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4.2《一元一次方程及其解法》小节复习题
一、单选题
1．已知是关于的一元一次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
3．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解
4．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（ ）
甲：当时，方程的解为；
乙：若方程有正整数解，则
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
5．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．的值不确定
6．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（ ）
A．12 B． C．20 D．
7．已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
8．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
9．关于的方程恰好有三个根，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
10．下列方程的解法中，错误的个数是（ ）
①方程，移项，得；
②方程，去括号，得；
③方程去分母，得：；
④方程，系数化为1，得：．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________．
12．定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______．
13．如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______．
14．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________．
15．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________．
三、解答题
16．阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ；
(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______；
17．解下列方程．
(1)； (2)．
18．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”．
(1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______．
(2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解；
(3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解．
19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”．
(1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值；
(2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解．
20．关于x的方程的解与的解互为相反数．
(1)求的值；
(2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得，
∴的值为4．
2．B
解：根据题意得：，
将代入上述方程得：，
解得，
则原方程为，
方程两边乘12得：，
即，
整理得，
移项、合并同类项得，
解得，
故选：B．
3．D
解：解方程，
可得：，
∵有至少两个不同的解，
∴，，
即，，
把，代入中得：
，
∴方程无解．
故选：D．
4．A
解：解方程，得．
验证甲的说法：当时，，
代入左边，右边，
左边=右边，故甲的说法正确；
验证乙的说法：∵方程有正整数解，
∴是正整数，且为正整数，
∴，解得，
∴的可能取值为1，2，3．
当时，，不是正整数；
当时，，是正整数；
当时，，不是正整数；
当时，，不是正整数；
∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确．
综上，甲、乙都正确，
故选：A．
5．A
解：设，则，代入方程，
得，
整理得，即，
∵方程 的解为，
∴，即，
∴．
故选：A．
6．B
解：解方程得．
∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”，
∴对于所有有理数，方程的解均为．
将代入方程：，
化简得：，
两边同乘6：，
即：，
移项：，
整理：，
∵该式对任意有理数恒成立，
∴且，
解得：，，
∴．
故选：B．
7．D
解：令得，令得，
∴分三种情况讨论：
当时，，，
原方程化为 ，
化简得，解得，
不满足，此种情况不符合题意；
当时，，，
原方程化为 ，
化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程；
当时，，，
原方程化为 ，
化简得，解得，
不满足，此种情况不符合题意；
综上，满足方程的x的范围是，
其中整数为，
计算和得．
8．A
解：
题目要求是非负整数，即且为整数．
，且为整数．
∴是的负因数，即或或，
解得或或，
所以的可能取值为：
整数的所有可能的取值的和为：
故选：A
9．D
解：由题意得，
∴，
∵方程恰好有三个根，
∴或，
当时，原方程化为或。
方程无解，方程有一解，故原方程只有1个根，不合题意；
当时，原方程化为或。
由得或；由得，故原方程有3个根，符合题意；
综上，，
故选：D．
10．C
解：①方程，移项应得，即；该项错误，符合题意；
②方程，去括号应得，该项正确，不符合题意；
③方程去分母，应得，即，该项错误，符合题意；
④方程，系数化为1应得，该项错误，符合题意；
∴错误的个数是3个，
故选：C．
填空题
11．
解：∵ 为一元一次方程，
∴且，
∴，
将，代入，得：，
解得：.
12．
解：∵，
∴，
解得；
故答案为：2．
13．7
解：解方程得
因为两个方程的解相同，将代入得
解得
14．
解：将代入原方程得：，
，
方程可整理得：，
即，
解得：，
关于x的方程的解为．
15．
解：∵关于的一元一次方程的解为，
∴当时，方程成立．
对于关于的一元一次方程，
令，则方程化为，
则该方程解为，即，
解得．
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：；
（2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：，
（3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，
因此或．
17．（1）解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
18．（1）解：与方程互为“反对方程”，
；
（2）解：∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为，
∴，
∴，
∴，
整理得：
关于的方程的“反对方程”为，
解得：；
（3）∵关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
关于的方程的“反对方程”为，
解得：．
19．（1）解：，解得：，
，解得：，
∵方程与是“和一方程”，
∴，
解得：；
（2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为，
∵两个“和一方程”的解的差为7，
∴或，
解得：或；
（3）解：，解得：，
∵一元一次方程和是“和一方程”，
∴一元一次方程的解为，
∵方程变形为，
∴方程的解为，
∴．
20．（1）解：解方程得：，
两个方程的解互为相反数，
另一个方程的解为，
把代入方程，
得：，
解这个方程得：，
．
(2)
证明：，
可化为，
任何数代入均成立，
关于t的方程有无数解．

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