所对的圆周角相等，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵所对应的圆周角相等，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
1 / 1浙江省宁波市慈溪育才中学2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷
1．二次函数 的图像上的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（　　）
A．抽到女生的可能性小
B．抽到男生的可能性小
C．抽到女生和男生的可能性一样大
D．抽到女生和男生的可能性大小不能确定
3．在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（　　）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
4．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，四边形内接于，，，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（　　）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
7．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（　　）
A． B． C． D．
8．数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（　　）
A．只有小吴的作法正确 B．只有小王的作法正确
C．小吴和小王的作法都正确 D．小吴和小王的作法都错误
9．点在二次函数上，当时，，当时，，求的取值范围（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，，，为中点，且，已知的值，则可以求出下列哪两条线段的乘积（　　）
A． B． C． D．
11．若，则的值是　 　．
12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000
发芽频数 47 96 475 951 1900 2850
发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95
如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有　 　粒发芽．
13．在中，是斜边，，，则　 　
14．如图，若，且，，．则　 　．
15．某酒店有150间标准房，当标准房价格为120元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在120~170元之间（含120元，170元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少8间．如果不考虑其他因素，该酒店将标准房价格提高到　 　元时，客房的日营业收入最大．
16．已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为　 　
17．计算：
18．现有，，，四张印有四大发明的纪念邮票，邮票除图案外其它均相同．将四张邮票背面朝上，洗匀后，小明从中随机抽取一张，记录图案后不放回，再抽取一张．
（1）用列表或画树状图的方法，表示所有可能出现的结果．
（2）求小明抽到的两张邮票中有造纸术的概率．
19．如图是由24个小正方形组成的网格图， 每一个正方形的顶点都称为格点， 的三个顶点都是格点. 请按要求完成下列作图， 每个小题只需作出一个符合条件的图形．
（1）在图1网格中找格点， 作， 使与相似， 且相似比为1： 2；
（2）如图 2， 仅用无刻度直尺在线段上找一点， 连结， 使将的面积分成1： 2两部分．
20．如图，在中，半径，．
（1）求扇形的面积．
（2）求的度数．
21．图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度．
（1）当时，求到的距离．
（2）若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？
22．一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
（1）求，的值．
（2）当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
23．某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示：
．．． 0 1 2 ．．．
．．． 0 m ．．．
（1）若，求二次函数的表达式及顶点坐标
（2）当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围
（3）若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值．
24．如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足．
（1）①求证：
②求证：
（2）已知，求的值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 为顶点式，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：B．
【分析】
抛物线的解析式为顶点式，直接根据顶点式图象得到顶点坐标，由此完成求解.
2．【答案】A
【知识点】可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】解：九年级一班有16名女生和20名男生，
∴抽取男生的概率为，抽到女生的概率为：，
∴抽到男生的可能性大，女生的可能性小，
故答案为：A．
【分析】根据概率公式计算出抽取到男生和女生的概率解题解题．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”，即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，
点P在⊙O内 ，
∴OP＜6.
故答案为：A .
【分析】要想判断点和圆的位置关系，主要确定点和圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先借助圆内接四边形的性质求出，再根据圆心角、弧、弦的关系推出，最后结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理完成计算.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，小吴的作法正确；
小王的作法，连接并延长交网格于点D，如图所示：
根据题意得：点M和点A分别为的中点，
∴，
由网格得：，，
∴，
∴，小王的作法正确；
故选：C．
【分析】
对于小吴的画法：连接，选取格点H、K，构造出，再结合相似三角形的判定与性质推导出点P即为所求；对于小王的画法：连接并延长，与网格线相交得到点D，再结合相似三角形的判定与性质推导出点P即为所求．
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 点 在二次函数上，且当 时，
∴ 函数在 处取得最大值，故顶点为，对称轴为，
∵ 当 时，且函数开口向下，
∴ 在时，，
设函数顶点式为，
则当时，，
即，
∵ 且（因），
∴ 该不等式恒成立，
∴，
故 t 的取值范围为，
故选：C．
【分析】
已知二次函数 ，因此二次函数开口向下，顶点为函数的最高点，函数在顶点处取得最大值，已知顶点在点 处，故对称轴为，函数的最大值为m+1，根据已知条件当时，，结合顶点坐标，推导出t必须小于2．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交的延长线于一点，如图所示；
∵，
∴
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，，
则，
∵已知的值，
∴可以求出的值．
故选：A．
【分析】
先延长，交的延长线于点，结合平行线的性质，和是的中点，就可以证明。再结合已知条件，可以进一步证明。接下来，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质，可以推导出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例得到，整理后即可得到，由此即可得出最终答案.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为：．
【分析】
根据题目给出的比例关系，利用设参数法进行求解，设，之后将其代入待求式，结合比例性质化简即可得到最终结果.
12．【答案】9500
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率约为0.95，
∴播种该种小麦10000粒种子，有粒发芽.
故答案为：9500．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此结合频数表先得到麦种的发芽概率约为0.95，再利用发芽概率乘以小麦种子总数即可求解．
13．【答案】
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，为斜边，，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形中正弦的定义：在直角三角形里，一个锐角的正弦值等于这个角的对边与斜边的比值。题目已知斜边，角A的对边长度为5，直接根据定义计算.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
根据，先计算出的长度，之后就可以求出题目的最终结果.
15．【答案】150
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设房价提高x个10元，则房价为元，日均入住数为间，
日营业收入，
该二次函数，开口向下，对称轴为，
∵，且为整数，
当时，；
当时，，
∵，
∴当时y最大，此时房价为元，且在元范围内．
故答案为：150．
【分析】
先设宾馆每间客房的日租金提高x个10元，设宾馆客房租金的总收入为y，之后建立总收入y和x的函数关系，再借助二次函数的性质，就能求出总收入的最大值.
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，，
此时，即为翻折后的线段，
①当时，
作的角平分线，交上一点为，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
过点B作交于点N，
∵，
在中，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴弦的长度为；
②当时，
作的角平分线，交上一点为，连接，，
同理可得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点M，
∵，
∴，则，
在中，，
由勾股定理得，，
∴，
在中，，
∴弦的长度为，
综上所述，这条弦长为或．
故答案为：或．
【分析】
以点B为圆心，的长度为半径画圆，该圆和会相交得到两个交点和，这里的和，就是线段沿过点B的直线翻折后得到的对应线段，接下来分两种情况进行讨论：分别是翻折后对应点为（即），以及翻折后对应点为（即）的情况。翻折的折痕就是和的角平分线，折痕和的交点就是要求的点C，两种情况分别对应交点和。之后添加合适的辅助线，结合圆的相关性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，就可以计算得到AC的长度.
17．【答案】解：
，
，
，
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先按照特殊角的三角函数值代入，再依照三角函数的运算法则计算，最后合并同类项，就能得到运算结果.
18．【答案】（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】简单随机事件概率容易计算，对于两步试验，列表时一定注意抽取后放回还是不放回，如果是放回，则表格每栏都要填，否则对角线上的栏目不填数据。另列树状图时，记得不重复不遗漏。
（1）解：列表如下：
（2）解：由表格知，共有种可能的结果，其中小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的结果有种，
小明抽取的两张邮票中恰好有造纸术的概率为： ．
19．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求．
∵AC=2，DF=1，AB=，DE=，BC=，EF=，
∴，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
（2）解：如图，AG或AG'即为所求．
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据作图-位似画图，进而根据勾股定理结合题意求出各边长，从而即可得到相似比；
（2）根据题意连接AH、KI与直线BC分别交于点G、G'，则AG或AG'即为所求．
（1）解：如图，△DEF即为所求．
∵AC=2，DF=1，AB=，DE=，BC=，EF=，
∴，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
（2）解：如图，AG或AG'即为所求．
20．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】
（1）依据“同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍”，可以先计算出的度数，再将对应数据代入扇形面积公式计算，即可得到结果；
（2）先利用角的和差关系计算得到，再结合“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可算出最终结果.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：连接，过点作于点，
，
，，
，
，
即到的距离为；
（2）解：连接，过点作于点，
，
∵，的最大张角为75度．
此时，，
在中，，
∴，
则，
∴此时能用取碗夹夹起这个盘子．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先连接，再过点作，垂足为。根据等腰三角形三线合一的性质，可以得到，之后通过列式计算就能得到的长度。
（2）和第一问的推导思路一致，可以得出，且，将已知数值代入三角函数关系式计算，就可以得到最终答案.
（1）解：连接，过点作于点，
，
，，
，
，
即到的距离为；
（2）解：连接，过点作于点，
，
∵，的最大张角为75度．
此时，，
在中，，
∴，
则，
∴此时能用取碗夹夹起这个盘子．
22．【答案】（1）解：图象过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法将（1）所求的函数解析式配成顶点式，结合抛物线的开口方向即可求出最大值.
（1）解：图像过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：
，
，
当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
23．【答案】（1）解：设二次函数解析式为，根据题意，把；；分别代入解析式得
，
解得，
所以，抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由得：，∴，
∴对称轴为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：由（2）知，对称轴为，，分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧，
最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为，
和为，
解得，
∴
②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为，
通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为，
和为：，
整理得，
解得（负值舍去），
∴；
③当时，无符合条件的解，
综上，m的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式变形为顶点式即可解答问题；
（2）根据图表可得，再根据二次函数的对称轴公式得，再将代入，得，最后根据得，从而可求的取值范围；
（3）由（2）知，对称轴为，，分情况讨论，①当时，，②当时，，③当时三种情况在范围内求出二次函数最大值和最小值，根据最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为列出关于a的方程，求出a的值，代入计算即可得的值．
（1）解：设二次函数解析式为，
根据题意，把；；分别代入解析式得
，
解得，
所以，抛物线的解析式为，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由得：，
∴，
∴对称轴为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：由（2）知，对称轴为，，
分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧，
最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为，
和为，
解得，
∴
②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为，
通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为，
和为：，
整理得，
解得（负值舍去），
∴；
③当时，无符合条件的解，
综上，m的值为或．
24．【答案】（1）证明：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
②如图，连接，
∵为的直径，
设，则，
∵，
∴由圆周角定理可知，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵所对的圆周角相等，∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵所对应的圆周角相等，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】
（1）①根据题目给出的条件可以推出，进而可证明，由此可得，最后结合同角的补角相等即可证得所需结论；②连接，设，那么，结合圆周角定理和①中已证的结论，可以推出，再利用边角边定理即可证明，根据全等三角形的性质就能得到；
（2）先证明，由相似三角形的性质可得，整理可得，再结合已知条件计算出圆O的半径，接着证明，根据相似三角形的性质得到，变形后即为，把已经得到的线段等量关系代入该式，就可以计算出最终结果．
（1）略
（2）解：∵所对的圆周角相等，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵所对应的圆周角相等，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑