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安徽省芜湖市2026届高三一模数学试题及答案解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设命题，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知实数，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知等差数列的前项和为，满足，，则公差（ ）
A. B. C. D.
5.已知的定义域为，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
6.若函数（且）的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.或 B.或 C. D.
8.已知椭圆，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点记为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.若复数，则下列说法正确的有（ ）
A.实部为 B.虚部为
C. D.复数对应的点在第一象限
10.已知直线与单位圆（为坐标原点）交于，两点，下列说法正确的有（ ）
A.的最大值为2
B.当直线过点时，的最小值为
C.当时，中点的轨迹方程为
D.当原点到直线的距离为时，的最大值为
11.已知函数，且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（ ）
A.函数有且只有一个零点
B.若函数在区间内均存在零点，则
C.若，则数列为递增数列
D.存在实数，使得数列为常数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，若，则实数 .
13.的展开式中得常数项为 （用数字作答）.
14.已知函数，，关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的内角的对边分别为，满足.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
16.（15分）已知曲线在处的切线为.
（1）求切线的方程；
（2）求证：切线在曲线的下方（切点除外）.
17.（15分）一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1,2,3,4,5,6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球.
（1）求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率；
（2）假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望；
（3）假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率.
18.（17分）已知点，直线，是直线上任意一点，过作直线的垂线交线段的中垂线于点，记为坐标原点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点异于点，连接交直线于点，求证：；
（3）若与交于两点，与交于两点，设线段的中点分别为，求面积的最小值.
19.（17分）如图，空间六面体中，四边形与四边形为共腰的梯形.
（1）求证：四边形与四边形中至少有一个是梯形；
（2）在空间直角坐标系中，，,,分别与，，，同向共线.
①若该六面体为正四棱台且，求平面与平面的夹角；
②若四个侧面均为腰长为2的等腰梯形，，，求点到平面的距离.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：∵集合，，则.
2.A 解析：∵全称量词命题的否定为特称量词命题，
∴原命题的否定为.
3.B 解析：对于A，∵，，
当时，，即；当时，，即，故A错误；
对于B，∵在上单调递增，∴由，可得，故B正确；
对于C，由的图象和性质，无法由，判断的大小关系；
对于D，∵，，
∴当时，，即；
当时，，即，故D错误.
4.C 解析：由，解得，
∴由，即，解得.
5.D 解析：由上的函数满足，得
，
即函数是以6为周期的周期函数，而，
∴.
6.A 解析：当时，单调递减，此时，
要使的值域是，则当时，的值域为的子集，
∴，解得，即实数的取值范围为.
7.A 解析：设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，
∵地面边长为4，∴，
易知球心在线段上，
则，解得或4，
当时，又，
解得，
∵，∴即为异面直线与所成角的平面角，
在中，由余弦定理可得，解得，
当，又，解得，
∵，∴即为异面直线与所成角的平面角，
在中，由余弦定理可得，解得.
8.C 解析：设，由，可得，
∵在椭圆上，联立，解得，∴，
双曲线经过第一象限的渐近线方程为，
将代入得，解得，
∴双曲线的离心率.
二、选择题
9.AD 解析：由题意可得，∴的实部，虚部为，，复数对应的点为，在第一象限.
10.ABD 解析：由题设，圆，圆心为原点，半径为1，
∴当直线过原点时所得最大，为2，故A正确；
显然点在圆内，若直线过该点，
则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，故B正确；
由，则其中点与圆心的距离，
∴中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程，故C错误；
若到直线的距离为，即中点在圆上，且，
设，则，
与垂直的一个单位向量为，
而，则，又，
∴，而关于对称，则
，
∴，则
，且，
∴时，最大值为，故D正确.
11.ACD 解析：对于A，∵，∴恒成立，
∴在上单调递增，
又当时，；当时，，
∴函数有且只有一个零点，故A正确；
对于B，当时，恒成立，∴在上单调递增，
又，
∴若函数在区间内均存在零点，只需满足即可，
∴对任意成立即可，
易知函数在上单调递减，∴，
∴，故B错误；
对于C，当时，∵在上单调递增，，，
∴，
当时，，
由于是函数在的零点，∴，
∴，则，
数列为递增数列，故C正确；
对于D，若存在实数使得数列为常数列，设（常数），
则对任意，恒成立，解得或，
当时，代入得，解得，
当时，代入得，因为，故舍去，
∴当时，数列为常数列，，故D正确.
三、填空题
12.6 解析：若，则，则.
13.15 解析：由二项式定理得，
∴当时为常数项，即.
14. 解析：有6个不同的实根，由，则有4个不同实根，且有2个不同实根，
根据正弦函数的图象知，可得.
四、解答题
15.解：（1）由题意及正弦定理得：，
又，整理得，∵，∴.
（2）由余弦定理，得，
进而得，得，
∴的周长为.
16.解：（1）由，得，∴，
又，∴切线方程为，即.
（2）令，则，
令，则，
令，得，∴时，时，
∴在上单调递减且恒小于0，在上单调递增，
注意到，∴有唯一根，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
∴函数，则，当且仅当时取等号，
∴切线在曲线的下方（切点除外），得证.
17.解：（1）在一次摸球后有种等可能得结果，
其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果，
故“两球编号之和是3的倍数”的概率为.
（2）由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数，
事件为的概率；
事件为，，的概率，
事件为，，的概率，
事件为的概率，
.
（3）由，当时，，
整理可得，又，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，故.
18.解：（1）∵点在的垂直平分线上，∴点到的距离与到直线的距离相等，
∴点的轨迹是以为焦点的抛物线，
∴轨迹的方程为.
（2）设点，则点，直线方程为，
令可得点，
∴，，
∴，即.
（3）由题可得直线的斜率存在且不为0，
设的斜率为，则直线的斜率为，
则，，
设，，，，
则，
∴，得，同理用代替得，
则，，
又由（2）得，
∴，
当且仅当时取等号，∴面积的最小值为4.
19.解：（1）∵四边形与四边形为共腰的梯形，∴，
由于平面，平面，∴平面，
同理可得平面，
又∵，平面，
∴平面∥平面，
∵平面平面，平面平面，
∴，同理可得，
下面使用反证法：
如果四边形与四边形均不是梯形，那必都是平行四边形，
则,
∵平面，平面，∴平面，
又平面平面，∴,
这与四边形为梯形矛盾，
∴原命题成立，四边形与四边形中至少有一个是梯形.
（2）①当该六面体为正四棱台时，
，，由解得，
当时，，,,，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，不妨取，
则，不妨取，
∴，
∴平面与平面的夹角为60°，
同理可得：当时，平面与平面的夹角为60°，
综上，平面与平面的夹角为60°.
②设，，则，
，则，
由四边形是等腰梯形知，同理，∴，
同理，
又∵，∴四边形为矩形，
延长直线交于点，
过点作交于，交于，
由，得,，∴，
如下图，可得到正四棱锥，
又由，∴，又，，
∴，，，，
点到底面的距离为，点到下底面的距离为.
设点到平面的距离为，
∵，，,
即，解得，
∴点到平面的距离为.

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