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广东省深圳亚迪学校2024-2025学年八年级数学上学期期中考试试卷
1．下列各组数据是勾股数的一组是（　　）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．1，1， D．13，14，15
2．下列说法中正确的是（　　）
A．的平方根是和 B．的平方根是
C．有理数都是有限小数 D．是有理数
3．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-2，-1），“馬”位于点（1，-1），则“兵”位于点（　　）
A．（-4，3） B．（-2， -1） C．（-4，2） D．（1， -2）
4．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
5．已知方程组的解满足，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
6．若点A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，则（　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（　　）
A． + = B．3 ﹣2 =1
C．2+ =2 D．a ﹣b =（a﹣b）
8．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（　　）
A． B． C． D．
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．平面直角坐标系内一点A ，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是　 　．
11．若，则代数式　 　．
12．如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
13．如图，在中，， ， ，点 在 上，将 沿 折叠，点落在点处，与 相交于点 ，若，则的长是　 　.
14．（1）解方程：；
（2）计算：；
15．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
（1）化简M；
（2）当，时，求M的值．
16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的，写出的坐标 ；
（2）计算：的面积是 ，边上的高是 ；
（3）若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请画出点P，并直接写出的值为 ．
17．某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算.
18．已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
19．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的．
请根据以上素材，解答下列问题：
（1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式；
（3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
20．完成下列各题：
（1）如图，已知在中，，，，连接，请判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由：
（2）如图，已知在中，，，，连接，请直接写出的值为_______；
（3）①如图，已知，，，，请直接写出的长为_______；
②如图，中， ，，是平面内一点，，，请直接写出线段的最大值为_____
（4）【性质应用】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，，求长为______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、3，4，5满足的三个正整数，是勾股数，符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、1，1，中的不是整数，三个数不是勾股数，不符合题意；
D、不等于，13，14，15不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
【分析】根据勾股数的定义，结合勾股定理逆定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】有理数的概念；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：、的平方根是和，原选项说法错误，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、整数和分数统称为有理数，原选项说法错误，不符合题意；
、是有理数，原选项说法正确，符合题意；
故选：．
【分析】根据平方根的定义，有理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据题意，建立直角坐标系如下：
可得“兵”的坐标为，
故选：C．
【分析】根据帅的位置建立直角坐标系，再根据兵的位置求出坐标即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：直角三角形中，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得，
∴，
∵方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】本题先将方程组中的两个方程相加并变形得到，然后结合条件得到关于k的一元一次方程，最后解方程求k即可。
6．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】关于y轴对称点坐标的特征：纵坐标相同、横坐标互为相反数，据此解答即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，此选项错误；
B、3 ﹣2 = ，此选项错误；
C、2+ 不能合并，此选项错误；
D、a ﹣b =（a﹣b） ，此选项正确．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式的加减法计算方法逐一计算比较得出答案即可．
8．【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
；
故每四个点一个循环，
∵的友好点是，，
∴的友好点是；
故选A．
【分析】根据“友好点”的定义求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求解即可.
10．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A，点B与点A关于y轴对称，
∴B，
∴A、B两点之间的距离是，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B，再根据两点间距离即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴代数式，
故答案为：．
【分析】为了是表达式有意义，被开方数必须是非负数，需要根据x的值确定其具体形式，通过确定x和y的值求解即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】当直线在直线的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴AB⊥CE，
∵， ， ，
∴，
∵，
∴，
∴CE=，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直线平行性质可得，由折叠得：，根据角之间的关系可得AB⊥CE，根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CE，再根据余弦定义即可求出答案.
14．【答案】解：（1），
，
，
解得；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）根据开立方求未知量即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，二次根式的混合运算化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴
；
（2）解：当，时，原式．
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置关系可得，，根据有理数的加法，减法可得，，，再根据二次根式性质化简计算即可求出答案.
（2）将a，b值代入即可求出答案.
（1）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴
；
（2）解：当，时，原式．
16．【答案】（1）解：如图，即为所求
的坐标为．
（2）6；
（3）解：连接，交轴于点，连接，
此时满足的值最小，
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：的面积为．
由勾股定理得，，
设边上的高为，
则，
解得．
故答案为：6；．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积可得的面积。根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小，结合勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求
的坐标为．
故答案为：．
（2）解：的面积为．
由勾股定理得，，
设边上的高为，
则，
解得．
故答案为：6；．
（3）解：连接，交轴于点，连接，
此时满足的值最小，
故答案为：．
17．【答案】解：（1）选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：
选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：
（2）根据题意，分别求出A（0，150）、B（15，300）、C（45，600）
∴当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（2）由题意可得A（0，150）、B（15，300）、C（45，600），结合函数图象即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将分数进行分母有理化，根据二次根式的减法，乘法可得x-y，xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）估算无理数的范围可得m，n，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴．
19．【答案】（1）图见解析，；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
【分析】（1）根据描点法作出函数图象，根据图象可知，变量、满足一次函数关系，设、为常数，且，根据待定系数法将，和，代入解析式可得，结合题意即可求出答案.
（2）根据题意含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可.
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可．
20．【答案】（1）解：，，理由如下：
如图，设相交于点，相交于点，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）113
（3）①；②
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：连接，设交于点，如图，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，，
∴，
∴，
同理（）可证，
∴，
故答案为：；
②过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最大值为，
故答案为：；
（4）解：设相交于点，相交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）设相交于点，相交于点，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，设交于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）①过点在上方作，且，分别连接，根据勾股定理可得BD，根据角之间的关系可得∠DBC，再根据勾股定理可得CD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点在上方作，且，分别连接，根据勾股定理可得DE，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）设相交于点，相交于点，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，根据勾股定理可得BC，BG，再根据相似三角形判定定理及性质可得，，根据边之间的关系可得GN，EN，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，，理由如下：
如图，设相交于点，相交于点，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，设交于点，如图，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，，
∴，
∴，
同理（）可证，
∴，
故答案为：；
②过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最大值为，
故答案为：；
（4）解：设相交于点，相交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
1 / 1广东省深圳亚迪学校2024-2025学年八年级数学上学期期中考试试卷
1．下列各组数据是勾股数的一组是（　　）
A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5
C．1，1， D．13，14，15
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、3，4，5满足的三个正整数，是勾股数，符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、1，1，中的不是整数，三个数不是勾股数，不符合题意；
D、不等于，13，14，15不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
【分析】根据勾股数的定义，结合勾股定理逆定理即可求出答案.
2．下列说法中正确的是（　　）
A．的平方根是和 B．的平方根是
C．有理数都是有限小数 D．是有理数
【答案】D
【知识点】有理数的概念；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：、的平方根是和，原选项说法错误，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
、整数和分数统称为有理数，原选项说法错误，不符合题意；
、是有理数，原选项说法正确，符合题意；
故选：．
【分析】根据平方根的定义，有理数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-2，-1），“馬”位于点（1，-1），则“兵”位于点（　　）
A．（-4，3） B．（-2， -1） C．（-4，2） D．（1， -2）
【答案】C
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据题意，建立直角坐标系如下：
可得“兵”的坐标为，
故选：C．
【分析】根据帅的位置建立直角坐标系，再根据兵的位置求出坐标即可求出答案.
4．如图，直角三角形中，，分别以为直径向上作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：直角三角形中，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
5．已知方程组的解满足，则k的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得，
∴，
∵方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：D．
【分析】本题先将方程组中的两个方程相加并变形得到，然后结合条件得到关于k的一元一次方程，最后解方程求k即可。
6．若点A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵A（a，－l），与点B（4，b）关于y轴对称，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】关于y轴对称点坐标的特征：纵坐标相同、横坐标互为相反数，据此解答即可.
7．下列运算正确的是（　　）
A． + = B．3 ﹣2 =1
C．2+ =2 D．a ﹣b =（a﹣b）
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，此选项错误；
B、3 ﹣2 = ，此选项错误；
C、2+ 不能合并，此选项错误；
D、a ﹣b =（a﹣b） ，此选项正确．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式的加减法计算方法逐一计算比较得出答案即可．
8．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意，的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
的坐标为，即：；
；
故每四个点一个循环，
∵的友好点是，，
∴的友好点是；
故选A．
【分析】根据“友好点”的定义求出前几个点的坐标，总结规律即可求出答案.
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求解即可.
10．平面直角坐标系内一点A ，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A，点B与点A关于y轴对称，
∴B，
∴A、B两点之间的距离是，
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得B，再根据两点间距离即可求出答案.
11．若，则代数式　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴代数式，
故答案为：．
【分析】为了是表达式有意义，被开方数必须是非负数，需要根据x的值确定其具体形式，通过确定x和y的值求解即可.
12．如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知，时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】当直线在直线的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
13．如图，在中，， ， ，点 在 上，将 沿 折叠，点落在点处，与 相交于点 ，若，则的长是　 　.
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴，
∴AB⊥CE，
∵， ， ，
∴，
∵，
∴，
∴CE=，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据直线平行性质可得，由折叠得：，根据角之间的关系可得AB⊥CE，根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CE，再根据余弦定义即可求出答案.
14．（1）解方程：；
（2）计算：；
【答案】解：（1），
，
，
解得；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）根据开立方求未知量即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，二次根式的混合运算化简，再计算加减即可求出答案.
15．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
（1）化简M；
（2）当，时，求M的值．
【答案】（1）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴
；
（2）解：当，时，原式．
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简；有理数的减法法则；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】（1）根据数轴上点的位置关系可得，，根据有理数的加法，减法可得，，，再根据二次根式性质化简计算即可求出答案.
（2）将a，b值代入即可求出答案.
（1）解：由数轴可得：，，
∴，，，
∴
；
（2）解：当，时，原式．
16．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的，写出的坐标 ；
（2）计算：的面积是 ，边上的高是 ；
（3）若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请画出点P，并直接写出的值为 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求
的坐标为．
（2）6；
（3）解：连接，交轴于点，连接，
此时满足的值最小，
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：的面积为．
由勾股定理得，，
设边上的高为，
则，
解得．
故答案为：6；．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积可得的面积。根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小，结合勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求
的坐标为．
故答案为：．
（2）解：的面积为．
由勾股定理得，，
设边上的高为，
则，
解得．
故答案为：6；．
（3）解：连接，交轴于点，连接，
此时满足的值最小，
故答案为：．
17．某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算.
【答案】解：（1）选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：
选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：
（2）根据题意，分别求出A（0，150）、B（15，300）、C（45，600）
∴当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（2）由题意可得A（0，150）、B（15，300）、C（45，600），结合函数图象即可求出答案.
18．已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用；分母有理化；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）将分数进行分母有理化，根据二次根式的减法，乘法可得x-y，xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）估算无理数的范围可得m，n，再代入代数式即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，即：，
∴，，
∴．
19．综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的．
请根据以上素材，解答下列问题：
（1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式；
（3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【答案】（1）图见解析，；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
【分析】（1）根据描点法作出函数图象，根据图象可知，变量、满足一次函数关系，设、为常数，且，根据待定系数法将，和，代入解析式可得，结合题意即可求出答案.
（2）根据题意含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可.
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可．
20．完成下列各题：
（1）如图，已知在中，，，，连接，请判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由：
（2）如图，已知在中，，，，连接，请直接写出的值为_______；
（3）①如图，已知，，，，请直接写出的长为_______；
②如图，中， ，，是平面内一点，，，请直接写出线段的最大值为_____
（4）【性质应用】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，，求长为______．
【答案】（1）解：，，理由如下：
如图，设相交于点，相交于点，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）113
（3）①；②
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：连接，设交于点，如图，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，，
∴，
∴，
同理（）可证，
∴，
故答案为：；
②过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最大值为，
故答案为：；
（4）解：设相交于点，相交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）设相交于点，相交于点，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，设交于点，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）①过点在上方作，且，分别连接，根据勾股定理可得BD，根据角之间的关系可得∠DBC，再根据勾股定理可得CD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②过点在上方作，且，分别连接，根据勾股定理可得DE，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）设相交于点，相交于点，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，根据勾股定理可得BC，BG，再根据相似三角形判定定理及性质可得，，根据边之间的关系可得GN，EN，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，，理由如下：
如图，设相交于点，相交于点，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，设交于点，如图，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，，
∴，
∴，
同理（）可证，
∴，
故答案为：；
②过点在上方作，且，分别连接，如图，
则，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最大值为，
故答案为：；
（4）解：设相交于点，相交于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
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