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【浙江专用】八年级上册期中压轴填空真题汇编
试题分析
一、考点分析
1 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
2 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
3 0.15 勾股定理与折叠问题；折叠问题；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质
4 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
5 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
6 0.4 折叠问题；含30度角的直角三角形；二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形
7 0.4 一次函数与几何综合；坐标与图形变化——轴对称；用勾股定理解三角形
8 0.15 折叠问题；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
9 0.4 含30度角的直角三角形；折叠问题；等边三角形的判定和性质
10 0.4 线段垂直平分线的性质；等边对等角
一、考点分析
11 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
12 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；最短路径问题；用勾股定理解三角形
13 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；角平分线的性质定理；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
14 0.4 勾股定理与折叠问题；折叠问题
15 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
16 0.4 求旗杆高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
17 0.4 等腰三角形的定义；三线合一；用勾股定理解三角形
18 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
19 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形
20 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；用勾股定理解三角形
一、考点分析
21 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
22 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
23 0.4 折叠问题；直角三角形的两个锐角互余；用勾股定理解三角形
24 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
25 0.4 角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
26 0.4 角平分线的有关计算；与三角形的高有关的计算问题；三角形内角和定理的应用
27 0.4 三角形的外角的定义及性质；全等三角形的性质
28 0.15 全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的性质定理；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
29 0.4 折叠问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
30 0.4 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；折叠问题；用勾股定理解三角形
一、考点分析
31 0.4 含30度角的直角三角形；公式法解一元二次方程；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
32 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
33 0.4 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)；用勾股定理解三角形
34 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；含30度角的直角三角形；垂线段最短；等边三角形的性质
35 0.15 根据成轴对称图形的特征进行求解；折叠问题；用勾股定理解三角形
36 0.4 换元法解一元二次方程；证明四边形是矩形；用勾股定理解三角形；线段垂直平分线的性质
37 0.15 与三角形的高有关的计算问题；等边对等角；三线合一；用勾股定理解三角形
38 0.4 根据矩形的性质与判定求线段长；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
39 0.4 根据三角形中线求面积
40 0.15 用SAS证明三角形全等（SAS）；折叠问题；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
一、考点分析
41 0.15 全等三角形综合问题；根据矩形的性质与判定求线段长；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
42 0.4 判断三边能否构成直角三角形；三角形三边关系的应用；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定
43 0.4 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)；作垂线(尺规作图)；用勾股定理解三角形
44 0.4 折叠问题；三线合一；等边三角形的判定和性质
45 0.15 勾股定理与折叠问题；折叠问题；用勾股定理解三角形【浙江专用】八年级上册期中压轴填空真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为________．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则_______， _______．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）数学社团课上，老师拿出一张（其中，）的纸片，让同学们课堂上进行折纸操作：第一步，在边上找一点，沿向右折叠使点落在边上，铺平；第二步，在边上找一点，沿着折叠使落在边上，铺平；第三步，在边上找一点和边上找一点，沿着折叠使点落在点处，铺平；若最后测得恰好，则______ ．
4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，过点作，点在线段上，在射线上截取，则四边形的面积为______．
5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到．
（1）当时，的长为________；
（2）当时，的长为________．
7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，其中，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为___________．
8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上动点，将沿直线折叠，折叠后点的对应点为，与交于，当为直角三角形时，线段的长为______．
9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是_______________．
10．（25-26八年级上·浙江金华·期中）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所成的锐角为，且交于点E，交于点D，则_____．
11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点为的中点，点、分别为、上的点，连接、、，若，，，则的长度为______．
12．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边．
(1)当时，则_____；
(2)连结、，则最小值为_____．
13．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，，为的角平分线，在上取一点E，使得，则的长为_____．
14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________．
15．（25-26八年级上·浙江温州·期中）美术课上，同学们要在长方形画框中粘贴两个全等的正方形图案，图和图是两位同学的设计．如图．两正方形的顶点，分别在，上，且三点共线，点，分别在，上；如图，仅改变正方形的位置，点在上，点在上，且．已知长方形的面积为，则正方形的边长为________________．
16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________．
17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在线段上运动，连接．
（）当______时，是以为斜边的直角三角形；
（）当时，是等腰三角形，则所有满足条件的的值的和为______．
18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则______秒．
19．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，．是边上一点，作点关于直线的对称点，连结，．若，则的长为______．
20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．
（1）若，，则________．
（2）若，则________．
21．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形.如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长是______．
22．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为________．
23．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合．①_______________；②若，则折痕为_______________．
24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点是直线上一点，点是边上一点，连结、，则下列结论正确是________（填上正确的序号）．
①线段；
②直线上有且只有4个不同的点使得是等腰三角形；
③点在直线上运动，若，则；
④的最小值为．

25．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，D是三角形外一点，连接，若平分，，，则的度数为______．
26．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）．

27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，若是的高线，，，，则______
28．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，，角平分线相交于G，，若，，则m，n的关系式为：______．

29．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，和关于对称，点在边上，且，垂直于，交于点，连接，若，，则______ ．

30．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，四边形中，，，为线段上一点，将沿折叠得到，边恰与在同一直线上，交交于点．若，，则的长为______．
31．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在中，，，．D为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接．当为等腰三角形时，则的长为________．
32．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的长为______．
33．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在四边形中，，，，，则对角线的长为______．
34．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在边长为8的等边三角形中，若是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的右侧画等边三角形，连接，则长度的最小值为________．
35．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，C、D是上的点，将沿翻折至，与交于点E，若A和E关于对称，则______．
36．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，是外一点，在的垂直平分线上，若，，则______．
37．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，锐角三角形中，，，，则的面积为______．
38．（25-26八年级上·浙江温州·期中）【文化欣赏】如图1，“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．
【尝试探究】如图2，以正方形的边为斜边向外作，以直角边，为边向外分别作正方形，正方形，连结，过点E作直线于点P，交于点Q，若，，则的长是________．
39．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是中线，E是的中点，若的面积为1，则的面积是________．
40．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）在Rt中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是的面积的一半，则___________
41．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点是边上的一点，且，点是边上一个动点，连接．现以为一边在右侧作等边，连接．
（1）当点与点重合时，______．
（2）在点运动过程中，线段的最小值为______．
42．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）有下列说法：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的是（填序号）______．
43．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，．结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段的长是_________．
44．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为___________．
45．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，D是边上的点，且．连接，并将沿直线翻折后点C恰好落在边上的点E处，此时． F是直线上的一动点，连接，，则周长的最小值是_________．
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参考答案
1．
本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．
作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，根据勾股定理得出，过点P作于H，利用等腰三角形的性质确定，得出，再求出，过点作于K，在中，，，则，，在中，由勾股定理得，即可得出结果．
解：如图，作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小，
∴，
∵，，
∴，
过点P作于H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点作于K，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
2． 5
本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，根据图形发现等量关系是解题的关键．
利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，再代入解方程得出，观察图1和图2，得出图2中的等于图1的，则，即，把数值代入进行计算，即可作答．
解：如图，
设为，为，为，图2中的余角为，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
结合两图，可得，
设为x，
根据勾股定理得：
∴，
解得：，
∴，
观察图1和图2，得出图2中的等于图1的，
则，
∴，
∴，
故答案为：，．
3．
此题主要考查了图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理等知识，设，根据第三步折叠得是的垂直平分线，则，进而得，根据第一步折叠得是直角三角形，进而得，再根据得，由此得，然后根据第二步折叠得，据此得，再根据三角形的外角性质得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，据此可得的值，熟练掌握图形的翻折及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
解：设，
∵第三步，沿着折叠使点落在点处，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵第一步，沿向右折叠使点落在边上，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∴，
∵第二步，沿着折叠使落在边上，
∴，
∴，
解得: ，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
4．168
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键．过点作于点，过点作于点，于点，根据等腰三角形的性质得，，在△中，由勾股定理得，进而得，根据得，由此可依据“”判定△和△全等得，再根据得，继而得．
解：过点作于点，过点作于点，于点，如图所示：
，，
△，△和△都是直角三角形，
在△中，，，
，，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
由三角形面积公式得：，，
又，
，
．
故答案为：168．
5．/9度
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案．
解：如图，延长交于点，
，，
，
，
同理得：，
，
，
即，
，，
△△，
，
，
，
△中，，
．
故答案为：．
6． 或．
本题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意求得，由折叠性质证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可计算出答案；
（2）过点作，根据题意求得，，由折叠性质证得为等腰直角三角形，分在右侧和左侧两种情况解答即可．
解：当，
∵，点是的中点，
∴，
∵沿着折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴；
当，过点作，交于点，在右侧时，
∵中，，，，点是的中点，
∴，
∴，，
∵沿着折叠得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,
设，则，
∵，
∴，
解得，
即
当，在左侧时：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；或．
7．
本题考查了一次函数的图象及性质，勾股定理解三角形，三角形等面积法，直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据题意得出直线的表达式是，确定，得出，四边形为矩形，过点A作点A关于的对称点E，连接交于点G，过点G作轴于点H，根据勾股定理解三角形及三角形等面积法确定，得出，结合图形列出不等式求解即可．
解：点在直线上，
，
∴，
∴直线的表达式是．
当时，，
∴，
∵点的坐标分别为，
∴，轴，轴，
∴，四边形为矩形，
过点A作点A关于的对称点E，连接交于点G，过点G作轴于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∵，
解得：，
∴点G的横坐标为，
代入直线的表达式得，
∴交点．
设点，
∴，
解得：，
∴点，
点在长方形的内部，
，
解得（不符合题意，舍去）或．
故答案为：．
8．或
本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，在中， ，，，得，由勾股定理得，然后求出，再分当时，当时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：在中， ，，，
∴，
由勾股定理得： ，
∵点为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴当为直角三角形时，有以下两种情况：
当时，如图所示，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
当时，过点作于点，如图所示，
同上理可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当为直角三角形时，线段的长为或，
故答案为：或．
9．或
本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键．
分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长．
解：，，，，
，
由折叠知，，，
当时，，
，
是等边三角形，
，
；
当时，，
在中，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
10．30或60/60或30
本题考查了线段垂直平分线的定义与性质，等腰三角形的性质等知识，理解题意，分类画出图形是解题关键．当交于点E时，根据是的垂直平分线得到，，进而求出，根据等边对等角求出，即可求出；当交于点E时，根据是的垂直平分线，得到，，进而求出，再求出，即可求出．
解：如图1，当交于点E时，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2当交于点E时，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：20或60
11．
本题考查了三角形全等的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．
延长至点，使，连接，延长，作，垂足为点，先证明，得到，求出，再由勾股定理求出．
解：如图，延长至点，使，连接，
延长，作，垂足为点，
点为的中点，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
在中，
，
，
．
，
在中，．
故答案为．
12．（1）4 （2）
（1）由可得，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，可得，从而，可证，可得，从而点的轨迹为垂直于的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出的最小值．
（1）解：设，则，
∵在等边中，，
∴
∴，
解得，
∴，
故答案为：4
（2）解： 过点作于，则，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的轨迹为垂直于的直线，
作点关于的对称点，连接，即为的最小值．
连接交于，过点作于，延长交于，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题，勾股定理的应用，灵活运用方程思想，熟练掌握动点轨迹判断，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题的解决方法是解题的关键．
13．或
分为两种情况：①如图，作于，交的延长线于点，则，证明，所以，求出，，通过直角三角形性质可得，由勾股定理得，，然后利用即可求解；②如图，当位于时，同①即可求解．
解：①如图，作于交的延长线于点，则，
为的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当位于时，同理可得：，
故答案为：或．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
14．2或
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解．
解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
当时，如图所示，
∴，
∴即，
解得：，
∴，，
设，则，
∴，
解得：，即；
当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示，
由第一种情况得：，
∴，
∵折叠，
∴, ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，即；
∵，
∴，
综上可得：或，
故答案为：或．
15．
过点作于点，设，，通过设未知数，利用正方形及矩形的性质、证明三角形全等，最后利用勾股定理来推导边长．
解：如图所示：过点作于点，
∵四边形是全等的四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即：，
设，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，，
在图中，过点作于点，过点作于，交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵两个图的正方形的位置不变，
∴，
∵，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵长方形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，关键是将两个图形的信息结合在一起解决问题．
16．
本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键．
秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可．
解：设，
∵绳索长度不变，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角三角形中，，代入得，
，
解得，，
故答案为：．
17．
（）根据勾股定理解答即可；
（）根据等腰三角形的定义，分四种情况，分别画出图形，求出的值，进而相加即可求解；
本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：（）如图，当时，是以为斜边的直角三角形，
∵四边形为长方形
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（）当时，如图，过点作于，
则，
∴；
当且点在的中点左侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当且点在的中点右侧时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点作于，
则，
∵，
∴，
∴；
综上，所有满足条件的的值为，，，，
∴所有满足条件的的值的和为，
故答案为：．
18．5或或4
此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下：①当时，根据得，由此得点运动时间为秒；②时，根据得，则，由三角形的面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒；③当时，则，在△中，由勾股定理得，再由三角形面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒，综上所述即可得出答案．
解：在△中，，，，
由勾股定理得：，
当△是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时，如图，
交所在的直线于点，
，
此时点运动时间为（秒；
②时，如图，
，
，
，
，
由三角形的面积公式得：，
，
在△中，由勾股定理得：，
此时点运动时间为（秒；
③当时，如图，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
交所在的直线于点，，
由三角形面积公式得：，
，
在△中，由勾股定理得：，
此时点运动时间为（秒，
综上所述：当△是等腰三角形时，点运动时间为为5秒或秒或4秒．
故答案为：5或或4．
19．
本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，过点B作于点，根据，易证是等腰直角三角形，求出，进而求出，利用勾股定理求出，由对称的性质得到，利用三角形外角的性质得到，结合，推出，进而得到，再求出，利用勾股定理即可求解．
解：过点B作于点，
则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对称的性质得到，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20． /45度
（1）先证明，过作于，然后证明，则；
（2）取中点，连接，由直角三角形斜边中线可得，，然后导角证明，则，再得到，则，求出，即可求解的度数．
解：（1），
∴，
∵，，
∴，，
∴，
如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）取中点，连接，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
21．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的证明，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键。
过点作于点，设与交于点，利用已知条件和正方形的性质得到为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论。
解：如图，四边形是正方形，过点作于点，设与交于点，
，
，
，
∵ 边长为 4 的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
，
．
故答案为：．
22．
本题考查等腰三角形的性质和勾股定理．根据勾股定理列方程求出大小正方形的边长比是解题关键．
由，，可知Ｆ为中点，根据各边的比例关系设未知数，利用勾股定理求出，再依据“相似图形的面积比等于相似比的平方”求解．
解：四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
正方形与正方形的面积之比为：
．
故答案为：．
23．
本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠问题，用勾股定理解三角形等知识，解题的关键是掌握翻折的性质和勾股定理的应用．
①由翻折可得，，，而，故，即知；
②过D作于H，由翻折可知，，求出，，即可得，，设，则，解得，得，再根据勾股定理可得答案．
解：①如图：
由翻折可得，，，
，
，
，
即，
故答案为：；
②过D作于H，如图：
由翻折可知，，
为中点，
，，
，
，
，，
，
为中点，
为AC中点，
，，
设，则，
由翻折知，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
故答案为：
24．①②④
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．利用等腰三角形的性质和勾股定理计算可判断①正确；画出图形结合等腰三角形的性质可判断②正确；当点在下方时，可判断③错误；作于点，交于点，此时的最小值为线段的长，利用等积法求解可判断④正确．
解：∵，，，
∴，
∴，①正确；
以为顶点的等腰三角形有2个，以为顶点的等腰三角形有1个，以为底边的等腰三角形有1个，
∴直线上有且只有4个不同的点使得是等腰三角形，
②正确；

∵，，
∴，
当点在下方时，
，③错误；
作于点，交于点，

∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即的最小值为线段的长，
∵，
∴，④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
25．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，三角形外角性质和角平分线的性质．通过数形结合发现角与角之间的数量关系是解题的关键．如图，先计算出，则，，再根据角平分线的性质得到点D到和的距离相等，所以平分，即，接着利用三角形外角性质证明
解：如图，，
，
，
，，
平分，
点D到和的距离相等，
平分，
点D到和的距离相等，
点D到和的距离相等，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：
26．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线和高等知识，根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角的性质求出，根据三角形高的定义得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是的高线，
∴，
∴，
故答案为：．
27．
本题考查了全等三角形的判定与性质及同角的补角性质．利用“”证明，得出，再由同角的补角性质得出，从而得到．
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
28．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的内角和定理及外角性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，则，进而可求出，再过点，，垂足分别为点，同理可得，由得到，则，那么，即可求解．
解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图；
平分，
，
，，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，，
，则，
∴，
过点，，垂足分别为点，
同理可得，
∵
∴
∴
∴，
∴，
故答案为：．
29．
该题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点， 掌握以上知识点是解题的关键．
如图，过点作于点H，根据折叠可得，根据角平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质结合，，，求出，勾股定理求出，根据等面积法求出，从而得出，勾股定理求出，即可解答．
解：如图，过点作于点H，

根据折叠可得，
∵，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
30．/
作于点H，构造长方形．设，则，由折叠得，，，证明，推出，，设，可得，由长方形的性质得，，最后用勾股定理解即可求解．
解：，，
，
如图，作于点H，
，
四边形是长方形．
，
，
设，则，
由折叠知，，，，
，，，
，
，，
设，则，
，
，
四边形是长方形，
，，
，
，，
，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质等，有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
31．2或
分两种情况，①当时，过点作于点，先由含角的直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，然后证，得出，则是等腰直角三角形，最后由勾股定理求出，即可求出；②当时，证是等腰直角三角形，推出点与点重合，即可得出结果．
解：分两种情况：①当时，如图1，过点作于点，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
在 中，由勾股定理得：，
∵是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在 中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值已舍去），
，
；
②当时，如图2，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，即点与图1中的点重合，
，
综上所述，的长为 2 或，
故答案为： 2 或．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
32．6
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，关键是求出，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先求得，再证明，得到，再根据中点性质可得，然后即可求解；
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
33．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算．
过点，作，，根据勾股定理得出和的长度，再得出、的长度，进而得出和的长度，最后利用勾股求出的长度．
解：分别过点，，作，，，垂足分别为，，，连接，如图，
，，，
，．
，．
．
，，
为等腰直角三角形．
设，则，
在中，，
，解得．
．
．
，，
．
在和中，
．
，．
．
在中，．
故答案为：．
34．2
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，找到点N的运动路线是解答的关键．连接，利用证明，由全等三角形的性质得，再利用等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得答案．
解：如图，连接，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
∵是高所在直线上一点，是等边三角形，，
，，点N的运动轨迹为如图所示直线，
，
∴，
故当时，最短，最短为，
故答案为：2．
35．
本题主要考查了勾股定理、轴对称的性质、翻折变换（折叠问题）以及直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
先利用勾股定理求，再由面积法求，结合轴对称性质求、，进而得，根据翻折性质得、，再证，最后在中用勾股定理求．
解：在中，，，，
∴由勾股定理得，，
∵，
∴，解得，
∵和关于对称，
∴，，
在中，，
∴，，，
∵将沿翻折至，
∴，，
∴，
∵在中，，，，且，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得或，
当时，，此时，
∵，，
得到，
进而可知，
与已知，矛盾，
故舍去．
故答案为：．
36．
设，取的中点，连接，利用垂直平分线性质、勾股定理构建方程求解．
解：设，取的中点，连接，如图，
∵在的垂直平分线上，
∴，，
过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
整理得，，
变形为，
设，则原方程变形为：，
解得，或（不合题意，舍去），
当时，，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定和勾股定理的建模应用是解题的关键．
37．
本题考查三角形的面积和勾股定理，构造等腰三角形是关键． 利用构造等腰三角形，然后根据勾股定理求出的长，最后求出的面积．
解∶过点A作，延长，使．
．
，，
．
．
，
．
．
设，
则，
在中，
，
即，解得
，
．
故答案为：．
38．19.8
令与交于点，延长交于点K，由题意可证得四边形为矩形，根据矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求得的长度，进而得出的长度，利用三角形的等面积法有，可求得的长度，通过可证得，则有，可求得的长度，最后再求得的长度即可．
解：如图，与交于点，延长交于点K，
则，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
，，
，
在中，，
即，
，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的等面积法等，通过辅助线构造出恰当的矩形是解题的关键．
39．4
本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解答此题的关键．
由E是的中点、的面积为1可得求得的面积，再根据是的中线，即可求得的面积．
解：∵E是的中点，且的面积为1，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：4．
40．
连接，过作于，易得到是的中点，结合是的中点得到
，进而得到，利用全等三角形的性质求出的长度，再利用勾股定理求解.
解：如图所示，连接，过作于，
由折叠可得，与全等，
∵的面积是的面积的一半，，
.
同理可得的面积是的面积的一半，，
∴是的中点，
∴.
又∵是的中点，
∴，
.
在和中
，
∴，
∴.
又∵，
∴中，
.
故答案为：.
本题主要考查了折叠问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
41． 6
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）当点E与点B重合时，过点F作于点Q，根据等边三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，
即可；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可．
解：（1）当点E与点B重合时，过点F作于点Q，如图所示：
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示：
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴最小，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为6．
故答案为：6．
42．①②③
本题考查了等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质．
分别根据等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质判断即可．
解：说法①：有一个角为的等腰三角形，无论该角是顶角还是底角，其余两个角均为60°，因此三角形为等边三角形，说法正确；
说法②：三边长分别为，，3，，满足勾股定理逆定理，因此为直角三角形，说法正确；
说法③：等腰三角形的两边长为2和4，若腰为2、底为4，则，不满足三角形三边关系定理；若腰为4、底为2，则、，满足三边关系，周长为，因此说法正确；
说法④：一边上的中线等于这边长的一半时，该边所对的角为直角，但三角形不一定是等腰直角三角形，因此说法错误；
故答案为：①②③．
43．
本题考查了作垂直平分线，作角平分线，等腰三角形三线合一，勾股定理，角平分线的性质定理．
根据作图可知是线段的垂直平分线，平分，作交于I，作交于，设交于K，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，可得，根据角平分线的性质得到，据等面积法求出，即可求出的长．
解：由作图可知是线段的垂直平分线，平分，
∴
如图，作交于I，作交于，设交于K，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
44．3
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，如图设交于点，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解．
解：∵在中，，为中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
如图，设交于点，
∴
∵折叠，
∴
又∵
∴，
∵折叠，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故答案为：3．
45．
本题考查了轴对称、折叠问题、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据轴对称的性质推出，，连接、、，将的周长转化为，其中的长度为定值，得到当、、三点共线时，有最小值，进而解题．
解：如图，连接、、，
由轴对称的性质可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
由题意知，、关于对称，即垂直平分，
∵F是直线上的一动点，
∴，
∴，其中，
当、、三点共线时，有最小值，
即周长的最小值为；
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为： ．
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