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江苏省苏州市常熟市2026-2027学年高一上学期阶段性抽测一
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列元素所组成的总体，能表示集合的是( )
A. 高一年级打篮球好的学生 B. 高一年级比较难的学科
C. 高一年级所有男生 D. 高一年级写字好的学生
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.命题“”的否定是( )
A. B. C. D.
4.若集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
5.若集合中的三个元素互不相同，则实数的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
6.如果，那么下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.“三角形有两边上的高相等”是“这个三角形为等腰三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某班全体学生中，参加数学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，两个小组都参加的有人，两个小组都不参加的有人，则该班总人数为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，且，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的是
A. 当时，，
B. 二次函数的图象与轴交点的坐标为和
C. 当时，
D.
11.已知，为正实数，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为 提示：结果用集合表示
13.当时，的最大值是 ．
14.不等式对恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求的取值范围．
16.本小题分
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好．
若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米
若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了并说明理由．
17.本小题分
关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围：
两根一正一负；
两根均为负根；
两根均大于．
18.本小题分
已知二次函数．
当时，求在上的最大值；
当时，在上的最大值为，求的值；
当，时，在上的最小值为，求的值．
19.本小题分
对于由正整数构成的集合，若中存在三个互异元素、、满足，则称为“平均集”．
已知集合，且，为“平均集”且元素个数至少为，试用列举法写出所有满足条件的；
若集合是“平均集”，且所有元素均为正整数，求整数的值；
已知正整数，证明：集合不是“平均集”．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由集合，得，
当时，，
所以，
；
由题意得：或，
因为，所以或，
解得或，
综上：实数的取值范围为或．

16.【答案】解：设窗户面积为，则地板面积为．
由题意知，解得，
又由题知，，
所以有，
所以窗户面积至少为；
设窗户面积为，地板面积为，增加的面积为．
因为，，，且，
所以，
即，
所以公寓的采光效果变好了．
17.【答案】解：设方程两根为，，
由韦达定理：，，
．
若两根一正一负，则，即，解得，即，
所以的取值范围是．
若两根均为负根，则，即，解得，即，
所以的取值范围是．
若两根均大于，则，变形得
即，解得，即，
所以的取值范围是．

18.【答案】解：由，得，，，
由对称轴，开口向上，自变量取值范围，
当时，随着的增大而减小，
当时，随着的增大而增大，
当时，；
当时，，
故在上的最大值为．
当时，，
由对称轴，开口向上，自变量取值范围，
当时，即当时，当时，随着的增大而增大，
此时当时，取最大值，即，解得，舍去；
当时，即当时，当时，随着的增大而减小，
此时当时，取最大值，即，解得，舍去；
当时，即当时，
当时，随着的增大而减小，
当时，随着的增大而增大，
所以当或时，取最大值，
当时，；当时，．
若，即当时，，解得，符合题意；
若，即当时，，解得，符合题意．
综上，或．
当，时，，
由对称轴，开口向上，自变量取值范围，
当时，即当时，
当时，随着的增大而减小，
此时当时，取最小值，
即，解得或舍去；
当时，即当时，
因为，当时，取最小值，
即，不符合题意；
当时，因为，随着的增大而增大，
此时当时，取最小值，即，解得或舍去．
综上所述，．

19.【答案】解：由题意，，，至少含个元素，
存在三个互异元素、、满足．
三元子集：，满足；
四元子集：，，均包含；
五元子集：，包含．
所有：，，，．
集合，元素为正整数且互不相等，为“平均集”，
，化简得，则；
，化简得，无整数解；
，化简得，无整数解．
由元素为正整数：，得．
检验，，满足，符合条件．
故整数．
假设集合是“平均集”，
则存在下标，使得．
两边同除以，得．
令，，则．
因为，，，与等式矛盾．
假设不成立，集合不是“平均集”．

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