资源简介

福建省2026届高三1月六市联考数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5.将一个表面积为的铁球溶化后重新浇筑成两个小球（熔化的铁水无损耗，无残留），则这两个小球的表面积之和可能是（ ）
A. B. C. D.
6.已知随机变量满足，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.若函数是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
8.设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组样本数据为80,81,83,85,86,89，则（ ）
A.若剔除80，则样本的极差变小 B.若剔除80，则样本的平均数变小
C.若剔除83，则样本的中位数变大 D.若剔除89，则样本的方差变小
10.如图，某石凳可以看作是正四棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，已知，，，则（ ）
A.该几何体的体积为11
B.直线与所成的角为45°
C.
D.点到平面的距离是点到平面的距离的2倍
11.已知函数，则（ ）
.
.为的极小值点
.的值域为
.若存在，使得，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 .
13.已知，，则 .
14.已知数列满足：，，，则 ；记数列的前项和为，若，则正整数的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地调查了300为市民，统计得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否与性别有关；
（2）在不了解“未来低空出现”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设为女性市民的人数，求的分布列与期望.
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.（15分）记的内角所对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若在边上，且，，，求.
17.（15分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.
（1）当时，证明：平面；
（2）已知平面平面，,，平面与平面夹角的余弦值为，求的面积.
18.（17分）设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：存在唯一极大值点；
（3）记的极大值点为，若存在，使得，求的取值范围.
19.（17分）已知抛物线，,，为常数，.按照如下方式一次构造点：过作斜率为的直线交于，两点.使得，令为线段的垂直平分线与轴的交点，记的坐标为.
（1）求；
（2）证明：；
（3）设为的面积，证明：.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：，，∴.
2.D 解析：，∴，∵，∴.
3.C 解析：依题意，，解得，
∴与的夹角为.
4.B 解析：设，则，，解得，.
5.C 解析：设大铁球的半径为，两个小铁球的半径分别为，
∴，即，即，则，，
∴，∴，
即，∴这两个球的表面积之和满足，
∴选项错误；
取，这两个球的表面积之和，
取，则这两个球的表面积之和为，
∴存在，故C 正确.
6.B 解析：依题意，，
∴.
7.D 解析：依题意，项的系数为0，∴，解得.
8.B 解析：以为直径的圆与椭圆有三个公共点，由可得，
，解得或，
∴，即，∴的离心率.
二、多项选择题
9.ACD 解析：对于A，原先的极差为9，删去80后极差变为8，故A正确；
对于B，原先的平均数为84，删去80后平均数为84.8，故B错误；
对于C，原先的中位数为84，删去83后中位数为85，故C正确；
对于D，原先的均值，方差，删去89后，均值变为83，方差为，方差变小，故D正确.
10.BD 解析：对于A，截取三棱锥的体积为，该几何体的体积为，故A错误；
对于B，延长交于点，∵，，故，直线与所成角为45°，故B正确；
对于C，过且垂直于的平面为平面，平面，故C错误；
对于D，∵，∴与到平面距离相等.
同理，点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，故D正确.
11.ACD 解析：，故A正确；
，则在区间上的单调性如下：
在，，单调递增， 在，，单调递减，
∴为的极大值点，
故B错误；
∵,，∴的最大值为1，
∵，，∴的最小值为，故C正确；
由上可知，只需，即，∴的最小值为，故D正确.
三、填空题
12. 解析：易知为等轴双曲线，∴，解得.
13. 解析：由，得，∴，即，
则有，且，，
∴，解得，∴.
14.； 解析：依题意可得，
即是以为首项，2为公差的等差数列，∴；
∵，
则，
∴，
下证：，
∵，则有，∴，
当时，，
则有，
∵，则，则有，
∴，
∴，
∵，则，则有，
∴，∴，
综上，，∴，
∴.
四、解答题
15.解：（1）零假设为：对“未来低空出行”了解情况与性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为对“未来低空出行”了解情况与性别无关联.
（2）由题可知，不了解“未来低空出行”的100位市民中男女比例为2:3，
∴从市民中抽取的5人中，2位男性，3位女性.
现在从中随机抽取3人免责女性的人数可能为1,2,3，
则；；，
∴的分布列为：
∴的期望为.
16.解：（1）由余弦定理得，
化简得，∴，∴.
（2）依题意，，且，
，
∴，
解得或，又为锐角，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
在中，由正弦定理可得，，∴.
17.解：（1）过作交于，
当时，，∴.
∵，∴，
从而,
故四边形是平行四边形，，
∵平面，平面，∴平面.
（2）由已知得，∵，∴，
∵平面平面，在平面上过作的垂线，
则平面，
以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设平面的法向量为，
则，
令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得.
则，解得（舍），，
因此，，
∴点到的距离，
∴的面积为.
18.解：（1）当时，，则，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为：.
（2）的定义域为，，
设，则，
∴在上单调递减，
又，，
∴存在唯一的使得，
当时，；当时，，
∴在单调递增，在单调递减，∴存在唯一极大值点.
（3）由（2）可得，且，
令，则，即，
∴，令，
依题意，存在，使得，即，
，
令，解得或，令，解得，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
当时，
，
又，则，此时，.
∴的取值范围是.
19.解：（1）设，，易知直线的方程为，
联立，得，解得，，
∴.
（2）设直线的方程为，，，
联立，得，
由韦达定理可得，，，
由，
∵，∴，化简得，
∴，.
（3）设的中点为，则，
由（2）可知，，则，
∴的垂直平分线方程为，
∴，即，
∴，即是以为首项，公比为2的等比数列，
解得，
∵，
则，
∴，
∵，
∵，
∴.

展开更多......

收起↑