资源简介

福建省漳州市2026届高三毕业班第一次教学质量检测
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.样本数据1,3,4,5,8,10,12,15的下四分位数为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知点，抛物线的焦点为，是上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知是等比数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，角的对边分别是，，，，则的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
10.在正方体中，分别为和的中点，下列说法正确的是（ ）
A.平面平面
B.
C.与平面所成角的正切值为
D.
11.若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ ）
. . . .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设函数，则曲线在点处的切线方程为 .
13.已知双曲线的两条渐近线夹角为60°，则的离心率为 .
14.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个步，从整点到整点的一条路是指由若干个步组成的起点为、终点为的有向折线.则整点到整点的路的条数为 .（结果用数字表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）2025年漳州市创新创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审，某领域有10个项目进入最终角逐，其中科技类项目6个，文创类项目4个.
（1）为分析项目研发投入与最终得分的关系，收集了该领域5个项目的研发投入（单位：万元）和最终得分（单位：分），数据如下表：
请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
（2）从上述10个项目中随机抽取3个进行路演展示，记抽中的科技类项目个数，求的分布列和数学期望.
（参考公式与数据：，，，）
16.（15分）设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.
（1）求的单调递增区间；
（2）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.
17.（15分）已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若存在两个零点，求的取值范围.
18.（17分）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，，.
（ⅰ）当时，求证：平面；
（ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值.
19.（17分）已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点作两条斜率存在且不为零的直线分别交于和，满足.
（ⅰ）证明：的斜率之和为定值；
（ⅱ）求四边形面积的最大值.
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C
二、多项选择题
9.AC 10.BCD 11.ACD
三、填空题
12. 13.或 14.
四、解答题
15.解：（1），，
∵，，∴，
，∴回归直线方程为.
（2）的可能取值为0,1,2,3.
；；
；.
∴的分布列为：
∴.
16.解：（1）∵，
∵的图象相邻两条对称轴的距离为，∴的最小正周期为，
∴，又，∴.
∴，令，
解得，
∴的单调递增区间为.
（2）∵，令，得，
∴或，.
即或，.
∴所有的正零点为或，，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴
.
17.解：（1）依题意得，要证，只需，
令，∴.
设，
∵，∴在区间上单调递增，
故，即，∴在区间上单调递增，
故，故当时，.
（2），
若，则，∴在定义域内单调递增，
故至多1个零点，舍去；
若，令，解得，
当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∵存在两个零点，∴有，即，
解得，
设，则，
当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，从而，即，
此时，由（1）知，，且，
∴在区间和区间内分别存在唯一零点，符合题意.
综上所述，若的定义域内存在两个零点，则的取值范围是.
18.解：（1）连接交于点，连接，
∵四边形是正方形，∴为中点，
又∵为中点，∴在中，有，
∵平面，平面，∴平面.
（2）在正方形中，有.
∵平面平面,平面平面,平面，
∴平面，
∵平面，∴，又,
以为原点，分别以的方向分别为轴的正方形建立空间直角坐标系，
则，
,，
，,
（ⅰ）当时，，
，
∴,，
∴，，即，，
又∵平面，平面，，，
∴平面.
（ⅱ）设为平面的法向量，
则有，取，得，，
则是平面的一个法向量，
，
设为平面的法向量，
则有，
不妨取，得，，
则是平面的一个法向量，
∵二面角的正弦值为，∴，
∴，即，
化简得，解得或（舍），
∴的值为.
19.解：（1）由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，
则，即，
，
∴的标准方程为.
（2）（ⅰ）设的坐标分别为，设的方程为，
联立，整理得，
∴，
，
，
设的方程为，同理有，
∴，即，
由于，∴，即，∴的斜率之和为定值0.
（ⅱ）不妨设的斜率，其倾斜角为，
则四边形的面积，
，
同理得，
由于，得，
，
∴
设，由基本不等式得，
当且仅当等号成立，
设，，
∴在区间上单调递减，
当时，取得最大值取得最大值，
∴四边形的面积的最大值为.

展开更多......

收起↑