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江苏省四校2026-2027学年高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆方程为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
2.已知直线过，两点，且倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦距等于，则其离心率的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.设为正实数，集合，，当时，的取值范围为 ．
A. B. C. D.
6.已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
7.若直线：和直线关于直线对称，那么直线恒过定点( )
A. B. C. D.
8.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 直线始终过定点 B. 原点到直线的距离最大值为
C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限
10.已知、，则下列命题中正确的是( )
A. 平面内满足的动点的轨迹为一条直线
B. 平面内满足的动点的轨迹为椭圆
C. 平面内满足的动点的轨迹为圆
D. 直线相交于点，且它们的斜率之积是，则的轨迹是椭圆除去、两点
11.卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是( )
A. 曲线过原点
B. 曲线既是中心对称图形又是轴对称图形
C. 曲线上点的横坐标的取值范围是
D. 曲线上任意一点到原点距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，直线，当时，两直线间的距离为 ．
13.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为 ．
14.已知圆：，为直线：上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，的中点为，若点的坐标为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的三个顶点为，，，求：
所在直线的方程；
边上中线所在直线的方程；
边上的垂直平分线的方程。
16.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点在椭圆上， 为上顶点．
求椭圆的方程；
求的最大值；
求的最大值．
17.本小题分
已知圆经过点，，三点．
求圆的方程；
一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的方程．
18.本小题分
材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：其中，且该方程不表示
问题：已知圆：求：
求共点直线系方程的“共点”的坐标；
设点为第问中的“共点”，点为圆上一动点，求的取值范围；
若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程．
19.本小题分
已知点为线段的中点，，点为圆上动点．
求点的轨迹曲线的方程；
过点的直线与中曲线交于不同的两点，异于坐标原点，
求直线斜率的取值范围；
直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为 ， ，故 的斜率 ，
故 所在直线的方程为 ，即 ．
因为 ， ，故 的中点坐标 ，即 ．
故 边上中线 所在直线的斜率为 ，
故 边上中线 所在直线的方程为 ，即 ．
由 ， ，故 边上垂直平分线 所在直线的方程为 ，即 ．

16.【答案】解：由题意得椭圆的焦点为，故，即
将点代入椭圆方程得
将代入，整理得，解得负根舍去，故．
因此椭圆的方程为．
由椭圆定义，对椭圆上任意点，有，且．
由基本不等式得，
当且仅当时等号成立，此时为椭圆短轴顶点，符合条件．
故的最大值为．
由椭圆方程得上顶点的坐标为，设，，满足，
则
该二次函数开口向下，对称轴为，当时，．
故的最大值为．


17.【答案】设圆 的方程为 ，
因为点 在圆 上，所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ．
圆 的方程可化为 ，
因为 关于轴的对称点为 ，设切线为直线 ，
因为 ，所以点 在圆外，则过 有两条直线与圆 相切；
当切线斜率存在时，则设直线 ： ，即 ，
则圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以直线 ： ； 当切线斜率不存在时，直线 ： ，
综上可得反射光线所在直线为 或 ．

18.【答案】解：
由．
所以“共点”的坐标为：
圆：，所以圆心，半径，
由，
所以点在圆外
所以．
由得：点和到直线的距离相等．
所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线．
所以．
因为：，所以点在圆内
因为，所以当最小时，直线的方程为：．

19.【答案】解：设，，
由中点坐标公式得，
点在圆上，
，
即，
整理得曲线的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，
得，
直线与曲线交于异于坐标原点的两点，，
则，
解得，
故直线斜率的取值范围为；
由知，
，，
已知直线，的斜率分别为、，
则
，
把根与系数的关系代入得：
，
故是定值．
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