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【浙江专用】九年级上册期中压轴解答真题汇编
试题分析
一、考点分析
一、解答题
1 0.43 利用菱形的性质证明；y=ax +bx+c的最值；利用垂径定理求值；面积问题(二次函数综合)；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
2 0.4 利用弧、弦、圆心角的关系求证；圆周角定理；用勾股定理解三角形
3 0.4 已知二次函数的函数值求自变量的值；待定系数法求二次函数解析式；投球问题(实际问题与二次函数)
4 0.4 已知圆内接四边形求角度；利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；利用平行四边形性质和判定证明
5 0.4 等腰三角形的性质和判定；求其他不规则图形的面积；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6 0.4 其他问题(二次函数综合)；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；利用两角对应相等判定相似
7 0.15 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；利用菱形的性质求线段长
8 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；相似三角形的判定与性质综合；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；相似三角形问题(二次函数综合)
9 0.4 利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；点与圆上一点的最值问题
10 0.4 其他问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)
一、考点分析
11 0.4 已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
12 0.4 勾股定理与折叠问题；根据正方形的性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；图形问题(实际问题与二次函数)；全等三角形的性质
13 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况；用一元一次不等式解决几何问题；待定系数法求二次函数解析式
14 0.4 y=ax +bx+c的最值；一次函数图象与坐标轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
15 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；由平移方式确定点的坐标；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
16 0.4 垂径定理的推论；与三角形中位线有关的求解问题；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；利用两角对应相等判定相似
17 0.4 求一个角的补角；全等的性质和SAS综合（SAS）；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理
18 0.15 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；利用不等式求自变量或函数值的范围；待定系数法求二次函数解析式
19 0.4 等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；角平分线的有关计算；用勾股定理解三角形
20 0.4 相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
一、考点分析
21 0.4 已知圆内接四边形求角度；斜边的中线等于斜边的一半；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；三线合一；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
22 0.4 其他问题(二次函数综合)；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
23 0.4 利用弧、弦、圆心角的关系求解；圆周角定理
24 0.4 根据正方形的性质求线段长；圆周角定理；利用平行四边形的性质求解；点与圆上一点的最值问题
25 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数)
26 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；一元二次方程的根与系数的关系；绝对值方程；待定系数法求二次函数解析式
27 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；含乘方的分式乘除混合运算
28 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；运用完全平方公式进行运算【浙江专用】九年级上册期中压轴解答真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，直径为10的与y轴交于A、B两点，与x轴交于点，的延长线与圆E交于点G，点M是线段上一个动点，作与y轴交于点N，连接．
(1)求点E的坐标；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数表达式；并探索的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接得四边形，直接写出当四边形为菱形时的长：_____．
2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的值（用R表示）；
(3)若，，求的值．
3．（25-26九年级上·浙江金华·期中）水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组的学生在科技节上制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间 0 2 4 6 …
飞行高度 0 6 8 6 …
【建立模型】
任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的直径，弦于点E，连接，过点D作，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，过点A作，交射线于点G，射线交线段于点．
①若，，求的长；
②如图3，当F是的中点时，求的值．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若为，，求图中阴影部分的面积．
6．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．如图，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．
(1)连接，，求证；
(2)点P在运动过程中线段 的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长．
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）数学课本126页第5题是这样的：“如图1，在中，D是上一点，，分别交，于点E，F，G，求证：．”学数有邻批改学生作业后，将所求证内容改为“．”
(1)请证明学数有邻提出的结论是正确的；
(2)如图2，已知在菱形中，， O是上一点，连接交于T，点S在上，连接，过S作，交于P，交于Q，且，相似比是，求的长．
(3)如图3，点E，H在上，，，且与，分别交于点D，N，M，求的值．
8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点和点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式与点的坐标；
(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值；
(3)连接，点在轴上，是否存在使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）
9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，，，
①若恰好经过圆心，求线段的长；
②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值．
10．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E．
(1)求抛物线的函数关系式．
(2)当时，求点E的坐标，
(3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标．
11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形内接于，，连接恰好为的外角的角平分线，连接，交于点F．
(1)求证：．
(2)若
①求证：．
②若的半径为10，，求的值．
12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
【活动情境】如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点．
【所得结论】当点F与的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果：
甲：的边______，______．
乙：．
【完成任务】
(1)填写甲同学所得结果中的数据．
(2)当点在边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(3)如图2，当点在边上（除点A、D外）时，记四边形的面积为S，为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？
13．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数．
(1)若函数图象经过点，求二次函数的表达式和顶点坐标．
(2)若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积．
(3)若函数图象交x轴于，不同两点，当时，求实数m的取值范围．
14．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为．
(1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式；
(2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标；
(3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由．
15．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线
(1)求二次函数的表达式．
(2)若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
16．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E．
(1)求证：．
(2)当，时，①求线段的长；②求的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值．
17．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足．
(1)①求证：
②求证：
(2)已知，求的值
18．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，且．
(1)当抛物线经过，两点时，
①求b的值；
②点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．求的取值范围；
(2)若=1，，是抛物线上的两点．当，时，总有，求b的取值范围．
19．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图1，是的外接圆，，延长的角平分线交于点D．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，作交于点F，若，，求的半径．
20．（25-26九年级上·浙江金华·期中）【基础巩固】
（1）如图1，在中，，于点，求证：
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在矩形中，点在边上，和关于直线对称．点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长．
21．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，，连接交于点．
(1)若，求证为等边三角形．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
22．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为直线．解答下列问题．
(1)抛物线的解析式是______．
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，若动点在抛物线上，当的值最大时，求点的坐标和的最大值．
23．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，连接．交于点，若．
(1)求的度数．
(2)求证：．
24．（25-26九年级上·浙江金华·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到；
（2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数；
（3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值；
（4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？
25．（25-26九年级上·浙江台州·期中）某种弹性小球从地面某处竖直向上弹起，到达最高点后落回原处，再弹起、落回…，小球离地的高度（单位：）是运动时间（单位：）的函数．若，h是t的二次函数，部分对应数据如下表：
0 1 2
0 2 0
若，t取任意值时的小球高度一定是时的．
(1)若，求h关于t的函数解析式．
(2)若
①当时，求t的值．
②判断时，h关于t的函数是不是二次函数？若是，求出函数的解析式；若不是，请说明理由．
(3)直接写出：小球第几次弹起后的最大高度最接近？
26．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知抛物线（为常数）经过点．
(1)求的值；
(2)过点作轴的平行线，与抛物线交于两点，当点为线段的中点时，求的值；
(3)已知点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
27．（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明在求抛物线的顶点坐标过程中，初步感受到当自变量x取顶点横坐标的值时，二次项与一次项的值可能存在特殊关系，于是开展了如下探究活动．
(1)绘制表格，呈现特殊结果请帮小明完成表格
解析式 顶点横坐标x
4
2 8
______ ______ ______
(2)猜想：当x取顶点横坐标的值时，m，n的值有何关系？
(3)请证明你的猜想．
28．（25-26九年级上·浙江台州·期中）如图，的直径，点P在上，点P与直径构成．
(1)如图1，当点P与A重合时，求．
(2)如图2，．
①当时，分别求的长．
②在点M，N的运动过程中，是否定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
③当的周长为时，求
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参考答案
1．(1)点E的坐标为
(2)，存在最大值，最大值为，
理由如下：
对配方，
得，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
又，
故当时，
y有最大值为．
(3)
（1）根据点，可得．过点E作于点P，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，，即可得E点坐标；
（2）由，所以，作于点Q，连接，可得．根据．从而得到和的长，进而根据列表达式，最后配方求此函数的最值；
（3）当四边形为菱形时，与必互相垂直平分，由图可证明必垂直平分，则只需即可．根据，，得到，所以，所以．
（1）解：∵点，则．

过点E作于点P，连接，如图1所示，
由垂径定理可知，
由直径为10，
则，
由勾股定理可得．
∴，
故点E的坐标为．
（2）解：∵，
∴，，
又点M是线段上一个动点，
故，
即．
如图2所示，作于点Q，连接，
可得，
故，
从而．
又，
∴，，
∴，
故，
故y关于x的函数表达式为：；
（3）解：如图3所示，
连接得四边形，连接，
当四边形为菱形时，
与必互相垂直平分，
∵，
∴．
∴必垂直平分，
则只需即可．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．(1)
证明：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
(2)
(3)1
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到，然后根据圆周角定理得到，从而根据等角对等边得到结论；
（2）连结，先证明为等腰直角三角形得到，再根据圆周角定理得到，即可解答；
（3设交于G点，连结，先证明，得到，再证明为等腰三角形得到，再证明得到，证明得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形求出即可．
（1）略
（2）解：连结，如图，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：设交于G点，连结，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和圆心角、弧、弦的关系．
3．任务1：；任务2：；任务3：
本题主要考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质是解题的关键．
任务1，先分析出顶点坐标，再利用待定系数法求解；
任务2，令，求出t的值，再根据，即可求解；
任务3，设长度为c米，且，得到水火箭的二次函数解析式为，再分别求出函数经过点A、B时，c的取值，即可求解．
解：
任务1：二次函数经过点，
函数顶点坐标为，
设函数解析式为，
二次函数经过点，
，解得，
关于的函数表达式为；
任务2：令，得 ，
解得（不合题意，舍去），
；
任务3：设长度为c米，且，
水火箭的二次函数解析式为，
当函数经过点A时，，
点A坐标为，
，解得，
当函数经过点B时，，，
点B坐标为，
，解得，
，
．
答：发射台高度的取值范围为．
4．(1)
证明：连接、，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，是直径，
，
∴．
(2)①，②
（1）连接，，由圆的内接四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，因此，故，再由垂径定理得到，即可解答；
（2）①连接，证明四边形是平行四边形得到，，设，推出，，根据，求出，因此，得到为等腰直角三角形，即可求出，，过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形，从而，；
②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M，设，，易得，，分别在和中表示出，从而建立方程求出x，再在中，利用勾股求出、，最后利用相似转化求解即可．
（1）略
（2）解：①连接，
∵，，
四边形是平行四边形，
，
∵，
∴，
设，则，
∵，
，
∴
∵，
，
∵，
∴，
∵，
，
在中，，
，
解得，
∴，
为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∵，
，
过C作，交延长线于点M，则为等腰直角三角形，四边形是矩形，
，
；
②延长交延长线于点K，过C作，交延长线于点M，
设，则，
为中点，
设，
则，
∵，
，，
，
，，
，，
∵在中，，
在中，，
，
解得（负值舍去），
∴，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
∴，
∵，
．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(1)
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)阴影部分的面积是
（1）首先连接，再利用角度转化得到，即可得到，再利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到；
（2）首先连接，，再发现阴影部分的面积是，即先根据已知条件利用三角函数求得的面积，再求得的大小，即可求得阴影部分的面积．
（1）略
（2）解：如图，连接，，
∵为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积是．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．(1)
证明：如图，
，
，．
．
(2)点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数与几何图形，两点之间的距离公式．
（1）由圆周角相等可证；
（2）由，可得，设，则，可得，，，故，可知为定值2．
（1）略
（2）解：，
，．
．
．
．
设，则．
当时，，
解得，．
当时，．
，，．
，，．
．
是定值2．
点P在运动过程中线段 的长不变，是定值2．
7．(1)
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先证明，可得，进而证明结论；
（2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质以及线段的和差可得，由，相似比是，可得，即，易得；再根据（1）的结论可得，即；再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可；
（3）如图：过作，过H作，设，，由题意可得，再证明、，即；同理可得，即；然后证明，，由相似三角形的性质可得，，易得，最后代入求比例即可．
（1）略
（2）解：∵菱形中，，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，相似比是，
∴，
∴，
∴，
由，根据（1）可得，
∴，
∴
∵，
∴，
∴， ，解得：．
（3）解：如图：过作，过H作，设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，即
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
8．(1)，
(2)
(3)或
（1）将点，代入，求出b，c，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点；
（2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案；
（3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程即可得到答案；
（1）解：将点，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，
∴
∴，，
同理，，
①当时，，如图，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，如图，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．
9．(1)
证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴.
(2)①，②的最小值为．
（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案.
（2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可；
②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，连接，，设交于点，证明，得出,，再进一步求解即可.
（1）略
（2）解：①∵是的直径，弦，，
∴，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴，
取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，
∴当三点共线时，最小，
连接，，设交于点，
∵分别为的中点，
∴
∴
∴
∴,
在中，
∴
∴
又∵
∴的最小值为．
本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，点与圆上各点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，作出合适的辅助线是解本题的关键.
10．(1)
(2)
(3)
本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键．
（1）把，代入求出的值即可确定函数解析式；
（2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标；
（3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标．
（1）解：把，代入
得：，
解得．
抛物线的函数关系式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入
得∶，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
∴，，
，
，
解得或（舍去）．
；
（3）解：如图：过E作，
，关于PC对称，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
，
设，则，，
，
，，
，即是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
，
∵，
，解得：，
．
11．(1)
证明：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形内接于，
∴,
∵,
∴
∵，
∴，
∴；
(2)
①证明：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明，得到，则，即可解答；
（2）①先证明，推导出，得到，即，即可解答；
②连接并延长交于H，连接，先求出，得到，，继而求出，，推导出，则将，即可解答．
（1）略
（2）① 略
②连接并延长交于H，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
12．(1)3，5；
(2)
解：成立，
证明：如图2，如图：过作于，
、关于对称，
于，
∴，
∴，
，
在正方形中，，
，
．
(3)，当时，，S最大,．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正方形的性质等知识点，相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键．
（1）根据图形翻折变换的性质可设，则，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长即可；
（2）由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知可得，
（3）利用勾股定理可得出，进而可得，再表示四边形的面积，根据二次函数的性质求得面积的最大值即可．
（1）解： 设，则，
∵点F与的中点重合,
∴，
∵，
∴，解得：，
．
故答案为：3，5；
（2）略
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴
∴
当，即与的中点重合时，S最大,．
13．(1)，顶点坐标为
(2)
(3)
本题考查求二次函数的解析式，根与系数的关系，判别式，二次函数的图像与性质，用一元一次不等式解决几何问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）将代入二次函数解析式，求出二次函数解析式为，即可解答；
（2）先求出对称轴，推断出该二次函数的图象过点，继而求出，得到二次函数的解析式为，令，得，求出，则，即可解答．
（3）根据判别式求出，由根与系数的关系，可得，，将化简并代入，即可解答．
（1）解：将代入二次函数解析式，得
，
解得．
∴二次函数解析式为，
又∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
答：二次函数的表达式为，顶点坐标为．
（2）解：对称轴：直线
∵二次函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，且对称轴为，
∴该二次函数的图象过点
将代入函数解析式，得
，
解得．
∴
令，可得
解得，
∴
∴．
（3）解：由二次函数，
令，则，
∴
解得．
由根与系数的关系，可得
，
∵
∴
∴，
即
解得．
综上可得．
14．(1)
(2)
(3)存在，或或
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意得：，，从而得到，即可求解；
（3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解．
（1）解∶直线，当时，．
当时，．
，．
将，代入得
解得
抛物线的表达式．
（2）解∶根据题意得∶，，
．
，
开口向下，有最大值．
当时，l取最大值．
当时，．
此时；
（3）解：存在．
当时，．
解得，．
．
分两种情况讨论：
若点P在x轴上方时，如图1，此时，
根据题意得∶ ，，
．
．
．
解得，
若点P在x轴下方，如图2，此时．
．
．
．
解得，(舍去)
的值为或或．
此时点的横坐标为或或．
15．(1)
(2)
(3)
本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，，时，建立方程解题即可．
（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线
∴图象经过，且开口向上，
当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
当时，最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去
综上所述，n的取值范围为．
16．(1)
证明：∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
(2)①9；②45
(3)面积是定值，
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理．
（1）根据平分得到，根据得到，进而证明即可；
（2）①根据得到，即，进而计算即可；
②证明，得到，则；
（3）作交于点M，作交于点N，连结，，根据平分得到，即，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理得到，根据，，得到，，证明，，进而得到，即，即可证明四边形是平行四边形，得到，即可证明是的中位线，得到，根据三角形面积公式计算即可．
（1）略
（2）解：①∵
∴
∴，即
∴
②∵，，
∴
∴
∵，，
∴，
∴
（3）解：面积为定值．证明如下：
理由：作交于点M，作交于点N，连结，
∵平分
∴
∴
∴
在中，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴是的中位线
∴
∴的面积为定值，．
17．(1)
证明：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
②如图，连接，
∵为的直径，
设，则，
∵，
∴由圆周角定理可知，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
(2)18
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角度的和差关系．
（1）①由已知条件得出，证得，从而得到，通过同角的补角相等得出结论；
②连接，设，则，再由圆周角定理及①的结论得出，利用“”证得，从而得出；
（2）先证明得出，进而得到，再由已知条件计算出圆的半径，证明得到，即，将所求的线段等量关系代入即可得出结果．
（1）略
（2）解：∵所对的圆周角相等，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵所对应的圆周角相等，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
18．(1)①b=-1；②且
(2)
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．
（1）①代入/得，再求解即可；②可得对于时，要求，即：，即再分类讨论求解即可；
（2）在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为：在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近再由求解即可．
（1）解：①代入得
已知，
故；
②时，抛物线为：
由题意抛物线经过，两点时，点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有，
可得对于时，要求，即：
，即
当时成立；
当时，需，即对恒成立．
函数在上y随x的增大而增大，最大值为，
故．
因此，的取值范围为且；
（2）解：抛物线为：
对称轴为，且．
由，时抛物线上的两点．当，时，总有，
即在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为：
在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近
由条件总有得：
，
由知，
故，
即．
因此，的取值范围为．
19．(1)
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴；
(2)
(3)10
（1）利用角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形的外角的性质解答即可；
（2）证明，然后利用相似三角形对应边成比例，解答即可；
（3）作的直径，连接，过点作于点，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，设，则，则，利用勾股定理求得，再证明，其对应边成比例求得，即可求得半径．
（1）略
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：作的直径，连接，过点作于点，如图，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的半径为10．
本题主要考查了圆的有关性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
20．（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）；（3）
（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案；
（2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算求得，再利用勾股定理即可求得到答案；
（3）由与关于直线对称，得，从而得到，，再通过证明得到，由（1）可得，，设，则，解方程求出的值即可．
（1） 略
（2）解：，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
由（1）可得，，
，
，
∴；
（3）解：在矩形中，，
，
与关于直线对称，
，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
由（1）可得，，
设，则，
，
解得，（舍去），
的长为．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键．
21．(1)
证明：∵在中，，，
∴为等边三角形，
∴，
又四边形内接于圆O，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
(2)
证明：如图，连接，
∵为直径，
∴，，
∵，
∴为边上的中线，
∴为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴．
(3)3
（1）先证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，再根据圆内接四边形的性质求得，利用邻补角的意义求得，从而可得，于是可得为等边三角形；
（2）先根据直径所对的圆周角是直角得出，，再根据三线合一，得出为边上的中线，从而可得为的中位线，于是有，再利用平行线的性质得出，即可得出；
（3）先证明，列出比例式，再证明，列出比例式，从而可求得，再利用勾股定理求得．
（1）略
（2）略
（3）∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
本题考查了三线合一，等边三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，用勾股定理解三角形，圆周角定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
22．(1)
(2)
(3)
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）运用待定系数法求得直线的解析式，当的值最大时，在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点的坐标，利用两点间距离公式可求得，即的最大值．
（1）解：∵抛物线过点，，且它的对称轴为直线，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设，，交直线于点，
∵，
∴即：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
即：（舍），
∴；
（3）解：当三点共线时，的值最大，最大值为的长；
设，
∵，
∴，
解得：，
即：，
∵，
∴（舍），
当时，，
∴，此时三点共线，最大，
∴．
本题考查了待定系数法函数解析式，三角形三边关系、二次函数与面积，一次函数的性质，勾股定理等知识点，利用线段和差求最值问题是解题的关键．
23．(1)
(2)
证明：，
直径平分弦所对的弧，
．
本题考查了圆的综合，圆周角定理，圆心角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，正确理解圆的相关性质是解题的关键．
（1）连结， 由是劣弧的中点，得， 而， 则， 所以，则， 所以
（2）由，得， 则， 所以．
（1）解：连接，
是劣弧的中点，
是的两条直径，
的度数是.
（2）略
24．初步应用：；问题解决：；问题拓展：
初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可．
问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可．
问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可．
解： 初步应用：以为圆心，为半径作，
，
点、、在上，
，，
，
，
，
，
；
问题解决：连接、、，
点关于直线的对称点是，
，
，，
，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
∵，
的最小值为；
问题拓展：
四边形是平行四边形，
，，
是中点，
，
∵将沿所在直线翻折得到，
以为圆心，为半径作辅助圆，如下图：
∵，
∴点，D在上，
∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值，
过点M作，交的延长线于点E，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴线段的最小值．
过点A作，交的延长线于点F，如下图：
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
m的取值范围为．
故答案为∶ ．
本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键．
25．(1)
(2)①或；②是，
(3)小球第四次弹起后的最大高度最接近
本题考查二次函数的应用，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由表格数据，用待定系数法求出函数解析式；
（2）①根据，t取任意值时的小球高度一定是时的，求出函数解析式；
②根据①的解析式判断即可；
（3）求出第一次，第二次，第三次，第四次最高高度即可判断．
（1）解：当时，由表格数据可知，二次函数图象的对称轴为直线，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
把代入函数解析式得：，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：，t取任意值时的小球高度一定是时的，
时，
，
当时，，
整理得：，
解得，
当时，t的值为或；
②由①可知，，
关于t的函数是二次函数；
（3）解：第一次弹起时，最大高度为；
第二次弹起时，最大高度为；
第三次弹起时最大高度是第二次弹起时最大高度的，即；
第四次弹起时最大高度是第三次弹起时最大高度的，即；
小球第四次弹起后的最大高度最接近
26．(1)
(2)
(3)或
（1）结合抛物线（为常数）经过点，进行列式计算，即可作答．
（2）先得出抛物线，根据点作轴的平行线，与抛物线交于两点，则，结合根与系数的关系，得，又因为点为线段的中点，得，然后代入，求出，再求出，即可作答．
（3）先分析得抛物线的开口向上，在对称轴处取得最小值，且越靠近对称轴的数越小，因为点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，进行分类讨论，再结合恒成立，进行列式计算，即可作答．
（1）解：∵抛物线（为常数）经过点．
∴，
解得，
（2）解：由（1）得，
则抛物线，
∵过点作轴的平行线，与抛物线交于两点，
∴令时，则，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，
则，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：由（2）得抛物线，
∵，
∴开口向上，在对称轴处取得最小值，且越靠近对称轴的数越小，
由得对称轴为直线，
∵点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，
∴当时，则，
∴，
∵恒成立，
∴远离对称轴，靠近对称轴，
则，
∴，
∵，
∴，
则，
当时，则，
解得（与相矛盾，故舍去）；
当时，则，
解得；
∴当时，则，
∴，
∵恒成立，
∴远离对称轴，靠近对称轴，
则，
∴，
∵，
∴，
则，
当时，则，
解得，
∴，
当时，则，
解得；
∴，
故，
综上：当恒成立，的取值范围为或．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，二次函数的图象性质，解绝对值方程，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
27．(1)；
(2)；
(3)
证明：二次函数的顶点的横坐标为，
∴
，
．
∵，
∴．
本题主要考查了二次函数的顶点坐标，规律探索，分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据所给函数解析式求出顶点横坐标，然后代入求值完成表格的填写即可；
（2）根据所填表格，猜想m，n值得关系即可；
（3）二次函数的顶点的横坐标为，代入求出m，n进行证明．
（1）解：∵二次函数解析式为，
∴顶点的横坐标为，
则，．
故答案为：；
（2）解：由表格可知，
当取顶点横坐标的值时，，的值的关系为；
（3）略
28．(1)
(2)①，；②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为；③
（1）根据圆周角定理可知，利用勾股定理解答即可；
（2）①过点N作于点Q，利用勾股定理即可求得，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求得；
②过点P作于点H，设，则，再利用勾股定理和完全平方公式解答即可；
③利用三角形的周长的意义求得，利用完全平方公式求得，再利用完全平方公式解答即可得出结论．
（1）解：的直径，为的直径，
，
当点P与A重合时，
，
；
（2）解：当时，过点N作于点Q，如图，
∴，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
，
，
；
②在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为理由：
过点P作于点H，如图，
由题意得：，
设，则，
在点M，N的运动过程中，是定值，该定值为；
③当的周长为时，
，
，
，
，
由②知：是定值，该定值为，
，
，
本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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