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2026-2027学年天津市武清区杨村第一中学高二（上）第一次学业质量检测数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，与平行，则等于( )
A. B. C. D. 或
4.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则( )
A. ； B.
C. D.
5.已知空间内三点，，，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
6.已知圆：截直线所得线段长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
7.已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
8.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
9.过作圆的两条切线，切点分别为、，当为正三角形时，的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.过点且与直线垂直的直线的方程是 ．
11.过点且与圆相切的两条直线互相垂直，则 ．
12.已知直线：与圆：相交于，两点，则的最大值为 ．
13.若直线：与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为 ．
14.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，使得点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是 ．
15.若对于圆：上任意的点，直线：上总存在不同两点，，使得，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设直线的方程为．
求经过定点的坐标；
若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，与交于点，的中点为．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与所成角的余弦值；
Ⅲ求点与平面的距离．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求：
求圆心为的圆的标准方程；
若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．
Ⅰ证明：若，则直线平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点．
求圆的标准方程；
是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值；
若直线的斜率存在，且与圆交于，两点异于点，直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：直线的方程可化为，
所以直线经过直线与的交点，
由，解得，
即直线与交点坐标为，
所以故不论为何值，直线经过的定点坐标为；
对于直线：，，
令，解得，即直线在轴上的截距为，
令，解得，即直线在轴上的截距为，
由题意得，解得或，
当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，
综上所述：所求直线的方程为或．
17.【答案】Ⅰ证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，．
为中点，为中点，
，．
，，．
，
．
，
．
又 ，平面，平面，
平面；
Ⅱ解：，，
设直线与所成角为，
则
．
即直线与所成角的余弦值为；
Ⅲ解：设平面的法向量为，
，，
，令，则．
又 ，
则点到平面的距离：
．
18.【答案】解：设圆的标准方程为，
得到圆心坐标为，半径为，
将与坐标代入圆方程得：，
，
消去，整理得：，
将圆心坐标代入，得，
联立，解得：，，
所以，
则圆的标准方程为；
若过点的直线被圆所截得弦长为，
当直线的斜率存在时，
设过点的直线为，
圆半径为，弦长为，
圆心到直线的距离，
由，解得，
直线方程为，即；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
直线与圆的交点坐标为，，
直线被圆所截得的弦长为，
故直线的方程为或．
19.【答案】Ⅰ证明：如图所示，在线段上取一点靠近点的三等分点，连接，，
，，
又，，
则，且，四边形为平行四边形，，
又，，
所以平面平面，
由线线平行的定义可得平面；
Ⅱ如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，据此可得，
设平面的法向量，
则，据此可得，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ假设存在点，设，即，，
由Ⅱ得，，，且平面的法向量，
则，，
则，，
，
解得或，
故存在点满足题意，且或．
20.【答案】；
证明：由 可知，，
设，则，
由题意知，直线的方程为，
令，得，所以，
由，得直线的方程为，
令，得，所以，
所以
，
所以为定值；
证明：设直线的方程为，，，已知，
联立得，
，即，
所以，，
所以，
所以，
所以，
整理得，所以或，
当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，所以直线过定点
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