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【浙江专用】八年级上册期中压轴解答真题汇编
试题分析
一、考点分析
1 0.4 全等三角形综合问题；三角形三边关系的应用；用勾股定理解三角形
2 0.4 等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
3 0.15 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
4 0.4 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；求旗杆高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
5 0.4 等腰三角形的定义；用勾股定理解三角形
6 0.4 角平分线的性质定理；与三角形的高有关的计算问题；直角三角形的两个锐角互余；全等三角形的性质
7 0.4 列代数式；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
8 0.15 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质证明
9 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和SAS综合（SAS）；线段垂直平分线的性质；三线合一；用勾股定理解三角形
10 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；等腰三角形的定义；线段垂直平分线的性质；与三角形的高有关的计算问题；三线合一；等边三角形的判定；用勾股定理解三角形
一、考点分析
11 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据旋转的性质求解；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
12 0.15 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
13 0.4 y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)
14 0.4 用SAS证明三角形全等（SAS）；倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
15 0.4 三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
16 0.4 其他问题(一次函数的实际应用)；用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
17 0.4 线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等边对等角；三线合一
18 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
19 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
20 0.15 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；等边三角形的判定和性质
一、考点分析
21 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
22 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
23 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；三角形内角和定理的应用
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
25 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
26 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；根据三角形中线求长度；三线合一；用勾股定理解三角形
27 0.15 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形
28 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；线段的和与差；用勾股定理解三角形
29 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
30 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用平行线间距离解决问题；等腰三角形的定义；含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
一、考点分析
31 0.15 与三角形中位线有关的证明；全等三角形综合问题；斜边的中线等于斜边的一半；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
32 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；根据等角对等边求边长；用勾股定理解三角形
33 0.4 勾股定理逆定理的实际应用；角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
34 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段垂直平分线的性质；同(等)角的余(补)角相等的应用；等腰三角形的性质和判定
35 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质【浙江专用】八年级上册期中压轴填空真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】
（1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________．
【思维应用】
（2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
【思维探索】
（3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，作射线是腰的高线，E是外射线上一动点，连接．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求证：；
(3)设的面积为，的面积为，且，有没有可能为等腰三角形，若有可能，求出相应的．
3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，中，，，点F、E分别在、边上，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，点D在的延长线上，连接、，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点H，点G在线段上，连接、，若，，，求的面积．
4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）白鹭洲公园是温州市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)根据以上操作，可得风筝的垂直高度为_____；
(2)若小明想让风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
(3)若小明以1米每秒的速度往左移动，风筝线也以1米每秒的速度延长，而风筝始终保持在点E的上方，风筝在经过t秒之后高度是上升还是下降，说出你的理由．
5．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接．
(1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长；
(2)若是等腰三角形时，求的长；
6．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为．
(1)试求的度数；
(2)若，试求动点，的运动时间的值；
(3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．
7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接，
(1)若，，求的度数；
(2)若，，请用含x的代数式表示的度数；
(3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
8．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，平行四边形中，点分别是边上的点．
(1)若，，则___________
(2)若是中点：
①如图1，若，求证：；
②如图2，若，连接交于，求的值；
(3)如图3，若，，，，求的长．
9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，为的中点，连接．
(1)如图1，若，．
①则______．
②作和的角平分线，，分别交线段，于点，，连接，求的值．
(2)如图2，点，分别在线段，上，连接，，，若．
①请探究，，之间的数量关系，并说明理由．
②当，，时，则______．
10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是中点，连接．
(1)若，求证：是等边三角形．
(2)当时，
①若是等腰三角形，求的长．
②如图，过点作的垂线分别交于点，交的延长线于点，若，则的面积为______．（直接写出答案）
11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务：
在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：
(1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”．
证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．
(2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数．
（经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．）
(3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值．
12．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，与均是以为直角的等腰直角三角形，在内部．
(1)连接：
①求证：．
②如图2，当平分时，求的长．
(2)如图3，连接，连接与交于，当时，判断与的数量关系并给出证明．
13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）综合与实践
如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
条件：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数；
条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人．
若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：．
结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为___________，排队人数与安检时间的函数关系式为___________
(2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
14．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】
数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题：
(1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
(2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________；
(3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：．
15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点．
(1)如果，求的度数；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）．
(3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）．
16．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）某班计划采购两种型号的羽毛球拍，已知购买2副型羽毛球拍和3副型羽毛球拍共需426元，购买4副型羽毛球拍和1副型羽毛球拍共需442元．
(1)求两种型号羽毛球拍的单价．
(2)该班准备采购两种型号的羽毛球拍共20副，且型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在长方形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交长方形的边于点．连接．设点的运动时间为秒．（）
(1)当点和点重合时，求线段的长；
(2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由；
(3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值．
19．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得．
(1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：；
(2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度；
(3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积．
20．（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点．
(1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数；
(2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值．
21．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在和中，，且．连接．

(1)求证：①；
②是直角三角形；
(2)若，点在线段上运动时，求周长的最小值．
22．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，是边上的高线，，．
(1)求的长．
(2)若点是射线上的一动点，作于点，连接，
①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度；
②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）．
23．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，与均为等腰三角形，，，，D为线段上一个动点，与相交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，且，，求的面积．
24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D为边上一点．
(1)作交于点H，若，，求．
(2)作，且，连结交边于点F，连结．若．
①求证：．
②写出线段之间的等量关系并证明．
25．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结．
(1)求证：；
(2)若平分，求的值；
(3)若是中点，求证：．
26．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”
(1)如图1，在中， ，，求证：是“奇妙三角形”；
(2)如图2，在中， ，若是“奇妙三角形”，求的长．
27．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）【情景感受】如图1，把一块三角板放入一个U形槽中，使三角形的三个顶点A、B．C分别在槽的两壁及底边上滑动．
（1）已知，在滑动过程中，线段与有什么数量关系？并说明理由．
【变式探究】
（2）如图2，在中，点D，E，F分别在边上，若，那么与有何关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，点D，F分别是边上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，若，点G是的中点，连接，请求出的最小值，
28．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】
如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”．
【问题解决】
(1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数；
(2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”．
①若是等腰三角形，求的度数；
②若，若，求的长．
29．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，与关于直线对称，连接．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
30．（25-26八年级上·浙江温州·期中）两个直角三角形如图1摆放，，，，．是直线上的点．
(1)求线段的长．
(2)是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到（如图2），连接，则的最小值为______（直接写出答案）．
31．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，为边的中点．
(1)如图1，若，为边的中点，点在上，，求．
(2)若在内部，．
如图2，若，求．
如图3，求与度数的比值．
32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形中，，，．
(1)如图1，若O为的中点，求证：直线是的等腰分割线．
(2)如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
(3)如图3，在，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，求线段的长度．
33．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础考察】如图1，若点为的中点，，，，则是___________三角形；（填“锐角”，“直角”或“钝角”）
(2)【能力巩固】如图2，连接，若平分，，，，求的长：
(3)【素养提升】如图3，点在线段上运动，始终保持，是的垂直平分线，交于点．若，，，求线段的长．
34．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记．
(1)_____．（用含α的式子表示）；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
35．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的长；
(3)求证：．
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参考答案
1．（1）相等，平行；
（2）解：，理由如下：
延长至点M，使，连接，如图所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）的长为或
（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故；
（2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求．
（1）解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：相等，平行；
（2）略
（3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理求得，
∴，
∴，
∴；
当点在延长线上时，构造上述辅助线，
同上可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键．
2．(1)
(2)
证明：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴；
(3)满足条件的的值为2或
本题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理及勾股定理，
（1）先求出，再根据勾股定理求出结论即可；
（2）先证明，得出，再结合，求出，即可证明结论；
（3）设，则，先证明，再分两种情况：当时，或当时，分别求出即可．
（1）解：，
，
，
，
；
（2）略
（3）解：，
，
设，则,
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
∴,
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的值为2或.
3．(1)
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(3)．
（1）证明是等腰直角三角形，得，结合，利用三角形内角和定理求证即可；
（2）证明是等腰直角三角形，再证即可；
（3）过点G作于点M，证和是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据三线合一，结合勾股定理求解即可．
（1）略
（2）略
（3）解：过点G作于点M，如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，，
在中，，
∴，
．
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．恰当作出辅助线并找出图中特殊的三角形是解题的关键．
4．(1)17.62米
(2)他应该往回收线7米
(3)
解：风筝高度上升，理由如下：
由题意，设经过t秒后，小明往左移动t米，水平距离变为米，风筝线长度变为米，
∴此时竖直高度为，
∴风筝的总高度为，
∵，
∴随t的增大而增大，
∴风筝高度上升．
本题主要考查利用勾股定理解决实际问题，熟练利用勾股定理来解决实际问题是解题的关键．
（1）首先在中，利用勾股定理求出的长度，最后再加上小明的身高即为风筝的垂直高度；
（2）首先明确风筝沿方向下降11米后对应的的高度，即可在新的中，求出的长度，即可求出他应该往回收线多少米；
（3）首先根据题意，列出经过t秒后，对应的水平距离变为米，风筝线长度变为米，即可求出此时风筝的总高度，判断此时风筝的总高度的大小即为上升还是下降．
（1）解：根据题意可得：米，米，，
∴在中，（米），
∵小明的身高为1.62米，
∴（米），
故答案为：17.62米；
（2）解：如图，
∵风筝沿方向下降11米，
∴此时（米），
∴此时（米），
∴应该往回收线：（米）；
（3）略
5．(1)
(2)当是等腰三角形时，的长为3或2或或8
本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（）根据勾股定理解答即可；
（）根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别画出图形，求出的值．
（1）解四边形为长方形，长，宽，点是的中点，
，
当是以为斜边的直角三角形时，则，
四边形是长方形，
，
．
（2）解：当时，；
当时，如图，过于，
则，四边形是长方形，
；
当时，如图，过作于，则四边形是长方形，
，
，
，
或
综上所述，若是等腰三角形时，的长为3或2或或8．
6．(1)
(2)
(3)存在，
本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．
（1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数；
（2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题；
（3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；
（1）解：，平分，
，
，
，
；
（2）作，，
∵平分，则，
，
，
，，
，
解得：；
当点在点右侧时，，
，解得．
（3），，
当时，，
即，或，
解得：或舍弃，
答：，．
7．(1)
(2)
(3)，理由如下：
由题意，设，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解；
（2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解；
（3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解．
本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
（1）解：是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（3）略
8．(1)
(2)
①证明：如图所示，延长，交于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E是边中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②
(3)
（1）分别延长、交于点G，得，即，由四边形平行四边形得，从而可得．
（2）①延长，交于H，可证明，得到，，则可证明，得到，则；
②如图所示，延长，交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则，；设，则，，进而可得，即可得到，可证明，，设，则，，则，据此可得答案；
（3）延长，交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，，则由相似三角形的性质可得，，，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案．
（1）解：分别延长、交于点G，如图，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵四边形平行四边形，
∴，即，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（2）① 略
②解：如图所示，延长，交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∴，，
∵E是边中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长，交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，即，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
9．(1)①5；②
(2)
①；理由如下：
延长至，使，连接，，
，，
RR，
，，
，
又，，
，
在△中，，
即；
②
（1）①先利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得解；②利用等腰三角形三线合一即可得解；
（2）①延长至，使，连接，，易证，可得，可得，再结合勾股定理即可得解．
②设，由②结论可知，在△中，，建立方程求解即可．
（1）解：①在△中，，，
为的中点，
，
故答案为：5；
②，平分，
，
同理得，
在△中，；
（2）解：①略
②设，则，，
，
，
在△中，，
由①结论可知，
，
解得，
；
故答案为：．
本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．(1)
证明：∵点是中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形；
(2)①或；②
（）由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求证；
（）①分和两种情况，根据等腰三角形的性质及勾股定理解答即可求解；②取的中点，连接，过点作于，由三角形中位线的性质得，，进而可得，得到，即得到，利用勾股定理得，得到，再根据三角形的面积求出即可求解．
（1）略
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴当是等腰三角形时，分两种情况：或，
当时，
∵，是中点，
∴，
∴；
当时，如图，过点作于点，则，
∵，是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
综上，的长为或；
②如图，取的中点，连接，过点作于，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的定义及性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
11．(1)，
(2)
(3)滴灌水管总长度的最小值为米
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．
（1）将绕A点逆时针旋转得到，其中点P的对应点为，点C的对应点为，根据旋转的性质，旋转角，且对应边相等，即；
（2）利用等边三角形的性质得出，，，进而得到，利用“”证明，设，利用三角形内角和定理得出结果；
（3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股定理求出三个距离之和的最小值．
（1）证明：由旋转可知，
则，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．
故答案为：，．
（2）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则，，
由三角形内角和定理可得，，
即．
（3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即滴灌水管总长度的最小值为米．
12．(1)
①证明：∵与均是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②
(2)，
证明如下：
如图：延长到G，使，连接，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴．
本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）①由与均是以为直角的等腰直角三角形，可得，故，再由即可证明结论；②如图：延长交于K，由平分，可得是等腰直角三角形，故，求得，由勾股定理得；从而可知的长为；
（2）如图∶延长到G，使，连接，证明可得，，而，即可得，故是的中位线，有，知．
（1）① 略
②如图：延长交于K，
∵是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由①可知，，
∴，
∴的长为．
（2）略
13．(1)，；
(2)排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人
(3)开通条通道
本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据排队人数现场总人数已入场人数，得到二次函数的解析式．
根据平均每条通道每分钟可安检人，开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人；根据排队人数现场总人数已入场人数，可得函数关系式；
把整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质即可求出结果；
设开通了条安检通道，可得：，可知二次函数的对称轴为，根据主办方的要求，可知，求出的取值范围，再根据实际情况确定的值．
（1）解：平均每条通道每分钟可安检人，
开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为人；
排队人数现场总人数已入场人数，
；
故答案为：，；
（2）解：把整理成顶点坐标式，
可得：，
当时，达到最大值，最大值是，
答：排队人数在第分钟达到最大值，最大人数是人；
（3）解：设开通了条安检通道，
根据题意可得：，
整理得：，
对称轴为，
排队人数在安检开始分钟内（包含分钟）减少，
，
解得：，
最多可以开通条通道，
，
尽量少安排安检通道，以节省开支，
其中为整数且，
取，
最少开设条安检通道．
14．(1)B；
(2)；
(3)
证明，如图，延长至点，使得，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理．
（1）根据题干证明即可；
（2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可；
（3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明．
（1）解：∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：B；
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）略
15．(1)
(2)
(3)或或
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
（1）解：．
，
∵点P是和的平分线的交点，
；
（2）∵外角，的角平分线交于点Q，
，
，
，
，
，
∵，
；
（3）延长至F，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；
，
，
．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或．
16．(1)A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元．
(2)最省钱的购买方案是购买14副A型和6副B型，最少费用为1752元．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，正确建立方程组和函数关系式是解题关键．
（1）设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2副A型羽毛球拍和3副B型羽毛球拍共需426元，购买4副A型羽毛球拍和1副B型羽毛球拍共需442元”建立方程组求解即可；
（2）设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副，结合（1）的结论可得，再根据“A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍”求出m的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设A型羽毛球拍的单价为x元，B型羽毛球拍的单价为y元，
由题意得：，解得：．
答：A型羽毛球拍的单价为90元，B型羽毛球拍的单价为82元．
（2）解：最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元，理由如下：
设该班采购A型羽毛球拍m副，购买的费用为w元，则采购B型羽毛球拍副，
由（1）的结论得：，
∵A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，
∴，解得：，
在内，w随m的增大而增大，
又∵m是整数，
∴当时，w取得最小值，最小值为，此时，
∴最省钱的购买方案是采购14副A型羽毛球拍，6副B型羽毛球拍；最少费用为1752元．
17．(1)
证明：连接，
∵于点D，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
(2)
本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．(1)
(2)
解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图2，过点作于点，
．
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
是等腰直角三角形；
(3)当点恰好落在边上时，的值为、、
（1）连接，求出，，由勾股定理可得；
（2）过点作于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形；
（3）分三种情况：①当点在上；②当点在上；③当点在上，分别利用勾股定理即可求解．
（1）解：连接，如图1，
四边形是矩形，
，
，
四边形ABEQ是矩形，
当点和点重合时，，，
在中，，
故答案为：；
（2）略
（3）解：①当点在上时，如图3，
由题意得，，，
在中，，
，
，，，
在中，，，
解得：；
②当点在上时，且重合时，如图4，
由题意得，，，
在中，，
，
解得；
③当点在上时，且重合时，如图5，
当点在上时，此时在上．
过点作，此时，
，，
由轴对称得，，
在中，，
，
解得；
综上所述，当点恰好落在边上时，的值为、、．（直接写出答案即可）
本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
19．(1)
由折叠性质可得，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)；
(3)．
（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证；
（）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解；
（）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解．
（1）略
（2）解：由折叠性质可得，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
由勾股定理可得，；
（3）解：延长交于点，过点，作于，于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，重合，即三点共线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
则在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)60°
(2)
证明：如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，．
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
由（1）可知，，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
(3)2
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）如图中，设交于．证明，推出，可得结论．
（2）如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，．证明，推出，，，再证明，推出，可得结论．
（3）过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于．首先证明，，再证明，由此构建关系式，即可解决问题．
（1）解：如图中，设交于．
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）略
（3）解：过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于．
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，，
全等三角形对应边上的高相等，
平分，
，
，
是等边三角形，
同理（1）可证，，
，
，
同法可证，
∵3，
，
，
，
∴2．
21．(1)
证明：①∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
(2)
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等，证得，推出的周长，是解答本题的关键．
（1）①利用证得即可；②利用全等三角形性质得到，再通过角度的和差关系可得到，进而可得证；
（2）通过全等三角形性质进而推出的周长，结合勾股定理和垂线段最短，可推出当时，的值最小，此时的周长最小，然后等腰三角形的性质和判定，求得的长度，即可解答．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
∴的周长，
∵，
∴当取得最小值时，的周长的最小，最小值为，
∵，，点D在边上运动，
∴，即，
∴当取得最小值时，的值最小，
即当时，的值最小，
∵，，
∴当时，，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为．
22．(1)，
(2)①或；②或
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键．
（1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长；
（2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可；
②分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解．
（1）解：，，
，
；
（2）解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
，，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或者；
②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，，
，得，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
23．(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
(2)
证明：由（1）知，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又 ∵，
∴．
(3)4
（1）由，可得，用判定证得，即可证得结论；
（2）由（1）知，则有，再根据三角形的内角和定理得到等腰三角形的顶角相等则底角相等，进而有，最后利用三角形的内角和相等得；
（3）由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，结合三角形的内角和定理和已知条件可得和的度数，构造等腰三角形和等腰直角三角形，综合全等三角形的判定和性质，可得点E到的距离，代入三角形的面积公式计算即可．
（1）略
（2）略
（3）解：延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点．
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
又 ∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线．
24．(1)
(2)
①证明：过作于，过作于，则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②．理由如下：
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质．
（1）根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可；
（2）①证明：过作于，过作于，则即可证明，得到，，，再由，可得，即可得到，则，再由，求出；
②由①可得，得到，再由勾股定理得到，利用全等三角形的判定和性质得出，，进行等量代换即可求解．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2） 略
25．(1)
证明：∵在中，，，为的中线，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵作，垂足为点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)
(3)
证明：如图，连接，
，
∵在中，，，为的中线，
∴，，，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证；
（2）作于，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，证明出，结合角平分线的性质定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，进而可得，即可得解；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，证明出，结合题意可得，，，证明，得出，从而可得，再由勾股定理即可得证．
（1）略
（2）解：如图：作于，
，
∵在中，，，为的中线，
∴，，，
由（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）略
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
26．(1)
证明：如图，过点A作，
∵，
∴D为BC中点，即，
∴，
∵，
∴为“奇妙三角形”．
(2)3或4
本题主要考查了三角形中线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据“奇妙三角形”的定义求解即可；
（2）分中线为、、边上的中线三种情况，分别根据“奇妙三角形”的定义以及勾股定理求解即可．
（1）略
（2）解： ①若中线为的中线，如图a，可得，不满足“奇妙三角形”的条件；
②若中线为的中线，如图，可得，且，则；
③若中线为的中线，如图，可得，
设，则，
由可得，
即，
解得，
∴的长为4．
综上，的长为3或4．
27．
（1）， 理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）， 理由如下：
∵，
∴，
∴，
（3）
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、轴对称求最短距离、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）利用判定三角形全等可得，再利用全等三角形的性质即可证明结论；
（2）先利用三角形外角的性质以及等量代换即可解答；
（3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接，再证明可得．然后根据对称性可得当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为；再根据对称性和勾股定理求解即可．
解：（1） 略
（2） 略
（3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴E点在射线上运动．
∵ G点与N点关于对称，
∴，
∴，
∴当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∵点G是的中点，，
∴．
∴．
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为．
28．(1)
(2)①或；②
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用.
（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得；
②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论．
（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）①∵四边形是“对角互补四边形”，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
∴（不符合题意，舍去），
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴．
综上所述：的度数为或；
②如图②，过点B作于G，于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
29．(1)
证明：（1）与中，
∴（），
∴，
∴
(2)①，理由如下：
由对称得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②7
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，恰当地作辅助线是解题的关键．
（1）利用证可得，再根据角边关系证得；
（2）①根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明出；
②如图2，过作于，连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长．
（1）略
（2）①略
②如图2，过作于，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
30．(1)
(2)存在，的长为或
(3)
（1）根据直角三角形的性质求出，再证明是等腰直角三角形，可得，即可得解；
（2）分两种情况讨论，利用勾股定理求出，结合等腰三角形的性质即可解答；
（3）取中点，连接，得到，由旋转的性质可得，易证，推出，则，进而得到点Q的运动轨迹，当时，有最小值．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：存在，的长为或，
由题意分两种情况讨论，
∵，，，
∴，
当时，如图，
则，
∴；
当时，如图，
∵，
∴，
∴；
综上，当是以为腰的等腰三角形，的长为或；
（3）解：如图，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴即，
∴，
∴，则，
∴点Q在的垂直平分线上，且在上方运动，
当时，有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴（平行线间的距离处处相等），
故答案为：．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
31．(1)；
(2)；2．
（1） 过F点作，垂足为，取中点，连接，利用中位线性质可得，进而四边形是矩形，从而得出，利用即可得出，即得是等边三角形，即可得出，进而求解；
（2） ①取的中点，连接，交于，连接，证明，从而得出，进而可得，，这时得出与（1）相同的条件，由此得出，即可得出，
②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点，同理（2）可得：，，再利用平行+角平分线模型证明：，，进而可得是的垂直平分线，结合已知可得，即是等边三角形，，再利用三角形内角和的计算得出，由此即可解题．
（1）解：，
，
，
，
，
如图1：过F点作，垂足为，取中点，连接，
∴，
∵为边的中点，为边的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴ ，
又∵，
∴，
∴
；
（2）①同理（1）可得，
如图2，取的中点，连接，交于，连接，
∵为边的中点，为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
同理（1）可得，
∴．
②如图3，过点D作，交于，过点作，交于，延长线交于，连接，连接交于点，
同理（2）①可得：，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，即是的垂直平分线，
∴，即是等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
本题围绕三角形的角度关系、中点性质、等腰三角形及直角三角形的性质展开，关键在于通过构造辅助线构造全等三角形、倍角关系构造等腰三角形，准确识别等腰三角形，通过角度转化建立等式．
32．(1)
证明：∵，O为中点，
在中，，
∴、均为等腰三角形，
则直线是的等腰分割线．
(2)
(3)的长度为1、、3、
(1)利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，证出两个等腰三角形，从而说明是等腰分割线；
(2)设，表示出，在中用勾股定理列方程，求解得；
(3)分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类，每种情况再分“哪两边相等”的子情况，结合勾股定理、面积法计算，舍去不符合线段位置的情况．
（1）略
（2）设，则，
在中，由勾股定理：，
即，
展开得：，
化简得：，解得，
故．
（3）
分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类讨论：
① 若为等腰三角形
当时，，则；
当时，Q为中点，；
当时，Q不在线段上，舍去．
② 若为等腰三角形
先求边上的高：由，得．
当时，过C作于M，M为中点．
在中，，
故；
当时，；
当时，Q为中点，．
综上，的长度为1、、3、．
知识点：直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积公式．方法：利用直角三角形性质证等腰；通过设未知数+勾股定理列方程求线段；分类讨论等腰三角形的不同情况（边相等的组合），结合面积法、勾股定理计算．关键：分类讨论等腰三角形的所有可能（哪两边相等），结合图形位置判断是否符合题意．易错点：遗漏等腰三角形的边相等情况；忽略点在线段上的位置限制（如舍去不在线段上的情况）．
33．(1)直角
(2)
(3)
本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够灵活应用相关知识点．
（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得，再设，最后利用勾股定理列方程求解即可；
（3）先求得，再根据勾股定理列方程求解即可．
（1）解：点为的中点，，，，
．
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
（2）解：平分，，，
．
，
．
设，则，
在中，，
，
解得，，
即．
答：的长为．
（3）解：如图，
连接，
，
．
是的垂直平分线，
，
．
，
，
．
设，则，
， ，
，．
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，，
即．
答：线段的长为．
34．(1)
(2)是等腰三角形；理由：
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
(3)是；
（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据三角形外角的性质得出；
（2）先证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出即可；
（3）作于点H，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出即可．
（1）解：∵在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）略
（3）解：作于点H，如图所示：
由（2）得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵
∴．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
35．(1)
证明：，
，
交的延长线于点，
，
，
，
在中，，
，
，
；
(2)；
(3)
证明：如下图所示，过点作，
，
，
由可知，，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立；
过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知；
过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立．
（1） 略
（2）解：如下图所示，过点作，
由可知，
为的角平分线，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
（3） 略
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
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