资源简介

2　法拉第电磁感应定律
基础过关练
题组一　利用E=n求感应电动势
1.[多选题]匝数为10的矩形线圈在匀强磁场中匀速转动,转轴垂直于磁场,若穿过线圈的磁通量随时间变化的规律如图所示(正弦函数图像),则0~t3时间内(　　)
A.0时刻线圈中感应电动势最大
B.t3时刻线圈中感应电动势最大
C.线圈中的平均感应电动势大小为0.4 V
D.线圈中的平均感应电动势大小为4 V
2.[2026江苏无锡期中]如图所示,半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度B随时间t的变化关系为B=B0-kt (T),B0、k为常量,k>0,则图中半径为R的n匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为(　　)
A.πkr2　　B.nπkr2　　C.nπB0r2　　D.πB0R2
3.[2026河北邢台卓越联盟联考]如图甲所示,半径为 m的单匝圆环由硬质细导线构成,垂直圆环面的磁场充满圆环的内接正方形,磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示,则t=0.6 s时圆环中的感应电动势大小为(　　)
　
A.0　　　B.2π V　　　C.2 V　　　D.1 V
4.[创新题·新情境][2026重庆检测]经颅磁刺激是一种无创伤、非侵入性的神经调控治疗技术,其原理如图1所示,大脑皮层中一面积为S的单匝圆形回路中通有脉冲磁场,其磁感应强度B随时间t变化的规律如图2所示(B0、t0已知),穿过该回路的磁场视为均匀且磁感应强度方向与回路所在平面的夹角为θ(0°<θ<45°)。则0~t0时间段内,该回路中的平均感应电动势大小为(　　)
　　
A.　　　　　　　 B.
C.　　　　　　　 D.
5.[2026浙江杭州第二中学、学军中学、温州中学等校联考]如图甲所示,形成拓扑结构的莫比乌斯环,连接后,纸环边缘的铜丝形成闭合回路,纸环围合部分可近似看作半径为R的扁平圆柱。现有一匀强磁场从圆柱中心区域垂直其底面穿过,磁场区域的边界是半径为r的圆(r　　
A.0　　　　　　　B.
C.　　　　　　　D.
题组二　利用E=BLv求感应电动势
6.[教材习题改编]如图所示,在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,将一水平放置的长为l的金属棒ab以某一水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平。不计空气阻力,关于金属棒在运动过程中产生的感应电动势,下列判断正确的是(　　)
A.ab棒不会产生电动势
B.ab棒产生的电动势越来越大
C.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势低于b端电势
D.ab棒产生的电动势保持不变,且a端电势高于b端电势
7.[2026湖北十堰联考]光滑平行金属导轨固定在水平桌面上,两导轨间通有竖直向下的匀强磁场,导轨左端连接着一个定值电阻。甲、乙、丙、丁四根足够长的导体棒在导轨上均以大小为v0的速度做匀速直线运动,速度方向如图所示,则产生的感应电动势最大的是(　　)
A.丁
B.丙
C.乙
D.可能是丙也可能是丁
8.[多选题][2026安徽合肥第一中学月考]如图所示,由互相垂直的两部分组成的导体棒放置在竖直平面内,两端点a、c的竖直高度差为L,ab段与水平方向的夹角为θ,bc段的长度为d,空间存在磁感应强度大小为B、垂直纸面向里的匀强磁场。现让导体棒以与磁场垂直的速度v0运动,下列说法正确的是(　　)
A.若v0沿水平方向,导体棒产生的电动势为BLv0
B.若v0与ab平行,导体棒产生的电动势为Bdv0
C.若v0与ab垂直,导体棒产生的电动势为B(L-d cos θ)v0
D.若v0竖直向上,则导体棒产生的电动势为0
题组三　利用E=BL2ω求感应电动势
9.[2026浙江湖州期末]如图所示,一长为L的导体棒ab在磁感应强度为B的匀强磁场中绕b端以角速度ω在垂直于磁场的平面内匀速转动,则ab两端产生的感应电动势大小为(　　)
A.　　　B.BL2ω　　　C.　　　D.0
10.[2026河北衡水中学期中]如图所示,导体AB的长为6R,绕O点以角速度ω匀速转动,OB长为R,且O、B、A三点在一条直线上,有一磁感应强度为B的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直(图中未画出),导体AB产生的感应电动势大小为(　　)
A.BωR2　　　　　　　B.12BωR2
C.18BωR2　　　　　　　D.24BωR2
11.[多选题][2026福建福州闽侯第一中学月考]如图所示,长为L的轻金属软导线下悬挂一质量为m的小球,在竖直向上的匀强磁场中做圆锥摆运动,导线与竖直方向的夹角为θ,磁感应强度为B,重力加速度为g,则(　　)
A.摆球转动的角速度为ω=
B.摆球转动的角速度为ω=
C.金属导线中产生的感应电动势的大小E=BL2 sin2 θ
D.金属导线中产生的感应电动势的大小E=BL sin2 θ
能力提升练
题组一　感应电荷量的计算
1.[2026江西宜春期末]如图(俯视图),光滑水平面上有一个匀质金属圆环,直线边界线右侧有一竖直向下且足够大的匀强磁场,圆环从边界线左侧以初速度v0垂直边界线向右进入匀强磁场,圆环完全进入磁场后恰好静止。若仅将圆环半径变为原来的2倍,单位长度的质量和电阻均不变,改变初速度后以同样方式进入磁场,圆环完全进入磁场后仍恰好静止,则圆环中通过某一横截面的电荷量与半径改变前圆环中通过某一横截面的电荷量之比为(　　)
A.1∶1　　　B.2∶1　　　C.4∶1　　　D.8∶1
2.[2025广东深圳高三联考]如图所示,两根间距为1 m的平行光滑“匚”形导轨与水平面成30°角,磁感应强度大小为1 T的磁场垂直导轨平面向上。现将一导体棒垂直于导轨静止释放,其接入电路的电阻为1 Ω,经过2 s后达到最大速度2 m/s。导轨足够长且电阻忽略不计,取重力加速度g=10 m/s2,此过程通过导体棒的电荷量为(　　)
A.2.4 C　　　B.3.2 C　　　C.4.0 C　　　D.4.8 C
3.[2026江苏南京第二十九中学月考]如图所示,在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中,有一面积为S的n匝闭合矩形金属线框abcd,电阻为R,用绝缘轻质细杆将其悬挂在O点,并可绕O点左右摆动。现让金属线框从图示右侧位置1由静止释放,摆动到左侧位置3的过程中,细杆和金属线框平面始终处于同一平面,且金属线框始终垂直纸面,图中金属线框位于位置1时,它与竖直方向的夹角为45°,金属线框位于位置3时,它与竖直方向的夹角为30°,线框从位置1摆到位置3的过程中,通过导线横截面的电荷量为(　　)
A.　　　　　　　B.
C.　　　　　　　D.
4.[2026四川雅安期末]如图甲所示,MNPQ为正方形闭合线圈,E、F分别为MN、PQ的中点,线圈边长L=0.5 m、匝数N=100匝、总电阻R=2 Ω。线圈左半部分置于垂直线圈平面向外的磁场中,磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。0~2 s,线圈保持静止;t=2 s时,线圈开始向右运动并最终离开磁场。求:
　
(1)t=0.5 s时,线圈中感应电流的大小及方向;
(2)t=1 s时,线圈受到的安培力大小;
(3)线圈离开磁场过程中,通过导线某横截面的电荷量。
题组二　电势高低的判断及电势差的计算
5.[2026江苏南京一模]如图所示,两个完全相同的半圆形金属导轨竖直正对放置,内侧导轨接地,金属棒AB垂直两导轨水平放置,其长度与两导轨间距相等,空间存在竖直向下的匀强磁场(未画出)。在金属棒从MN向PQ做匀速圆周运动的过程中,其上A点的电势φA(　　)
A.保持不变　　　　　　　B.先降低再升高
C.先升高再降低　　　　　　　D.一直降低
6.[2026辽宁协作体联考]如图所示,一个直角三角形单匝导体线框OAC在范围足够大的磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕过O点且垂直于纸面的轴以角速度ω在纸面内顺时针匀速转动,已知边AO=L,∠C=30°,∠O=90°,用φO、φA、φC分别表示O、A、C三点的电势,则下列说法正确的是(　　)
A.φO>φA,回路无电流　　　　　　　B.φO<φC,回路有电流
C.φC-φA=BL2ω　　　　　　　D.φC-φA=BL2ω
7.[多选题][2026河北石家庄期末]如图所示,一硬质导线框Oabc,其中是半径为R的半圆弧,b为圆弧的中点,直线段Oa长为R且垂直于直径ac。导线框处在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中,现导线框在纸面内绕O点以角速度ω逆时针匀速转动。下列说法正确的是(　　)
A.感应电流的方向是O→a→b→c→O
B.b、c两点的电势相等
C.a、c两点的电势差为2BωR2
D.a、O两点的电势差为BωR2
8.[2026山西阳泉期末]如图所示,由均匀导线制成的半径为R的圆环,以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有界匀强磁场。当圆环运动到图示位置(∠MON=90°)时,M、N两点的电势差UMN为(　　)
A.-BRv　　　　　　　B.-BRv
C.-BRv　　　　　　　D.BRv
9.[2026陕西西安期末]如图所示,在一磁感应强度为B的匀强磁场中,垂直于磁场方向水平放置着两根相距为L的平行金属导轨MN和PQ,导轨电阻忽略不计,在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值为R的电阻。导轨上跨放着一根长为2L、总电阻为R的金属棒,金属棒两端点分别为a、b,金属棒与导轨垂直放置,交点分别为c、d,当金属棒在水平拉力作用下以速度v向左做匀速运动时,金属棒a、b两端点间的电势差为(　　)
A.BLv　　　B.BLv　　　C.BLv　　　D.2BLv
创新题型
创新点　线圈结构的创新和电动势叠加
10.[2026湖北襄阳期末]如图甲为智能手表内的无线充电接收器结构简图,它由两个半径分别为2 cm、1 cm的同心金属圆线圈连接而成,金属圆线圈的电阻忽略不计。线圈在纸面内,在线圈所在空间内施加垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出),磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示(垂直于纸面向外为正),π取3,则e、f间的电势差Uef为(　　)
　
A.0.27 V　　　　　　　　B.0.45 V
C.-0.27 V　　　　　　　　D.-0.45 V
答案与分层梯度式解析
2　法拉第电磁感应定律
基础过关练
1.AD 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C
7.B 8.AB 9.A 10.D 11.AC
1.AD　图像上某点切线的斜率表示磁通量的变化率,由题图可知,0时刻对应切线的斜率最大,t3时刻对应切线的斜率为0,根据法拉第电磁感应定律有E=n,故0时刻线圈中感应电动势最大,t3时刻感应电动势为0,A正确,B错误;0至t3时间内,根据法拉第电磁感应定律,线圈中的平均感应电动势大小E=n=10×=4 V,C错误,D正确。
2.B　由题意可知磁感应强度的变化率大小为=k,磁通量大小等于磁感应强度大小与有效面积的乘积,根据法拉第电磁感应定律可知E===πnkr2,B正确。
易错警示
本题易错在于:①误将线圈面积当作磁通量计算的有效面积,需注意磁通量由线圈中磁场区域的面积决定,而非线圈自身面积;②计算感应电动势时不能漏乘匝数,一定避免因面积或匝数处理错误导致结果错误。
3.D　
题图解读
圆环中的感应电动势E==S,其中S=(R)2=1 m2,= T/s=1 T/s,解得E=1 V,D正确。
方法技巧
(1)=·S,其中为Φ-t图像切线的斜率的绝对值,为B-t图像切线的斜率的绝对值。
(2)根据E=n=n·S计算电动势大小时,ΔΦ、ΔB取绝对值,不涉及正、负。
4.B　t=0时刻,通过回路的磁通量为零;t=t0时刻,通过回路的磁通量为B0S sin θ,由法拉第电磁感应定律可知,0~t0时间段内,该回路中的平均感应电动势大小E==,B正确。
5.C　
模型建构
由题意可知,铜丝构成的莫比乌斯环形成了两匝(n=2)线圈串联的闭合回路,穿过回路的磁场有效面积为S=πr2,根据法拉第电磁感应定律可知,回路中产生的感应电动势大小为E=n=n=,C正确。
易错警示
本题易误判回路匝数与有效面积,需注意莫比乌斯环等效为两匝线圈串联,磁场仅穿过半径为r的区域,有效面积取该圆面积,不能用回路自身面积,且匝数为2,避免漏乘匝数或错用面积导致计算错误。
6.C　将金属棒ab以水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平,由右手定则可知a端电势低于b端电势。金属棒做平抛运动,水平方向速度不变(破题关键),金属棒产生的电动势E=Blv0,保持不变。故选C。
7.B　设两导轨间距为d,根据E=Blv可知,甲、乙、丁切割磁感线的有效长度l1=d(破题关键),产生的感应电动势均为Bdv0,丙满足磁场、速度和导体棒相互垂直,导体棒的有效长度为l2=(破题关键),其中θ为导体棒与导轨间的夹角,则产生的感应电动势为E=,所以感应电动势最大的是丙,B正确。
易错警示
各类切割情境中的有效长度
　　
8.AB　
模型建构
四种切割情境中的有效切割长度(图中蓝线长度)
若v0沿水平方向,导体棒切割磁感线的有效长度为L,导体棒产生的电动势为BLv0,A正确;若v0与ab平行,则导体棒切割磁感线的有效长度为bc段的长度d,导体棒产生的电动势为Bdv0,B正确;若v0与ab垂直,则导体棒切割磁感线的有效长度为ab段的长度Lab,由几何关系可得Lab=,导体棒产生的电动势为,C错误;若v0竖直向上,则导体棒切割磁感线的有效长度为a、c两点沿水平方向的距离,此距离不为0,则导体棒产生的电动势不为0,D错误。
9.A　ab两端产生的感应电动势E=BL,因为=ω·,联立解得E=BL2ω,A正确。
10.D　
模型建构
导体AB产生的感应电动势的大小为E=B×6R×=B×6R×=24BR2ω,D正确。
一题多解
ΔS=·π(7R)2-·πR2=24θR2
θ=ω·Δt
ΔS=24R2ω·Δt
E==·B=24BR2ω
11.AC　由牛顿第二定律得mg tan θ=mrω2,又r=L sin θ,联立解得ω=,A正确,B错误;导线在磁场中转动,旋转切割磁感线,但导线本身与磁场不垂直,应该考虑切割的有效长度,导线切割磁感线的有效长度为L'=L sin θ(点拨:取垂直磁场的投影长度),则导线中产生的电动势大小E=BL'2ω=BL2 sin2 θ,C正确,D错误。
能力提升练
1.B 2.B 3.A 5.B 6.C 7.BC
8.A 9.A 10.B
1.B　设圆环单位长度的电阻为ρ,圆环周长L=2πr,电阻R=ρL=2πρr,圆环在进入磁场的过程中,根据E=,I=,q=I·Δt,解得q=,磁通量从0增加到Φm=B·πr2,所以q==,可知q∝r,所以q2∶q1=2∶1,B正确。
2.B　导体棒达到最大速度时,受力平衡,有mg sin 30°=,解得导体棒的质量为m=0.4 kg,根据动量定理有mg sin 30°·t-BLt=mv,且q=t(解题技法),解得通过导体棒的电荷量为q=3.2 C,故选B。
规律总结
电磁感应中电荷量的计算
　　(1)由于q=Δt,且==n,因此q=Δt=Δt=n。
(2)导体棒或金属框在安培力作用下做非匀变速直线运动时,安培力的冲量大小I安=LB·Δt,由于q=Δt,因此I安=LB·Δt=BL·q,得出q=。
3.A　位于位置1时,线框在磁场中的有效面积为S1=S sin 45°=S,位于位置3时,线框在磁场中的有效面积为S2=S sin 30°=S,规定从位置1穿过线框的磁通量为正,则有Φ1=BS1=BS,Φ2=-BS2=-BS(易错点),磁通量变化量的大小ΔΦ=,根据法拉第电磁感应定律可得平均电动势=n,平均感应电流==n,又因为q=·Δt,整理可得q=n=,A正确。
名师点津
(1)磁通量计算要抓“垂直投影”:线框与磁场方向不垂直时,磁通量由垂直磁场方向的有效面积决定。
(2)磁通量变化量要注意方向:本题线框从一侧摆到另一侧时,穿过线框的磁感线方向会反向,磁通量的初末值符号相反,计算变化量大小时要取绝对值相加,而非直接相减。
4.答案　(1)1.25 A　逆时针　(2)31.25 N
(3)1.875 C
解析　(1)t=0.5 s时,= T/s=0.2 T/s
线圈中感应电动势E1=NS=100×0.2××0.52 V=2.5 V(点拨:电动势计算需乘线圈匝数)
感应电流I1== A=1.25 A
根据楞次定律和安培定则可知,感应电流的方向为逆时针方向。
(2)t=1 s时,B1=0.5 T,线圈受到的安培力大小F=NB1I1L=100×0.5×1.25×0.5 N=31.25 N(点拨:安培力计算需乘线圈匝数)
(3)线圈离开磁场过程中,通过导线某横截面的电荷量q=Δt=Δt=== C=1.875 C
易错警示
本题易误将线圈全部面积当作有效面积,实际只有左半部分处于磁场中,磁通量计算需取一半面积;安培力计算时,要考虑匝数,这是很多同学容易出错的地方。
5.B　
模型建构
因为内侧导轨接地,所以φB=0,金属棒AB在轨道左侧下滑时,速度的水平分量vx增大,由右手定则得φB>φA,而UBA=E=BLvx(破题关键),又UBA=φB-φA=0-φA,故φA先降低;金属棒AB在轨道右侧上滑时,速度的水平分量vx减小,UBA减小,则φA升高,B正确。
6.C　设O点的电势为零,根据右手定则可知,φO<φA,φO<φC,穿过回路的磁通量不变,则无感应电流,A、B错误;因UAO=BL=BωL2,UCO=B(L)2ω=BL2ω,可得φC-φA=UCO-UAO=BL2ω(点拨:UCO=φC-φO,UAO=φA-φO),C正确,D错误。
易错警示
本题易误判线框转动会产生感应电流,忽略匀强磁场中闭合回路磁通量不变、无感应电流;也易混淆导体棒转动切割磁感线的电势高低与电势差计算,导致求φC-φA时无从下手。
7.BC　
题图解读
由于转动过程,穿过导线框的磁通量保持不变,所以导线框中不产生感应电流,A错误;b、c两点到O点的距离相等,根据U=Bl2ω可知,b、c两点的电势相等,B正确;根据右手定则可知,线框转动过程中,O点电势最高,根据法拉第电磁感应定律有UOa=BR2ω,UOc=B[]2ω=BR2ω,则a、c两点的电势差为Uac=UOc-UOa=2BωR2,C正确;UaO=-BR2ω,D错误。
8.A　
9.A　金属棒a、b两端点间的电势差为Uac、Ucd、Udb之和,即Uab=Uac+Udb+Ucd(点拨:Ucd指路端电压或R两端电压),Uac+Udb=BLv,金属棒的总电阻为R,但接入电路的阻值为,所以Ucd=IR=·R=BLv,所以Uab=BLv,A正确。
10.B　
关键点拨
(1)模型拆解:双线圈叠加题目中的同心双线圈可拆解为两个独立的单匝圆形线圈,磁场同时穿过两个线圈,需分别计算各自的感应电动势。
(2)电动势方向判断:根据楞次定律和安培定则可知,两个线圈感应电流方向相同,且电流在回路中同向流动,因此两个线圈的感应电动势同向叠加,而非抵消。
(3)有效面积的选取:计算感应电动势时,磁场是充满整个区域的,因此两个线圈的有效面积分别取各自的圆面积。
(4)极性判断:电流从电源正极流出,本题中感应电流从e端流出,因此e端为等效电源的正极,Uef为正值。
根据楞次定律和安培定则可知,若将图甲看成一大一小两个圆形线圈,那么在小圆线圈中磁场变化时会感应出顺时针方向的电流;在大圆线圈中,也会感应出顺时针方向的电流,根据导线的排布可知两个电流方向一致,两个圆形线圈产生的感应电动势应相加。根据法拉第电磁感应定律,小圆线圈产生的感应电动势为E1=π·=0.09 V,大圆线圈产生的感应电动势为E2=π·=0.36 V,所以总电动势大小为E=E1+E2=0.45 V,根据电流方向可以判断出电流从e端流出,e端相当于电源正极,所以Uef=0.45 V,B正确。

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