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第1章《特殊平行四边形》单元复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．如图，在平行四边形中，，．平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，在正方形中，O为对角线的交点，E，F分别为边上一点，且，连接．若，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
4．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图1，在正方形纸板中，．为对角线．E，F分别为的中点，连接，分别交于O，N两点，P，H分别为的中点，连接，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这副七巧板拼成如图2所示的图形，则点Q到之间的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
5．如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
7．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
10．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；
②；
③依次连接，，，的中点，，，，则四边形为正方形；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）．
12．如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若，，则对角线的长为 ．
13．如图，点是矩形对角线的延长线上的一点，连接，若，，则 ．
14．如图，在中，．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P．
③连接．
根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ．
15．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ．
16．如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ．
17．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，为正方形的对角线，．动点分别从点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿向终点运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（6分）如图，在 中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
20．（6分）如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
21．（8分）已知在中，，点，分别在，上，点在射线上，．
(1)如图，点与点重合，若，．求证：是的中点；
(2)如图，点在的延长线上，过点作交于点．
补全图形；
写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明．
22．（8分）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）．
(1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
23．（8分）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究：
(1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中．
①求证：；
②四边形的面积是定值吗？
24．（8分）【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图①，直线，垂足为，且是上的任意一点．
求证：．
【定理证明】
（1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；
【定理应用】
（2）如图②，中，于点的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，求长；
（3）如图③，矩形中，，点是上的一点，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点，若是的中点，求的长．
25．（10分）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．
(1)问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是___ ；
(2)问题探究：如图②，是将图①中的绕点A按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．判断的形状，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点A按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点P，Q分别为，的中点，连接．若正方形的边长为1，求的面积．
26．（10分）【问题初探】
（1）如图1，在正方形中，是对角线，点E是边上任意一点，，垂足为F连接取的中点G连接、．求证：是等腰直角三角形．
【变式探究】
（2）如图2，点E是边延长线上任意一点，其他条件不变，且，求的长．
【迁移拓展】
（3）如图3，在矩形中，是对角线，点E是边延长线上任意一点，，作交于点F，连接取的中点G连接猜想的形状，并证明．
参考答案
一．选择题
1．D
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵点P为线段的中点，
∴是的斜边的中线，
∴，
故选：D．
2．B
解：如图，过点G作于H，过点G作，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点G在平行且到距离为1的直线上运动，
∴当F与D重合时，有最小值，此时，
∴的最小值，
故选：B．
3．D
解：过点O作于点H，如图所示：
∵是正方形，且，
∴，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴当为最小时，为最小，
∵点E在边上，
∴根据“垂线段最短”得：当时为最小，
即点E于点H重合时，为最小，最小值为线段的长，
∴的最小值为1，
此时，
即的最小值为．
故选：D．
4．C
解：由，结合正方形的性质可得，
图形⑦中边上的高为，
图形⑥为平行四边形，其中边上的高为，
图形④是正方形，其边长为，
由此累加可求得点Q到之间的距离为．
故选：C．
5．D
∵四边形是正方形，对角线，交于点O，
∴
∵
∴是的垂直平分线
∴，故A不符合题意；
∵，
∴
∵
∴
∴，即，故B不符合题意；
∵，，
∴
∴，故C不符合题意；
只有当时，，
根据题意无法求出，故不一定成立，故D符合题意．
故选：D．
6．B
解：连接，，设交于，连接，，延长，作于，
∵四边形是菱形，
∴，互相垂直平分，
∴点关于的对称点为，
∴，
∴，
只有当点运动到点时，取等号（两点之间线段最短），
在中，，，
∴．
∵，
∴，．
∵菱形的边长为，为的中点，
∴，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为．
故选：B．
7．A
解：∵矩形中，对角线、相交于点O，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
8．D
解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵的周长为，
∴，
过点D作于M，
设，
则，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
故选：D．
9．A
解：如图：
∵正方形，
∴，，
分别作于E，于F，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
由轴对称可得：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，根据垂线段最短可得：，
∴，
故的最小值为，
故选：A．
10．D
解：正方形，
，，
点，分别是，的中点，
，，
，
，故①正确；
，，
，
，
，即，
设正方形的边长为，则，
，
，
，
，故②正确；
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，即，
菱形是正方形，故③正确；
延长和交于点，
，，，
，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，说法正确的个数为4个．
故选：D．
二．填空题
11．①③或③①
解：添加条件①时，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故①符合题意；
添加条件②时，
∵四边形是平行四边形，，
∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意；
添加条件③时，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故③符合题意；
故答案为：①③．
12．
解：四边形是菱形，
，，，，
在中，，
中，，
．
故答案为：．
13．
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
14．
解：作，，，垂足分别是D、E、F，
由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
15．
解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，
∴，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
故答案为： ．
16．13
解：如图，连接与．
四边形是矩形，
，．
在中，，，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
故答案为：13．
17．
解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴
∴，
在中，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．或
以为x轴的正半轴、以为y轴的正半轴建立直角坐标系（如图）．
设正方形中，，，，，
动点P从A出发沿运动，时， ；
动点Q从C出发沿运动，时， ．
交于O，因，
∴，则，
由中点坐标公式可得；
，交于E，设点，连接，
由两点间距离公式：
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∴
即，解得：
故．
∴，
将四边形分为（面积和（面积两部分；
由面积比得：若，解得；若，解得．
故答案为：或．
三．解答题
19．（1）解：∵ ，
∴ ，即．
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，，
∴ 四边形为平行四边形．
又∵ 于点，
∴ ，
∴ 四边形为矩形．
（2）解：∵ 四边形为矩形，，
∴ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且．
∵ ，
∴，
解得．
又∵ 四边形是矩形，，
∴ ．
20．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由（）知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形是正方形．
21．（1）解：证明：∵点与点重合，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：补全图形如图；
当时，；
证明：在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，即，
∵，，
∴，，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是中点，
∴，
∴．
再证明当时，，即证明这是唯一充分条件：
过点作，即，过点作，两线相交于点，连接，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，,
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴
，
即．
22．（1）解：，理由如下：
如图2，把绕点A顺时针旋转，得到，
由旋转的性质得：，，，，
∵四边形是正方形
∴
∵
∴E，B，M三点共线，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图3，在线段上截取，
∵四边形是正方形
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴．
23．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图：
由（1）知四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②解：四边形的面积是定值．
理由：∵，
∴，
∴四边形的面积
．
24．（1）证明：∵,
∴，
在与中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为20，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵矩形中，是的中点，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
解得，
∴．
25．（1）解：∵点P和点Q分别为，的中点，
∴为的中位线，
∵四边形是正方形，点为对角线的中点
∴，，
∴，；
故答案为：，；
（2）解：的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，
由正方形的性质及旋转可得，∠，
是等腰直角三角形，
∴，．
∴，．
又∵点是的中点，
∴．
∴．
∴，．
∴，
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∴也为等腰直角三角形．
又∵点为的中点，
∴，且．
∴的形状是等腰直角三角形．
（3）解：延长交边于点，连接，．
∵四边形是正方形，是对角线，
∴．
由旋转得，四边形是矩形，
∴，．
∴为等腰直角三角形．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，，
∴．
∴．
26．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）∵四边形是正方形，，
∴，．
∵G为的中点，，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）猜想：是等边三角形．
延长、交于点M，延长、交于点N，
∵四边形是矩形，G为的中点，
∴，，．
∴．
∵，
∴（）．
∴．
∴在中，．
∵，，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．

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