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福建省2026届高三1月教学质量检测数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知抛物线的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ）
A. B. C. D.
3.印刷电路板（）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021-2025年度中国市场规模（单位：千亿元）依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，，记，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.在中，内角的对边分别为.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数存在极大值点和极小值点，，其中都是实数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，若集合满足，则可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.若，则（ ）
A.
B.
C.从这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种
D.从这8个数中任取3个，这三个数的和等于中某数的取法有28种
11.已知定义域与值域均为的函数满足，，
且，则（ ）
.
.
.，是奇函数
.，满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，用表示 .
13.已知双曲线，记，经过点，，且（为原点），则的离心率为 .
14.若函数有零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列的前项和.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差.
16.（15分）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点.是坐标原点，的面积是，求实数的值.
17.（15分）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”.
（1）若，，每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1分.现顾客甲参加抽奖活动.
（ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率；
（ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为，求的分布列与方差；
（2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取次任然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品.若顾客乙编号的个位数是8，记顾客乙抽取的次数是，求的数学期望.
19.（17分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设，证明：对任意，都有；
（3）若数列满足，证明：.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：由，得.
2.D 解析：由抛物线的定义，得，解得，∴，
∴.
3.B 解析：∵，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据（3.88）与第3个数据（4.16）的平均数4.02.
4.C 解析：∵，，∴，
∴，∴.
5.B 解析：由，得，
∴，
当为仅当，即时等号成立.
6.C 解析：由，得，，
∴，即，又，
∴，易知此时三角形有解.
7.D 解析：设正四面体的棱长为，则表面积为，
该正四面体的各条棱的中点构成棱长为的正八面体，其个顶点都在半径为的球
的表面上，则球的表面积为，∴.
8.B 解析：由题意知有两个实数根，显然，∴，
令，则，
当时，；当时，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为，，
又，∴方程有两个解时，，
由分别是的极大值点与极小值点且知
的单调递增区间为，单调递减区间为，∴.
当时，，
当时，有，符合题意，
由得，
又，∴，故B正确；
当时，有，不合题意.
取，则，存在极大值点和极小值点，但，故A错误；
取，则，，，
故CD错误.
二、多项选择题
9.BC 解析：对于，，则，不满足题意；
对于B，，则，满足题意，故B正确；
对于C，，则，满足题意，故C正确；
对于D，当时，，，不满足题意，故D错误.
10.BCD 解析：通项，∴，得，
∴，故A错误；
由，得，，
由二项式系数的性质知最大，故B正确；
由，得为负数，为正数，
∴从中任取2个，这两个数之积为正数的取法有种，故C正确；
由题意知，，
∴，
∴从中任取3个，其和仍在该组数据中的取法有种，
又，，，
，∴共有种，故D正确.
11.ACD 解析：∵，，
取，得，即，故A正确；
取，得，即，
∴，故B错误；
当时，，
∴当时，是奇函数，故C正确；
取，得.
设，则的取值范围是，且，∴.
当时，，∴，故D正确.
三、填空题
12. 解析：由，，得，∴，
∴.
13. 解析：由题意，知过点的右焦点，且，易求得，
由，得是等腰直角三角形，为斜边，
∴，∴，即，∴，
∴的离心率为.
14. 解析：①当时，，
若，则；若，则，
故当时，没有零点；
②当时，若，则，
，
若有零点，则，解得或；
若，则或，
若，则；
若，则，
∴，
若有零点，则.又，解得.
综上，的取值范围是.
四、解答题
15.解：（1）证明：∵，∴，
两式相减，得，∴，
又，得，解得，∴，
故是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
，，
∴数列的公差.
16.解：（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，∴，
又∵点在椭圆上，∴，解得，
∴椭圆的标准方程为.
（2）联立，整理得，
∵直线与椭圆相交于两点，
∴，∴，
设，则有，，
，
点到直线的距离，∴，
由，得，即或，满足，，
∴实数的值是1或2.
17.解：（1）证明：在正方形中，，设与平面所成的角为，
∵，∴与平面所成的角也为，
∴到平面的距离为，到平面的距离为，
连接，
∵，
，
由题意知，
显然，∴，
又，∴，∴，
∵，∴，
又，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）知平面，平面，∴平面平面，
分别取的中点，连接.
∵是正三角形，是边上的中点，∴.
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，则两两垂直.
以为原点，直线分别为轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，∴.
设直线与平面所成的角为，则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）（ⅰ）记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件A，
顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件B，
则,,∴，
即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为.
（ⅱ）由题意知的可能取值为0,1,2，
则；；，
的分布列为
0 1 2
∴,
.
（2）由题意知的可能取值为，
则，
，
∴，
设，
则，
两式相减得，
，
∴，
∴.
19.解：（1）∵，∴，，
∴曲线在处的切线方程为.
（2）证明：∵，∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∵，∴或，
若，由在上单调递增，得；
若，∵在上单调递减，∴，
要证，只要证，
设，
则，
∴在上单调递增，∴，∴，
故.
（3）证明：由（2）知，在上单调递增，，，
∵对任意，，
∴存在唯一，使得，
由，得，，
首先证明：，①
设，则单调递增，
∵，∴当时，，递增；
当时，，递减，
∴，当且仅当时取等.
∴，即.
其次证明：，②
设，则，
∴在上单调递增，∴，
令，得.
由①②得，
.
综上，原不等式得证.

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