资源简介

安徽省黄山市2026届高三一模数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.点在抛物线上，则到抛物线焦点的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，在上得投影向量是，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.点在直线上，过作圆的切线
（为切点），则下列结论正确的是（ ）
A.圆心的坐标为
B.圆上的点到直线距离的最大值为
C.的最小值为3
D.的最大值为1
10.如图，在直棱柱中，，，，是中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.四点共面
C.直棱柱不存在外接球
D.棱的中点在平面内
11.是的最大内角，且，，则下列结论正确的的是（ ）
A.可能为锐角三角形
B.的最大值为
C.面积的最小值为
D.的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知随机变量，若，则= .
13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
14. 若，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知是正项数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为函数的导函数，记，求数列的前项和为.
16.(15分)2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分.某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？.
（2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没
有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为.如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第一天、第三天参与了绿色出行的概率.
附：.
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17.（15分）如图，在直角梯形中，，，，为 中点，将沿折起，使到处.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，，，，且二面角的正弦值为.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求四棱锥外接球的表面积.
18.（17分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且.
（ⅰ）求点的坐标；
（ⅱ）点时直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点，其中的斜率为且，求的值.
19.（17分）已知函数，.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若函数有三个零点，且.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：根据，则，∴的虚部为1.
2.D 解析：由知，，得，∴，∴.
3.C 解析：∵点在抛物线上，∴，即，
则抛物线焦点坐标为，∴到抛物线焦点的距离为.
4.A 解析：由题意可知，函数的图象关于原点对称，则，且在上单调递减，函数的图象如图所示，结合图象可得，不等式的解集为.
5.C 解析：向左平移后得到，
若其图象关于轴对称，则，则，
又∵，则当时，取得最小值，最小值.
6.B 解析：由题意得在上得投影向量为，∴，∴，
则.
7.B 解析：由题意可得，过点且倾斜角为的直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率，即，∴离心率.
8.D 解析：由，则，
即对恒成立，
又函数和在上均为增函数，
则函数和在上有共同的零点，
即，则，即，
设，则，
令，得或，令，得，
∴函数在和上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，且，
则的取值范围是，∴的取值范围是.
二、选择题
9.ABD 解析：对于A，圆，∴圆心的坐标为，故A正确；
对于B，圆心到直线的距离，∴圆上的点到直线距离的最大值为，故B正确；
对于C，由切线长公式，可得，
∴的最小值为1，故C错误；
对于D，如图所示，连接，则，
设，则，
在直角中，设，
则,且，
∵，
令，则，则，
又∵，当且仅当，即，时，等号成立，
∴，即的最大值为1，故D正确.
10.ABC 解析：在直棱柱中，平面，又，
则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间之交在坐标系，
则,
，
对于A，∵,，
∴，∴，∴，故A正确；
对于B，，，即，
又直线，∴，即四点共面，故B正确；
对于C，在梯形中，，，，
则为锐角，，∴，
∴梯形五外接圆，则直棱柱没有外接球，故C正确；
对于D，棱的中点，
，，，
假设棱的中点在平面内，
则有，即，该方程组无解，
∴棱的中点不在平面内，故D错误.
11.BD 解析：对于A，由
，
则，
即，
∴，
则，
即
∵是的最大内角，∴，，∴，，
则，即，故为直角三角形，故A错误；
对于B，∵，则，∴，
又，则，
∴，
则时，的最大值为，故B正确；
对于C，∵，，则面积为，故C错误；
对于D，∵，则，则，
又，则，
∴，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为2，故D正确.
三、填空题
12. 解析：由题意，.
13. 解析：，
令，可得或，
当，即时，恒成立，在定义域上单调递减，不合题意；
当时，∵，∴，
由，得，由，得或，
∴在和单调递减，在单调递增，
∴在处取得极小值，不符合题意；
当时，∵，∴，
由，得，由，得或，
∴在和单调递减，在单调递增，
∴在处取得极大值，符合题意，
综上实数的取值范围为.
14. 解析：记，则，由，得，
即，∵，∴，∴，
则，，
∵，开口向下，其对称轴为，
∴当时，，∴的取值范围为.
四、解答题
15.解：（1）当时，，∵数列是正项数列，∴，
由，得，
两式相减得，即，
∵，∴，
∴是以1为公差，1为首项的等差数列，∴.
（2）由题意，则，
∴，
∴.
16.解：（1）零假设：参与绿色出行与年龄群体无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
∴参与绿色出行与年龄群体有关.
（2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与了绿色出行”，，由题意知：，，，，
∴，
∴，
∴.
∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为.
17.解：（1）∵，，，∴四边形为矩形，
连接交于点，连接，则点为中点，
又为 中点，
∴是中位线，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）（ⅰ）∵，平面，
平面平面且交于，
∴平面,又平面,∴，又，
故以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，，
设，则，
又，
∴，∴，则，,
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，∴.
又，，，平面，
∴平面，∴即为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，
∴，
即，
解得或（舍），∴.
（ⅱ）∴外接球球心在过点垂直于平面的垂线上，则.
设，又，则，，
∴，解得，
∴，∴，故.
18.解：（1）依题意，，∴，∴，
又∵点在椭圆上，∴，∴，，
∴椭圆的方程为：.
（2）（ⅰ）由（1）知，
∴，，
又，∴，又，
∴，解得，又，∴，∴.
故点的坐标为或.
（ⅱ）设，，，，即，
联立，得，
∴，，
，
即，
∵，，
∴
，
同理，对于斜率为的直线，可得，
又，∴，
∵过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点，
∴点不能再椭圆上，
若点在椭圆上，则，即，因此，
∴，即，解得.
19.解：（1）由，
①当时，，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，若，则，即在上单调递增；
若，则，令，得，
若，即时，
当时，；当时，；
当时，.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，
当时，；当时，，
由的连续性知在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
（2）（ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，∴至多只有有一个零点，不符题意；
②当时，由得，则在上只有一个零点，不符题意；
③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且，则函数无零点，不符题意；
④当，在上单调递增且，，
∴在上恰有一个零点，
又时，，
若使有3个零点，则，
即，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（ⅱ）令，即，
∵为的三个零点，且由（2）可知，
∴，，由同号，两式相除得，
设等差数列的公差为，∴，得，①
同理，由异号，∴，∴，得，
∴，得，解得，
代入①得，∴，.

展开更多......

收起↑