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第3章勾股定理单元检测同步训练卷拔尖卷苏科版2026—2027学年八年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．7，8，9 D．9，12，15
2．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．5 C．313 D．25或313
3．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（ ）
A．20 B．15 C．12 D．14
4．如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（ ）
A． B． C．7 D．29
5．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ）
A．12 B．14 C．15 D．17
6．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点是的中点，点是边上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
9．如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为________．
12．在中，，则点C到的距离是_________．
13．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______．
14．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺．
三．解答题（共6小题，总分60分，其中15—20题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为．
(1)试求的周长；
(2)求线段的长度．
16．如图，在中，，点是延长线上的点，连接．
(1)若，，，求的长；
(2)若平分，，，求的面积．
17．在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米．
(1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由；
(2)新道路比原道路短多少千米？
18．图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合．
(1)当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由．
(2)如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度．
19．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导：
(1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________；
(2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值；
(3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值．
20．在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，连接，点是线段的中点，连接．求证：．
(3)如图3，若，，点在边上运动，连接，点是线段的中点，连接．当取得最小值时，记此时的点为点；当取得最小值时，记此时的点为点．直接写出的面积．
参考答案
1．D
【详解】解：A、，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项符合题意；
2．D
【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论：
①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为；
②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为；
∴第三边长的平方是25或313．
3．D
【详解】解：∵中为斜边，，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，得，
∴．
4．B
【详解】解：在中，，
根据勾股定理得，
∴
，故点C表示的实数是．
5．D
【详解】解：如图，
根据题意，得，，，，，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴含有问号的那个正方形的面积是17．
6．B
【详解】解：由题意可知：垂直平分，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
在中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
7．A
【详解】解：点是的中点，， 垂直平分，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
8．D
【详解】解：∵，
又∵，，，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
9．C
【详解】解：根据题意可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
在和中
，，
，
，，
，
，
设，，
，
又，
在中，，
解得，
．
10．B
【分析】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可．
【详解】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内，
，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，
，，
；
如图2，将前面和右面展开在同一平面内，
，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，
，，，
．
，
最短距离为．
11．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴由勾股定理得该直角三角形的斜边长为．
12．
【详解】解：设点C到的距离为h，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C到的距离是．
13．2027
【详解】解：如图，
由题意得：，由勾股定理得：，
则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027．
14．
【详解】解：设时尺，
小溪的宽度时尺，
时尺，
棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，
在中，，
在中，，
两只鸟以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标，
，
，
化简得，
解得，
时尺．
15．【详解】（1）解：由折叠的性质可知，垂直平分线段，
根据垂直平分线的性质可得：，
∴；
∴的周长是14；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
解得,
∴．
16．【详解】（1）解：，
，，
；
（2）解：过作交于点，如图，
平分，，
，
．
17．(1)道路是从村庄到公路的最短路径；理由如下：
千米，千米，千米，
，
，
，
是从村庄到公路的最短路径；
（2）解：设（千米），则（千米），
（千米），
，
，
，
，
解得，
（千米），
（千米），
新道路比原道路短千米．
18．(1)解：，理由如下：
根据题意可知，，
，，
，
∵，
，
，
故伸缩杆与窗框的位置关系为．
（2）解：如图，过点作，
根据题意可知，，
，，
，
，
，
，
在中，．
19．【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接交于点，
∴，
∴．
∵，
∴当三点共线时最小，即的最小值为；
（2）解：如图所示，令，，
则，，，，．
∵，
∴当三点共线时最小，即的最小值为；
（3）解：如图所示，记与交于点，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
根据勾股定理，得，
则．
如图所示，令，设，则，
则，
∴．
∵，
∴当三点共线时最小，即的最小值为．
20．【详解】（1）解：过点A作于点Q，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
(2)证明：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
延长交于点G，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
延长到点M使得，连接，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点E作于点N，
∴，，
根据勾股定理，得，
∴
，
过点G作于点H，
∴，
∴，
∴，
根据题意，得
，
∴．
（3）解：过点C作，
则，
过点A作于点V，
，，
，，，
，，，
过点D作于点K，作 ，交的延长线于点Q，
则，,
在上截取，连接，
，
∴，
∴，
∴，
∴线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴点E的轨迹是射线
根据题意，得，
，
根据勾股定理，得
,
，
，
，
以为边在其下方构造等边三角形，
则，，
过点E作于点H，根据题意，得，
，
根据垂线段最短，当B，E，H三点共线，且时，取得最小值，
故过点B作于点M，交于点，此时满足了取得最小值，
根据题意，得
，
，
过点C作，交的延长线于点W，
，，
，，，
过点作，交的延长线于点R，
，
根据平行线间的距离处处相等，得，
根据垂线段最短，知道当时，取得最小值，
，
∴，
，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
．
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