资源简介

安徽省淮南市2026届高三一模数学试题及答案解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线，，则“”是“”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.对于一个声强为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为,声强为时的声强级为，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，，则向量在向量上得投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7为学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务.现将7为学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.某软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
A.
B.每增加1个月份，月利润约提高2.8万元
C.10月份的利润约为36.4万元
D.5月份利润的残差为0.2万元
10.在中，，，，在线段上，且，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知正三棱柱的外接球球心为，,点满足，，.则下列结论正确的是（ ）
A.球的表面积为
B.当时，的取值范围为
C.当时，不存在点，使得平面
D.当时，设点在直线上运动，则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列的前项和为，，，则 .
13.已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为 .
14.已知，若函数的图象存在对称中心，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数的最大值为1，为常数.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）求使成立的的取值集合.
16.（15分）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，平面平面.
（1）判断直线与直线的位置关系，并给出证明；
（2）若平面平面，，，，，是直线上的一点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
17.（15分）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.设次传球后球在乙手中的概率为.
（1）求，；
（2）求；
（3）求.
18.（17分）已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数的值；
（2）设.
（ⅰ）证明：存在唯一极小值；
（ⅱ）设的极小值点为，证明：.
19.（17分）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点.
（ⅰ）证明：以为直径的圆过点；
（ⅱ）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线交于点，试判断的形状，并给出证明.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵，又，
∴.
2.B 解析：∵，∴复数的共轭复数为.
3.A 解析：若“”，则，∴，反之，亦成立
∴“”是“”的充分必要条件.
4.C 解析：由题意可知，∴，∴.
5.A 解析：，∴.
6.C 解析：椭圆右焦点，上顶点，设.
由得，
∴，，即. 代入椭圆方程得，
整理得，即，∵，∴.
7.B 解析：由,可得，
即，∵，则，
令，则，
∵在单调递增，在单调递减，
∴在单调递增，∴，
∴，
令，
当时，得到最小值，∴，
∴的最大值为，即的最小值为，
∴取得最小值3.
8.A 解析：由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，
当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
甲乙同组且丙丁同组的概率为.
二、选择题
9.AD 解析：依题意，，，
将代入种，解得，故A正确；
可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误；
将代入中，得到，故C错误；
将代入中，得到，则所求残差为，故D正确.
10.ACD 解析：由正弦定理，得,∴，故A正确；
∵，∴.
由，得，即，
∵，∴，∴.
∵，∴，∴，∴.
∴，∴.
∴，故B错误；
由，得，
∴，，
∴.
由正弦定理，得.
∵，∴，∴.
∴，故C正确；
中，由余弦定理得：
.
∴，故D正确.
11.ABD 解析：如图，分别作的中点，
连接，
分别作的中点，连接，
分别作靠近的三等分点，
连接交于，
则两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
∴，
，
，
对于A，∵，
∴即为正三棱柱的外接球球心，半径为，
∴球的表面积为，故A正确；
对于B，如图，分别作的中点，连接，则，
当时，点在上，将平面与平面展开使其共面，
则当三点共线时，最短，
最小值为，
当点与重合时，最长，
最大值为，
∴当时，的取值范围为，故B正确；
对于C，如图，作的中点，连接，则，
当时，点在上，连接，
则，
∴，
由，整理可得，∴，
符合题意，即点与点重合时，，
又，,平面，
∴平面，∴C错误；
对于D，如图，连接，则，，，
当时，，
此时三点共线，
∴的最小值为点到平面的距离，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，∴.
∴点到平面的距离为：
，即线段长度的最小值为，故D正确.
三、填空题
12.1100 解析：设数列的公差为，则，，
联立解得，，∴，，
∴.
13.8 解析：抛物线焦点，
准线方程，
如图，过点作于点，
由抛物线定义可知，
由圆的性质，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，
设点到直线的距离为，则，当且仅当时等号成立，
∴，
故的最小值为8.
14.4 解析：由题可知，，
令，解得或，由题可知，，
∴的定义域为或，
∵函数的图象存在对称中心，∴对称中心横坐标为区间中点，
∵，即，
∴函数的图象的对称中心为，则，
，
，
∵，∴，
∵，
∴对于定义域内任意都成立，
∴，即.
四、解答题
15.解：（1）函数
，
∵的最大值为1，∴，解得，∴.
令，解得：，
又∵，则取交集，
∴在的单调递增区间为.
（2）∵，即，可得：.
∴，解得：，
∴成立的的取值集合为.
16.解：（1）.
证明：∵点分别是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面平面，平面，∴.
（2）∵，点为的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，又，
∴以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，，
∴，又，
则，
，，
设平面的法向量为，
则，不妨设，解得.
由（1）知，设,得，∴.
设直线与平面所成角为，
则，
得或，
∴线段的长度为或.
17.解：（1）记“经过次传球后，球在乙手中”，，
当时，，
当时，.
（2）由
，
即，
∴，∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴.
（3）由（2）知，令，
∴，
则，
两式相减得
，
∴.
∴.
18.解：（1）∵，∴，
∵函数在点处的切线方程为，
∴切线的斜率为，且当时，.
∴，∴，.
（2）（ⅰ）∵，其定义域为，
∴.
令，得或，
设，∴在上恒成立，
∴在上单调递减，
又，，
∴存在唯一，使，
故时，，，，单调递减，
时，，，，单调递增，
时，，，，单调递减，
∴是函数的唯一极小值点，∴存在唯一极小值点.
（ⅱ）∵的极小值点为，∴.
又，且在上单调递增，∴，
又，两边取自然对数得，即，即.
∴，
设，
则在上恒成立，故在上单调递减，
故，即.
综上所述：.
19.解：（1）∵双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
∴，，解得，，∴的方程为.
（2）（ⅰ）由（1）知，，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，如图，
由，可得，
∴，，其中，
∴
，
∴，∴以为直径的圆过点.
（ⅱ）是等腰三角形（或等腰锐角三角形）.
∵直线的斜率存在，∴.
不妨设直线，，其中，，
由（ⅰ）可知，
由，可得，解得，
故可得，即，
∴
，
∴直线，
由，解得，∴在定直线上，
又，∴，
∴是等腰三角形（或等腰锐角三角形）.

展开更多......

收起↑