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2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学考试卷
A.AB=6
B.0A·0B=-1
考试时间：120分钟
满分：150
C.若元=(42，t),且元1AB,则t=3
D.若元=(1,1，k)且m//AB,则k=-2
10.下列命题为真命题的是()
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
A.空间中任意两个单位向量必相等
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
C.若空间向量元，元，满足元=元，元=可，则元=
一、单选题（本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
D.若空间向量a,满足=，则后=
目要求的)
11.在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件A:“2件产品都是正品”，
1.在空间直角坐标系0xyz中，点(-3，-2,11)关于x轴对称的点的坐标为()
事件B:至少有1件次品”，事件C:“至少有1件正品”，则下列结论正确的是()
A.(-3,2,-11)B.3,-2,11)
C.(-3,2,11)
D.(3,-2,-11)
2.在空间四边形PABC中，BP+CA-BA=()
A.B与C是互斥事件
B.A与B为对立事件
A.AP
B.PC
C.AB
D.CP
C.AnC=A
D.P(B)+P(C)=1
3.甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是子则面试结束后两人都没通过的概
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在空间直角坐标系0-xyz中，点(1,2,3)在坐标平面x0y内的射影的坐标为
率是()
A.店
B.品
c.品
D.瓷
13.已知P,A,B,C四点共面，对空间任意一点O,若0P=20A+OB+t0C,则t=
4.己知P(A)=0.5,P(B)=0.3,且A,B互斥，则P(AUB)=()
A.0.5
B.0.3
C.0.8
D.0
14.己知向量=(0,0,1)，方=(1，-1,1)，向量+在向量上的投影向量坐标为一
5.已知a=(-1,1,0),万=(2，-1,1)，则a-等于()
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
A.V14
B.2W14
C.√7
D.14
15.已知在某次飞行员选拔测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试
6.设m,n∈R,向量a=(3,-6,m),万=(1，m,④，且a/fi,则m+n=()
A.-24
B.10
C.14
D.24
的概率分别为子回答下列问题：
7.己知向量AB=(1,2,1),AC=(0,1,-2)则平面ABC的一个法向量可以是()
(1)求恰有1人通过测试的概率：
A.(5,-2,-1)）B.(-6,2,2)
C.(3,1,-2)
D.(4,-3,1)
(2)求至少有1人通过测试的概率，
8.设事件A,B相互独立，满足P(AUB)=P(④=子则P(B)=(）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在空间直角坐标系0-xyz中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论正确的有()
第1页（共4页）
第2页（共4页）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C A B A A ACD BC
题号 11
答案 BC
1．A
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得.
【详解】点 关于 轴对称的点的坐标为 .
2. D
【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果.
【详解】由题意得， ．
3.A
【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为 1．
已知甲、乙能通过面试的概率都是 ，则甲、乙未能通过面试的概率都是 ，
故面试结束后两人都没通过的概率是 ．
4．C
【详解】因为 互斥，所以 ，
所以 .
5．A
【详解】因为 ， ，所以 ，故
.
6．B
【详解】由题意可得 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以 .
7．A
【分析】首先设平面 的法向量为 ，然后根据 进行求解即可.
【详解】设平面 的法向量为 ，由 可得： ，
令 得： ，解得： ， .
由此可得：平面 的一个法向量为 .
又 B，C，D三个选项的向量均不 共线.
故选：A
8．A
【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算即可.
【详解】 ，因为事件 ， 相互独立，
所以 ，则 ，
即 ，解得 ．
9．ACD
【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可.
【详解】对于 A，由 ， 可知， ，
故 ，正确；
对于 B，由 ， 可知， ， ,
所以 ，错误；
对于 C，若 ，且 ，则 ，即 ，正确；
对于 D，若 且 ，则设 ，那么 ，
，正确.
10．BC
【详解】对于 A，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同故不一定相等，所以 A错误；
对于 B，由正方体的结构特征知， 与 的方向相同，模也相等，故 ，所以 B正确；
对于 C，向量的相等满足传递性，所以 C正确；
对于 D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而 D中向量 与 的方向不一定相同，
所以 D错误．
11．BC
【分析】用 、 、 分别表示 件正品，用 、 分别表示 件次品，列举样本空间 ，事件 、 、 ，
利用互斥事件的定义可判断 A选项；利用对立事件的定义可判断 B选项；利用交事件的定义可判断 C选
项；利用古典概型的概率公式可判断 D选项.
【详解】用 、 、 分别表示 件正品，用 、 分别表示 件次品，
样本空间为
，
对于 A选项， ，
，
所以 ，
故事件 与 不互斥，A错；
对于 B选项， ，所以 ， ，
故 与 为对立事件，B对；
对于 C选项，由前面的分析可知 ，则 ，C对；
对于 D选项，由古典概型的概率公式可得 ，D错.
12．
【分析】根据空间坐标平面中点的坐标定义易得.
【详解】设点 在坐标平面 内的射影为 ，则 平面 .
根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得 ，故得 .
故答案为： .
13．
【分析】由条件可得存在实数 ，使得 ，再用向量 表示出向量
，即可得出答案.
【详解】 ，
，
，
P，A，B，C四点共面，则存在实数 ，使得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 .
14．
【详解】已知 ， ，所以 .
根据投影向量的定义，向量 在向量 上的投影向量为 ，
其中 为 方向上的单位向量，
令 ， .则 ；
；
所以投影向量的坐标为 .
15．(1) ．
(2) ．
【详解】解：记甲、乙通过测试的事件分别为 ，
由题意得 ．
（1）恰有 1人通过测试的事件为 ，
所以 ，
即恰有一人通过测试的概率为 ．
（2）至少有 1人通过测试的事件为 ，
所以 ，
即至少有一人通过测试的概率为 ．
16．(1) ，
(2)
(3)
【详解】（1）已知 ， ，则 ，
.
（2）已知 ， ，则 ，
，因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
（3）已知 ， ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
17.(1) ；
(2)
【详解】
（1）样本空间中共有 10个基本事件，
事件 A为“参赛的 2名同学都是女同学”，故 ，共 1个基本事件，
因此 ；
（2）设事件 为“参赛的 2名同学中恰好 1名男同学和 1名女同学”，
则 ，共 6个基本事件，
样本空间中共有 10个基本事件，所以 .
18．(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
因为正方体的棱长为 ， 为坐标原点，
则 的坐标为 ，
点 在 轴上，则 ，
点 的坐标为 .
（2）由（1）可知， ， ，则 .
（3）因为 ， ，则 ，
且 ，则 ，
， ，
则 ，
且 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
19．(1) ，长度为 ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量加法表示向量，再结合已知条件求出向量
的模；
（2）利用向量数量积的运算规则计算求解；
（3）先求出向量数量积，再分别求出向量的模，最后利用向量夹角余弦公式求解．
【详解】（1）由平行六面体的性质可知 ，
是 的中点，
，
，
，
，
．
（2）
．
（3） ， ，
，
又 ，
，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．

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