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福建省宁德市三校2026届高三1月联考数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若点不在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
5.已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A.函数图象可由的图象向左平移个三位得到
B.函数图象的对称中心为
C.函数图象关于直线对称
D.函数在区间上单调递增
7.数列满足，则数列的前9项和为（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与
抛物线交于两点，，圆为的外接圆，直线与圆切于
点，点在圆上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若正数均不为1，则下列不等式中与“”不等价的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知 的三个角所对的三边分别为，，，设的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为 B.不可能是等腰三角形
C.面积的最大值为 D.周长的最小值为4
11.已知函数，则（ ）
A.当时，函数恰有1个零点
B.当时，函数恰有2个极值点
C.当时，函数恰有2个零点
D.当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 对于任意不等于1的正数，函数的图象都经过一个定点，这个定点的坐标是 .
13. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为3:5，则 .
14. 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小值；
（2）设，，求和的值.
16.(15分)已知正方体的棱长为2，是空间中的一点.
（1）证明：直线平面；
（2）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由.
17.（15分）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.
（1）求证：数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（17分）已知椭圆的离心率，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，
（ⅰ）若直线的斜率为1，求；
（ⅱ）若点，判断与的大小，并证明你的结论.
19.（17分）若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”.设.
（1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；
（2）若时，函数的最大值为0，求的取值范围；
（3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”，并求出所有相应的切线方程.
参考答案
一 选择题
1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C
二 选择题
9.ABD 10.AC 11.ABD
三、填空题
12. 13.20 14.
四、解答题
15.解：（1）由已知及正弦定理可得,
∵，∴，∴,
即，整理得，∴，
∵，∴.
（2）根据余弦定理，
将，，代入解得：，∴.
根据正弦定理有：，解得.
又∵，∴，则，
可求得：，，
则.
16.解：（1）在正方体中，∵平面,
平面,
∴
又∵，，平面，∴平面.
（2）如图，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则.
设点，
平面的一个法向量为，
，
则，取，得，
∴平面的一个法向量为.
平面的一个法向量为，，
则，其，，得，
∴平面的一个法向量为.
∵平面平面，∴，
得，故点的轨迹为抛物线.
17.解：（1）∵数列为等差数列，设公差为，
由题意：，∴，∴.
∵，∴，即，
又，∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
（2）∵，，
∴
.
18.解：（1）∵离心率，∴，又，∴，①
∵点在椭圆上，∴，②
由①②联立解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）（ⅰ）由题意可知直线的方程为：，
联立，整理可得，解得，，
即.
（ⅱ）结论是：.
当斜率等于0时，直线为，此时，，即；
当斜率不等于0时，设直线，，
联立，整理得：，
，
∴，，
，
故，即点在以为直径的圆内，故.
综上所述：.
19.解：（1）不存在
∵，∴，∴，
即在上单调递增，∴不存在且时，，
∴函数不存在“自公切线”.
（2）∵，∴，，
当时，∵，与题意矛盾，∴；
当时，，∴在递减，即；
当时，，使得在区间上，
即在上递增，即，与题意矛盾，
综上所述，.
（3）∵，∴，
设，在点处的切线方程为，
∴，即，
∵重合，∴，①
且，②
即，
则，，，
（ⅰ）当，，时，
有，
由②可得（舍去）.
（ⅱ）当，，中至少有一个成立时，
不妨设，
由②可得，即，∴，
即，
∴，
综上所述，存在至少两个切点的自公切线，且切线方程为.

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