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威远中学校 2027 届高三上第二次学情检测
数学
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共58分)
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）．
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知角 的始边在 的非负半轴，终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
3．若命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．命题 ： ，命题 ： ，若命题 的必要不充分条件是 ，则 的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
7.已知 且 ，函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，将函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，
得到的曲线仍是函数图象，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）．
9．幂函数 （ 为常数），则（ ）.
A．当 时， 是奇函数 B． 的图象过定点
C．当 时， 的值域为 D．若 ，则
10．若函数 是定义域为 的奇函数，且 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于点 中心对称
D．
11．已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，其中 ，则（ ）
A． B．存在实数 ，使得 ， ， 成等差数列
C． 的取值范围为 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大共 3小题 ，每小题 5分,满分 15分）．
12．在 的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）
13．已知函数 为奇函数，当 时， ，则 时， _________；
14．已知函数 ，若函数 有 8个不
同的零点，则实数 a 的取值范围是_____________.
四、解答题（本题共计 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15．从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时
间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀
分布）；
(2)设 为 1件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365天的概率估计值．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）该厂向某用户销售 100件这种电子产品，记 X为这 100件电子产品中首次出现故障
的时间小于 365天的件数，假设 ，求 ， ．
16．已知 ．
（1）求最小正周期；
（2）若 ，求 的最大值和最小值；
（3）若 ， ，求 ．
17．已知数列 满足 ，且 .
(1)证明：数列 为等比数列；并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18．设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
19.若存在正实数 ，对任意 ，使得 ，则称函数 在 上是一
个“ 函数”．
（1）已知函数 在区间 上是一个“ 函数”，求 ；
（2）判断函数 在区间 上是否一个“ 函数”并说明理由；
（3）证明：
．
威远中学校 2027 届高三上第二次学情检测
数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C A A D D C ABC BCD ABD
二、填空题
12. 24 13. 14.
三、解答题
15.解（1）由直方图可知， 的频率为 ，
的频率为 ，
故第一四分位数在 上，设为 ，则 ，解得 ；
的频率为 ，
的频率为 ，
故中位数在 上，设为 ，则 ，解得 .
故第一四分位数为 370，中位数为 381；.......................................................5分
（2）由直方图可知，小于 365天的频率为 ，
故 ，.......................................................................................................9分
根据二项分布的期望和方差公式，
， ...............................13分
16解（1） ；..........................................................................5分
（2）若 ，则 ，
由正弦函数性质可知，当 ，即 时，函数 有最小值，即
，
当 ，即 时，函数 有最大值，即 .
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；..............................10分
（3）若 ， ，所以 ，
则 ， ，..................12分
.15分
17. 解(Ⅰ)
∴ 为等比数列........................................................6分
∴ ......................................................8分
(Ⅱ) ， ................12分
∴
.............15 分
18.解（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，则 ，解得 ，
所以 .............................................................................................4分
（2）由（1）得 ，则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或
；所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和
............................................................................................10分
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调
递增；所以 在 上有一个极小值点；..................................12分
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单
调递减；所以 在 上有一个极大值点；..................................14分
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则
单调递增；所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；............................................................16分
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个
极值点............................................................................................................17分
19.解 1）由 在区间 上是一个“ 函数”，所以任意 ， 恒
成立，即 ，令 ， ，则 ， ，
要使 恒成立，则 ，可得 ； .................................. 4分
(2)要证 在区间 上是一个“ 函数”，
需证 时， ，证明如下：
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，且 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，所以 ，即
，
令 ， ，则 ，令 ，则
，
或 时， ，即 在 、 上单调递增；
时， ，即 在 上单调递减；又 ， ，
，当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，所以 ，即
，
综上， ，故结论得证； ..............................................10分
(3)当 ，则 ，由（2）知 且 ，故 ，
所以 ，即 有 ，令 ，则 ，有
，
所以
，得证.
..........................................................................................................................................
17分

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