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安徽省马鞍山市2026届高三一模数学试题及答案解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上得极值点有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西30°，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，当圆的面积最小时，圆心的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.两个粒子从同一发射源发射出来，在某一 时刻，它们的位移分别为，，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上得投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足：，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.已知，条件，则成立的充分不必要条件有（ ）
A. B.
C. D.且
10.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ）
A.的焦距为
B.的方程为
C.的焦点到渐近线的距离为2
D.与直线仅一个公共点
11.已知函数列，则（ ）
A.在区间上单调递减
B.的图象关于直线对称
C.的最小值为
D.的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，且，则的值为 .
13.已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为 .
14.已知事件满足，，，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示：
（1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；
（2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一员线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差.
参考公式：相关系数；回归系数.
16.（15分）如图，四棱锥中，，,，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比的等比和数列，且，，记.
（1）求证：数列是周期数列，并指出其周期；
（2）求的值.
18.（17分）已知，，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知椭圆以分别为左、右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）求证：为定值，并求出该定值.
19.（17分）已知函数，其中.
（1）当时，求在区间上的最大值；
（2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
（3）设为在内的极小值点，求证：.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：∵，∴的虚部为.
2.D 解析：，由解得或，
∵，∴，∴.
3.B 解析：函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为，
当时，；当时，；当时，，
当且仅当时取等号，则函数在,上单调递增,上单调递减，因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，∴极值点个数为2.
4.C 解析：令，则原等式化为，∴.
5.A 解析：在中，，，，
由余弦定理，得，
由正弦定理得.
6.D 解析：由圆的圆心在抛物线上，可设,
又圆与直线相切，则圆的半径
，
当时取等号，即当时圆的半径最小，故圆的面积最小，
此时圆心的纵坐标为4.
7.B 解析：由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，可得，且，
∴在上得投影向量为.
8.D 解析：数列中，，
函数是增函数，且当时，，
则，，，…，
，因此，故AC错误；
，令函数，则，
∴函数在上单调递减，则，而，则，
因此，∴，故B错误，D正确.
二、选择题
9.ABD 解析：对于A，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，，，由，得，而也能使成立，因此是成立的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当时，成立，而不等式不成立，因此不是成立的充分条件，故C错误；
对于D，由且，得且，则，
而也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，故D正确.
10.CD 解析：依题意，，∴，若双曲线焦点在轴上，则由，解得，
∴，∴焦距为，
若双曲线焦点在轴上，则由，解得，
∴，∴焦距为，故A错误；
由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误；
若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
同理若双曲线焦点在轴上，可得，故C正确；
∵与双曲线的一条渐近线平行，故与直线只有一个公共点，故D正确.
11.ACD 解析：对于A，，当时，，
在区间上单调递减 ，故A正确；
对于B，，，
，∴，
∴的图象关于直线不对称，故B错误；
对于CD，，，
，
因此函数是以为周期的周期函数，
求导得
，
当时，，，，
当时，，，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，，，
由额周期性得在上得最大值为1，最小值为，
因此，，故CD正确.
三、填空题
12. 解析：由题意可得，当时，；
当时，，由，则，解得，
∴.
13. 解析：设球的半径为，则球的体积为，球的表面积为，
∵球的体积与其表面积的数值相等，∴，解得，
设圆柱底面半径为，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，
由题意可知，解得，
∴圆柱的侧面积wield.
14. 解析：由，得，
，，
由全概率公式，得，则，
即，解得，，
因此，∴.
四、解答题
15.解：（1）由给定数表得，，，
，
，
∴样本相关系数，
∴与成正相关，有较强的相关性.
（2）由（1）得，，
∴身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为，
当时，，∴刡的身体活力指数残差为.
16.解：（1）∵在四棱锥中，，,
∴四边形为等腰梯形，，则，
∴，则由余弦定理得，
在中，，
于是，因此，
又，即，
而，平面，则平面，
又平面，∴平面平面.
（2）在平面内过作，由（1）得
直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空
间直角坐标系，
则，
，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，不妨令，则，
，不妨令，则，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
17.解：（1）由及可得，
由此可得递推关系，∴，
可得，即数列是周期数列，周期为2.
（2），，
由（1）知，周期为2，∴，，
∴.
18.解：（1）由题知，，，设，则，，
由题意知，均不为0，即，
再由，得，即.
∴的方程为.
（2）（ⅰ）∵椭圆的离心率为，故，，
∴椭圆的方程为，如图，
设，，
其中，，
∵在上，∴，
由基本不等式，
，故，
当且仅当时，等号成立，
而面积，∴面积的最大值为.
（ⅱ）设，，则三点共线，
∴，即，解得，
则，
，
∴，为定值.
19.解：（1）当时，，则，
当时，，故，单调递增，
故.
（2）由题意可得，令，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
①当时，，则在上恒成立，
此时单调递减，不存在极值点；
②当时，，，，
由零点存在性定理知，存在，，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，
单调递减，此时有位移极小值点，极大值点；
③当时，，，，
存在唯一，使得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
此时在上有唯一极大值点；
④当，恒成立，在上单调递增，此时无极值点.
综上，实数的取值范围为.
（3）由题知，，即，
要证，即证，
令，则，
令，得，
再令，则，
当时，，则单调递减，
∴，单调递减，∴，
从而，可得单调递减，∴有，
则有，因此.

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