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高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化
江苏省如皋市长江高级中学 2026-2027 学年度第一学期高二数学第一次阶段考试综合试题
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.设直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
2.已知椭圆 和双曲线 的焦点相同，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
3.已知直线 和直线 ，则“ 或 ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.直线 经过的定点 为（ ）
A． B． C． D．
5.如果实数 满足等式 ，那么 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.直线 与 有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设 “第一次出现 1点”， “第二次出现 1点”，
“两次出现的点数之和为 5”， “两次出现的点数之和为奇数”，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 相互独立 D．
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高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化
8.设 、 分别为椭圆 的左、右焦点， ， 、 两点均
在椭圆 上且满足 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9.若方程 所表示的曲线为 ，则（ ）
A．曲线 可能是圆
B．若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C．若 为双曲线，且焦点在 轴上，则
D．当 时，表示焦点在 轴上的椭圆，离心率为
10.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11.已知圆 ： ，点 是直线 ： 上一动点，则下列选项正确
的是（ ）
A．将圆 与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为
B．圆心 到 的距离的最大值为
C．若圆 上存在两点关于 对称，则
D．若 ， 是圆 的一条切线（ 为切点），则 可以为
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三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12.与双曲线 共焦点，且经过点 的双曲线的方程为________．
13.已知点 M，N是椭圆 （ ）上的两点，且线段 MN恰为圆
的一条直径，A为椭圆 C上与M，N不重合的一点，且直线 AM，AN的斜
率之积为 ，则椭圆 C的离心率为__________．
14.已知实数 、 、 、 满足 ，则 的最小值
为__________．
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15.（1）若一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，求入射光线
和反射光线所在直线的方程；
（2）若直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 的方程．
16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 为 上一点，当 轴
时， .
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的面积.
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17.已知椭圆 ，椭圆 与 有公共焦点，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相交于 两点， 为 的中点，求直线 的方程.
18.已知圆 ，直线 ，直线 与圆 交于点 .
(1)求证：直线 过定点；
(2)若直线 所过定点为 ，满足 ，求此时直线 的方程；
(3)设圆 在点 ， 处的切线分别为 ， 所在直线，求点 的轨迹方程.
19.已知椭圆 （ ）的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，左、右
焦点分别为 ， ，过右焦点 的直线 交椭圆于点 ， ，且 的周长为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 的长度为 时，求直线 的斜率；
(3)记直线 、 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
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江苏省如皋市长江高级中学 2026-2027 学年度第一学期高二数学第一次阶段考试综合试题
解析版
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1.设直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
则有 ， 且 ，
作出 的图象，如图所示：
由此可得 .
2.已知椭圆 和双曲线 的焦点相同，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】C
【详解】由题可知 ，所以 .
3.已知直线 和直线 ，则“ 或 ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】直线 和直线 ，
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当 时， ，两直线重合，不是平行；
当 时， ，化简 ，两直线平行不重合，
所以“ 或 ”不能推出“ ”，充分性不成立；
若 ，首先满足 ，得 ，得 或 ，
当 时， ，两直线重合，不是平行；
当 时， ，化简 ，两直线平行不重合，
所以 等价于 ，所以“ ”能推出“ 或 ”，必要性成立；
所以“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件.
4.直线 经过的定点 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于含参数 的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数 合并整理：把直线方
程 展开，
将含 的项和常数项分离得： ，该等式对任意 都成立，
等价于两个括号内的项同时为 ，得到方程组：
解得 即定点为 .
5.如果实数 满足等式 ，那么 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 中 ，解得 ，
由题意可得设过原点的直线的斜率为 ，即直线方程为 ，
同一坐标系内画出草图，
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由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 的最小值是 .
6.直线 与 有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】可知曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆的右半部分，如下图所示，
当 时，曲线与 恰有两个交点，
当曲线与直线 相切时，可得 到直线 的距离为 ，
即 ，因为 ，解得 ，所以 .
7.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设 “第一次出现 1点”， “第二次出现 1点”，
“两次出现的点数之和为 5”， “两次出现的点数之和为奇数”，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 相互独立 D．
【答案】C
【详解】样本空间共包含 个等可能基本事件.
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， ，事件 包含 共 4个基本事件，
故 ；事件 包含 18 个基本事件，分别为
，故 .
事件 包含基本事件 ，故 与 不互斥，A错误.
事件 包含基本事件 ， ， ，故 与 不相互
独立，B错误.
事件 包含 共 3个基本事件， ，
，故 ，故 与 相互独立，C正确.
事件 包含基本事件 ，故 ，
，D错误.
8.设 、 分别为椭圆 的左、右焦点， ， 、 两点均
在椭圆 上且满足 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以设 ，则 ．
由椭圆的定义，得 ， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ．①
在 中， ，即 ．②
联立①②，解得 ， ，
又因为 ，所以椭圆 的离心率 ．
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二、多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9.若方程 所表示的曲线为 ，则（ ）
A．曲线 可能是圆
B．若 为椭圆，且焦点在 轴上，则
C．若 为双曲线，且焦点在 轴上，则
D．当 时，表示焦点在 轴上的椭圆，离心率为
【答案】ABD
【详解】对于 A，当 ，解得 ，此时方程为 ，表示圆，故 A正确；
对于 B，若 C为椭圆，且焦点在 x轴上，则 ，解得 ，故 B正确.
对于 C，若 C为双曲线，且焦点在 y轴上，则 ，解得 ，故 C错误.
对于 D，当 时，方程为 表示焦点在 x轴上的椭圆，且 ， ，
所以 ，解得 ， ，所以离心率为 ，故D正确；
10.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】 ， ， ，故 A正确；
，故 B错误；
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，
相互独立，则 、 也独立，
，故 C正确；
，故D错误．
11.已知圆 ： ，点 是直线 ： 上一动点，则下列选项正确
的是（ ）
A．将圆 与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为
B．圆心 到 的距离的最大值为
C．若圆 上存在两点关于 对称，则
D．若 ， 是圆 的一条切线（ 为切点），则 可以为
【答案】ABC
【详解】圆 ，圆心为 ，半径 ．
对于A，圆 C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为 ， ，围
成的三角形面积为 ，故 A正确；
对于 B，直线 过定点 ，圆心 C到该定点的距离为 ，故圆心 C到 l的距离
最大值为 ，故 B正确；
对于 C，若圆 C上存在两点关于 l对称，则 l过圆心，由 ，得 ，故 C正确；
对于D，当 时，直线 ，
圆心到其距离为 ，由 知， ，
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此时 ，不能为 ，故D错误．
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12.与双曲线 共焦点，且经过点 的双曲线的方程为________．
【答案】
【详解】因为所求双曲线与双曲线 共焦点，
所以，设所求双曲线的方程为 ．
因为方程经过点 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以所求双曲线的方程为 ．
13.已知点 M，N是椭圆 （ ）上的两点，且线段 MN恰为圆
的一条直径，A为椭圆 C上与M，N不重合的一点，且直线 AM，AN的斜
率之积为 ，则椭圆 C的离心率为__________．
【答案】
【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆 （ ）上关于原点对称的两
点，
又由于 A为椭圆 C上与 M，N不重合的一点，且直线 AM，AN的斜率之积为 ，
根据椭圆的第三定义可知 ．
因为椭圆离心率 ，所以 ，因此椭圆 C的离心率为 .
14.已知实数 、 、 、 满足 ，则 的最小值
为__________．
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【答案】
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 在圆 上， 在直线 上，
要求 的最小值，
即求圆 上的点与直线 上点的距离的平方的最小值，
又因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 的最短距离为 ，
所以 的最小值为 .
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15.（1）若一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，求入射光线
和反射光线所在直线的方程；
（2）若直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 的方程．
【详解】（1）设入射光线为 ，反射光线为 ，
光线从点 射出，与 轴相交于点 ，
入射光线 的方程为 ，整理得 ，
入射光线 的斜率 ， 反射光线 的斜率 ，
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又 反射光线要经过点 ，
反射光线 的方程为 ，即 .
（2）当直线 的截距为 时，设直线 的方程为 .
因为直线 经过点 ，所以 ，所以直线方程为 ，即 ，
当直线 的截距不为 时，设直线 的方程为 ，
则 解得 或 ．
若 ，则直线 的方程为 ，即
若 则直线 的方程为 ，即 .
综上所述，直线 的方程为： 或 或 ．
16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 为 上一点，当 轴
时， .
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 的面积.
【详解】（1）设 ，
由题意可知，当 时， ，
由点 在 上可得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 的方程为 .
（2）
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由（1）可知 ，
则 ，
由题得 ，
解得 ，
所以 的面积 .
17.已知椭圆 ，椭圆 与 有公共焦点，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相交于 两点， 为 的中点，求直线 的方程.
【详解】（1）依题意设椭圆 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 ，所以点 在椭圆内，直线 与椭圆相交，
设 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
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又点 为 的中点，所以 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，即 .
18.已知圆 ，直线 ，直线 与圆 交于点 .
(1)求证：直线 过定点；
(2)若直线 所过定点为 ，满足 ，求此时直线 的方程；
(3)设圆 在点 ， 处的切线分别为 ， 所在直线，求点 的轨迹方程.
【详解】（1） ，即 ，
当 时，式子为 与 无关，
故直线 过定点 ；
（2）由（1）知 ，
圆 ，则圆心 ，半径 ，
， ，设 ，则 ，
过 作 交 于 ，
，
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，即 ，
解得 ，
即圆心 到直线的距离 ，
，解得 ，
此时直线方程为 或 ；
（3）根据题意 ，
四点共圆，且以 为直径，
设 ，则 的中点 ，
则 在圆 上，
联立圆 ，
得到直线 的方程为： ，
由直线 所过定点 ，
，解得 ，
所以点 的轨迹方程为 ．
19.已知椭圆 （ ）的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，左、右
焦点分别为 ， ，过右焦点 的直线 交椭圆于点 ， ，且 的周长为 ．
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(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 的长度为 时，求直线 的斜率；
(3)记直线 、 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
【详解】（1）由椭圆的定义及 的周长为 ，得 ，所以 .
由离心率为 ，得 ，所以 .
所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）知，右焦点为 ，且直线 不与 轴重合，
所以设直线 的方程为： ， .
由 ，得 .
恒成立.
所以 .
所以
，
所以 ，即 ， .
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的斜率为 .
(3)由（2）知 .
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所以 ，
所以 .
由（1）得 ，
所以 .
即 为定值 .
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