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数学练习 3参考答案及评分标准
参考答案：
填空题（1~12题）
1．
2．
3． 4
4． 0
5． 3
6． -108
7．
8. 13
9．
10．
11. 1.21或 0.92
12.
选择题（13~16题）
13. B
14. A
15. C
16. C
解答题（17~21题）
17． （1） ∵ ， （1分）
由 的最小正周期为 ，知 ，（2分）
，（1分）
∴ .（2分）
（2） 由（1）可得： ，（1分）
，（1分）
或 （2分），即 或 ， （1分）
又 （1分），则不妨令 （1分），故 .（1分）
18． （1） 因为 平面 ， ， 为等边三角形， （1分）
设 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，（1分）
则 ，（1分）
为 的中点， ，（1分）
， ，（1分）
，（1分） 平面 ，（1分）
平面 ．
（2） 又 是 轴上的单位向量，则其是平面 的一个法向量，（2分）
因为 （1分），设 和平面 所成的角为 ，（1分）
则 ，（2分）故直线 和平面 所成角的大小为 ．（1分）
19． （1） 10.15 （2分） 210.015 （2分）
（2） （3分）
（3） ①：由题意，成绩的平均数为：
，（1分）
由直线 过 （1分），则 ，
故回归直线方程为 .（1分）
当 时, .（1分）
答：预测 年冠军队的成绩为 秒.（1分）
②：降低（1分），因为体育运动的成绩受人身体素质的上限，不可能稳定线性增加。（1分）
20． （1） 因为 ，且直线 过点 ，
所以 ，在 中， ，
所以斜边 的中点 ，恰为椭圆的左焦点 ,
所以 ，又由椭圆的定义可得 ，（1分）
所以点 在线段 的垂直平分线上，（1分）
又因为 在椭圆上，所以 为椭圆的上顶点或下顶点，（1分）
所以 或 .（1分）
（2） 设 ， ， ，
则 ，即 ，（1分）
（1分）
同理 （1分）， （1分）
又 是 的重心，所以 （1分）
所以， ；（1分）
（3） ①若 或 垂直于 轴，则 ，（1分）
②若 和 不垂直于 轴，
设直线 的解析式为 ，点 ， ，
联立方程组 ，得： ，（1分）
从而 ， ，（1分）
，（1分）
同理 ，①（1分）
则 ，②（1分）
因为 ，所以 ，（1分）
综上， 的取值范围是 .（1分）
思路点拨：①用 替换 ②无需死算，可利用消一法配凑
21． （1） ；（2分） 时，切线 ．（2分）
（2） 由题意得： ＞0，则 在定义域 上严格增（1分）
故不可能存在 且 使得 （1分）
因此 不具有“k点切线性质”．（1分）
取 ，（1分）则有 仅在 和 处切线均为 （1
分）
因此 具有“2点切线性质”．（1分）
（3） 对任意函数在 x与 y处切线重合的充要条件是： （1分）
假设存在 使 的所有切线都为“ 点切线”．
对①求导： ③ （1分）
对②两边求导，结合①得： ④ （1分）
将③代入④有： ，又 与 的任意性，则 恒成立 （1分）
由可用结论， ， 为任意常数 （1分）
构造函数： ，则 （1分）
再次用可用结论：可得 ， 为任意常数 （1分）
则 ，此时 上任意点切线重合，有 有限矛盾 （1分）
综上，不存在 使 的所有切线都为“ 点切线”．
___________________________________________________________________________________________________
思路提示：
【定义的几何本质】：函数的切线
【1小问】：求导作图解决 （附代数证明）
由题意得：
令 ，解得：
显然 在 处切线均为 ，在 切线均为
∴ 具有“2点切线性质”，“3点切线性质”．
下面证明唯二性：若一条直线 与 相切于 个不同点
则每个切点处多项式 至少为二重根（即为原函数根也为导函数根），
故总重根数至少为 ，而该多项式的次数为 6， ，
解得： ．
综上， 的值为 2或 3．
【2小问】：
从代数角度：解析 从几何画图角度：解析
【3小问】：结论是显然的，正难则反
（题目提示了二阶导，得出结论后构造也给了可用结论的提示，根据提示一步步完成即可）2027届复旦附中高三数学模拟（3） A卷
数学 试卷
（考试时间 120分钟 满分 150分 考号：____________）
考生注意：
1．本试卷的选择题均为单选题
2．解答题需要写出必要的计算说明过程
3．试卷共 4页，答题纸共 2页，请作答在答题纸上
4．请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号
一、填空题（12题，共 54分，1~6题每题 4分，7~12题每题 5分）
1．已知集合 ， ，则 ．
2．不等式 的解集为 ．
3．已知 ， ，则 ．
4．已知数列 是不具有单调性的等比数列， ，则其前 2026项和 ．
5．在 的二项展开式中，若各项系数和为 16，则 项的系数为 ．
6．方程组 只有两组实数解，则 ．
7．已知体积相等的圆柱 和圆锥 的底面半径均为 3，圆柱 高为 ，则圆锥 的表面积为 ．
8．已知 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ．
10．已知抛物线 ，若 两点在抛物线上，焦点为 ， ，则直线 AB
的斜率为 ．
11．已知 ， ，三角形的面积 ，若 ，则 ．（保留
2位小数）
12．设 ，函数 的表达式为 ，若 ，且关于 的方程
的整数解有且仅有 个，则 的取值范围是 ．
二、选择题（4题，共 18分，13~14每题 4分，15~16每题 5分）
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复旦附中高三综合模拟（3） 数学试卷
13．已知复数 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．4 D．5
14．在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．在四棱锥 中，若 ，则实数组 可能是（ ）
A． B． C． D．
16．已知曲线 C： ，则下列关于曲线 C的说法中错误的是（ ）
A．曲线 C关于坐标轴和原点对称
B．曲线 C关于等轴双曲线的渐近线对称
C．曲线 C上不存在两点横坐标之和大于 2
D．曲线 C上不存在点在以原点为圆心， 为半径的圆外
三、解答题（5题，共 78分，17~19每题 14分，20~21每题 18分）
17．（本题共 14分，（1）小问 6分，（2）小问 8分）
若定义在 上的函数 的最小正周期为 ，且满足对任意的 ，
都有： ．
（1）求：实数 的值；
（2）设 ，当 时， ，求： 的值．
18．（本大题共 14分，每小问均为 7分）
如图，已知 平面 ， ， 为等边三角形， ，点 F为 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求：直线 和平面 所成角的大小．
19．（本大题共 14分，（1）小问 4分，（2）小问 3分，（3）①小问 5分，（3）②小问 2分）
2024年巴黎奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 米混合泳接
力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）这组数据的极差为________，中位数为_________；
（2）从这 10个数据中任选 3个，恰有 2个数据在 211以上的概率为__________；
（3）若比赛成绩 y关于年份 x的回归方程为 ，年份 x的平均数为 2006，
①：预测 2028年冠军队的成绩（精确到 0.01秒）；
②：试判断该回归方程的预测精度随着年份 x的增大提高还是降低，并说明理由．
20．（本题共 18分，（1）小问 4分，（2）小问 6分，（3）小问 8分）
已知椭圆 ， 为椭圆 的右焦点，椭圆 上有两两不重合的 A、B、C、D四点．
（1）设点 ，若直线 AB过点 F，当 时，求：点 A的坐标；
（2）若原点 是 的重心，求： 的值；
（3）若 AB与 CD交于椭圆 的左焦点，且 ，求： 的取值范围．
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21．（本题共 18分，（1）小问 4分，（2）小问 6分，（3）小问 8分）
定义：若函数 的图像上存在有限的 个不同点处的切线重合（ ），则称该切线为函数
的一条“ 点切线”，函数 具有“ 点切线性质”．
（ 注： 若该切线为函数 的一条“ 点切线” ， 则不称其为 的一条“ 点切线” ， ）
（1）已知函数 具有“ 点切线性质”，请直接写出 的值与“ 点切线”方程；
（2）试判断 与 是否具有“ 点切线性质”并说明理由；
（3）若函数 在 R上可导，求证：不存在 使 的所有切线都为“ 点切线”．
（ 可用结论： 若函数 的导函数满足 ， 则 （ 常数） ）
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