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浙江省金华市四校2025-2026学年上学期期中联考九年级数学 试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．已知 则 的值为(　　)
A．2 B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是(　　)
A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．水涨船高
3．已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
4．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（　　）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
6．如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（　　）
A． B． C．平分 D．
7．如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（　　）
A． B．或 C．或 D．
9．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为(　　)
A． B． C． D．
10．已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线 的顶点坐标是　 　.
12．若边形的每一个外角都是，则　 　．
13．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　 　．
14．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为　 　.
15．如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
16．如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：．
18．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图．
（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；
（2）在图②中的线段上找一个点，使．
20．垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害．
（1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________．
（2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率．
21．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求直径的长．
22．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．
（1）求支柱的高；
（2）求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到)
23．设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值；
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由；
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
24．如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，求的度数；
（3）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：C .
【分析】把分式化为，然后代入计算即可.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5，
点在圆内．
故答案为：C．
【分析】根据点与圆的位置关系：若圆半径为，点到圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内解答即可．
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【分析】根据黄金分割率解题即可．
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意；
、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
故选：．
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。结合已知条件，依据上述判定定理逐一判断每个选项能否推出与相似.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD=2∠A=50°，再根据等弧所对的圆心角相等可得，由邻补角求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B的度数.
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，设与交于点，连接，
，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故答案为：B．
【分析】设旋转后与相切于点，连接， 设与交于点，连接， 由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠BDO=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出及同圆半径相等得出DE=OD=OE，由三边相等的三角形是等边三角形得出△DOE是等边三角形，则∠DEO=60°，由等边对等角及三角形外角性质则可求得；然后分点D在射线BC上方及下方两种情况，结合角的和差计算即可.
9．【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：画图如下，过点O作OH⊥AB于H，
由题意得：，，
∴，AH=BH.
∵，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】做简图，过点O作OH⊥AB于H，再根据等腰三角形的性质和锐角三角函数求解即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，有，
解得，，，
当或时，，
当时，的最小值为，最大值为，
结合图象可知，．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
11．【答案】(3， - 4)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(3，-4)，
故答案为：(3，-4).
【分析】根据抛物线 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵边形的每一个外角都是，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用多边形的外角和是解答即可．
13．【答案】8
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图根据题意可得
，
，
，
故答案为：8．
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOD∽△BOC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
14．【答案】
【知识点】概率公式；中心对称图形
【解析】【解答】解：卡片中，中心对称图形有圆、矩形，
根据概率公式，P(中心对称图形)
故答案为： 【分析】卡片共有四张，中心对称图形有圆、矩形，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，设与交于点，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是以的中点为圆心的圆，
∴，
在中，，
∴，
同理，，
∴，
∴
，
故答案为： ．
【分析】如图所示，设与交于点，过点作于点；由矩形性质得出∠A=∠ABC=90°，从而根据三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABGE是矩形，由矩形的对边相等得出EG=AB=，在Rt△OEG中，运用勾股定理算出OG，从而由等边对等角及三角形内角和定理得到，同理，由平角定义得出，最后由，代入计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点H，
∵，
∴设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
延长与，使二者交于点H。根据题目给出的线段比例关系，设，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到。由平行线的性质可推出，根据相似三角形对应边成比例，可得。
之后再次利用的平行关系，可以推出，同样根据相似三角形的性质得到，最后结合以上比例关系即可推导出的结果.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先直接代入特殊锐角三角函数值：sin30°=，tan45°=1，cos60°=，然后计算有理数乘法运算，最后计算有理数加减法运算得出答案.
18．【答案】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y-z=18，
∴4k+9k-4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，则x=2k，y=3k，z=4k，再将x、y、z的值代入2x+3y﹣z＝18，求出k的值，再计算即可。
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）确定点C右边的格点为G，连接CG与BG，利用网格特点及勾股定理得CG、BG、AC、BC、AB的长，然后根据三边成比例的三角形相似得出△BCG就是所求的满足条件得三角形；
（2）运用网格特征，确定点C左边四个单位长度处的格点为F，点A右边两个单位长度处的格点为T，连接FT交AC于点E，利用平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△AET∽△CEF，由相似三角形对应边成比例得出CE=2AE，从而可得点E就是所求的点.
（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
20．【答案】（1）
（2）解：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设一节废旧的电池（有害垃圾） 为a， 矿泉水空瓶（可回收垃圾） b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为，
故答案为：（1）；
【分析】（1）本题结合条件以及概率公式，即“概率=所求情况数与总情况数之比”，直接列式计算即可；
（2）分别用A，B，C，D表示可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图分析得出，一共有AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC，共12种情况，因为a是有害垃圾，因此投放到A是正确的，b是可回收垃圾，因此投放到C是正确的，即AC是正确的，只有1种情况，最后由概率公式列式即可得出答案．
（1）解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为，
故答案为：；
（2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，
设两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为．
21．【答案】（1）证明：连接，
为车轮的直径，与车轮相切于点，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由直径所对圆周角为直角得出，由角的构成及同角的余角相等得出∠BDC=ADO，再由等边对等角得出，利用等量代换即可得到结论；
（2）由等边对等角可得，由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等求得，由等角对等边及同圆半径相等求出，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程可求出OB的长，从而得出答案.
（1）证明：连接，
为车轮的直径，与车轮相切于点，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
22．【答案】（1）解：过点作，垂足为，
由题意可知，四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
支柱的高为．
（2）解：延长交与点，可得，
由题意可知，四边形是矩形，
，
．
，
在中，
，
，
，
顶棚处离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得出BM=AD=0.6，DM=AB=1.2，在中，由∠EBM的正切函数求出EM，从而根据DE=DM+ME可算出答案；
（2）延长交与点，可得，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DMNH是矩形，由矩形的对边相等得出MH=MD=1.2，在中，由∠FBN的正切函数求出FN，从而根据HF=FN+HN可算出答案．
（1）解：过点作，垂足为，
由题意可知，四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
支柱的高为．
（2）延长交与点，可得，
由题意可知，四边形是矩形，
，
．
，
在中，
，
，
，
顶棚处离地面的高度约为．
23．【答案】（1）解：把代入，把代入，得，
，
；
（2）解：，
，
函数与轴没有交点；
（3）解：
函数与轴的交点坐标为和
函数与轴的交点坐标为和
，即，
解得（舍）或
，．
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，将代入y1=(x+m)(x-n)，把和代入y2=-x2+mx-n，得到，，然后利用完全平方公式将待求式子变形为(m-n)2+2mn，从而整体代入计算可得答案；
（2）根据不等式性质可得m2＜4m，4m＜4n，再由不等式的传递性可得m2＜4n，最后求出y2=-x2+mx-n中△=b2-4ac的正负，即可判断其与x轴交点的个数；
（3）首先根据抛物线与x轴交点纵坐标为0求出y1与x轴交点坐标为和，然后根据y1与y2与x轴交点均相同及交点式得到，进而求解即可．
（1）解：把代入，把代入，得，
，
；
（2），
，
函数与轴没有交点；
（3）函数与轴的交点坐标为和
函数与轴的交点坐标为和
，即，解得（舍）或
，．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴若是等腰三角形，则或，
①当时，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
②当时，则，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
综上所述，若是等腰三角形，的度数为或．
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余得到，由同弧所对的圆周角相等得到，则，由直径所对圆周角为直角得出∠CAF=90°，再由直角三角形两锐角互余得到，由同角的余角相等得，从而利用有两组角相等的两个三角形相似得到△GAO∽△GCA；
（2）由垂径定理得，由等弧所对圆周角相等及（1）中结论可得，设，由三角形外角性质得出，由等边对等角及角的构成推出，从而分与时两种情况，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可；
（3）连接FD，用垂径定理得到，，进而由勾股定理算出AE的长，由等弧所对的弦相等得出AC=AD；设的半径为r，在Rt△COE中，利用勾股定理建立方程求得圆的半径，由直径所对圆周角为直角得出∠CDF=90°，在Rt△CDF中，利用勾股定理算出DF；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AB∥DF，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△GAO∽△GDF，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得出AG的长.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴若是等腰三角形，则或，
①当时，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
②当时，则，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
综上所述，若是等腰三角形，的度数为或．
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
1 / 1浙江省金华市四校2025-2026学年上学期期中联考九年级数学 试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．已知 则 的值为(　　)
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：C .
【分析】把分式化为，然后代入计算即可.
2．下列事件是必然事件的是(　　)
A．守株待兔 B．水中捞月 C．刻舟求剑 D．水涨船高
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
C、刻舟求剑是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意，
故答案为：D .
【分析】根据事件的分类逐一判断即可.
3．已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5，
点在圆内．
故答案为：C．
【分析】根据点与圆的位置关系：若圆半径为，点到圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内解答即可．
4．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与y轴的交点的横坐标为0，即x=0，
把x=0代入二次函数，得：y=-1，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（　　）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【分析】根据黄金分割率解题即可．
6．如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（　　）
A． B． C．平分 D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意；
、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
故选：．
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。结合已知条件，依据上述判定定理逐一判断每个选项能否推出与相似.
7．如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴弧BD=弧CD，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOD=2∠A=50°，再根据等弧所对的圆心角相等可得，由邻补角求出，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B的度数.
8．如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（　　）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，设与交于点，连接，
，即，
，
∴
∴是等边三角形，
则
又∵，
，
当点在射线上方时，
，
当点在射线下方时，同理可得
，
故答案为：B．
【分析】设旋转后与相切于点，连接， 设与交于点，连接， 由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠BDO=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出及同圆半径相等得出DE=OD=OE，由三边相等的三角形是等边三角形得出△DOE是等边三角形，则∠DEO=60°，由等边对等角及三角形外角性质则可求得；然后分点D在射线BC上方及下方两种情况，结合角的和差计算即可.
9．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：画图如下，过点O作OH⊥AB于H，
由题意得：，，
∴，AH=BH.
∵，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】做简图，过点O作OH⊥AB于H，再根据等腰三角形的性质和锐角三角函数求解即可．
10．已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，有，
解得，，，
当或时，，
当时，的最小值为，最大值为，
结合图象可知，．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线 的顶点坐标是　 　.
【答案】(3， - 4)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(3，-4)，
故答案为：(3，-4).
【分析】根据抛物线 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
12．若边形的每一个外角都是，则　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵边形的每一个外角都是，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用多边形的外角和是解答即可．
13．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是　 　．
【答案】8
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图根据题意可得
，
，
，
故答案为：8．
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△AOD∽△BOC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
14．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；中心对称图形
【解析】【解答】解：卡片中，中心对称图形有圆、矩形，
根据概率公式，P(中心对称图形)
故答案为： 【分析】卡片共有四张，中心对称图形有圆、矩形，根据概率公式即可得到卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率
15．如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，设与交于点，过点作于点，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是以的中点为圆心的圆，
∴，
在中，，
∴，
同理，，
∴，
∴
，
故答案为： ．
【分析】如图所示，设与交于点，过点作于点；由矩形性质得出∠A=∠ABC=90°，从而根据三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABGE是矩形，由矩形的对边相等得出EG=AB=，在Rt△OEG中，运用勾股定理算出OG，从而由等边对等角及三角形内角和定理得到，同理，由平角定义得出，最后由，代入计算即可求解．
16．如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点H，
∵，
∴设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
延长与，使二者交于点H。根据题目给出的线段比例关系，设，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可以得到。由平行线的性质可推出，根据相似三角形对应边成比例，可得。
之后再次利用的平行关系，可以推出，同样根据相似三角形的性质得到，最后结合以上比例关系即可推导出的结果.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先直接代入特殊锐角三角函数值：sin30°=，tan45°=1，cos60°=，然后计算有理数乘法运算，最后计算有理数加减法运算得出答案.
18．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【答案】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y-z=18，
∴4k+9k-4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设，则x=2k，y=3k，z=4k，再将x、y、z的值代入2x+3y﹣z＝18，求出k的值，再计算即可。
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图．
（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；
（2）在图②中的线段上找一个点，使．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
【知识点】作图﹣相似变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）确定点C右边的格点为G，连接CG与BG，利用网格特点及勾股定理得CG、BG、AC、BC、AB的长，然后根据三边成比例的三角形相似得出△BCG就是所求的满足条件得三角形；
（2）运用网格特征，确定点C左边四个单位长度处的格点为F，点A右边两个单位长度处的格点为T，连接FT交AC于点E，利用平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△AET∽△CEF，由相似三角形对应边成比例得出CE=2AE，从而可得点E就是所求的点.
（1）解：如图所示：
（2）解：在线段上找一个点，使，如图所示：
20．垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害．
（1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________．
（2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率．
【答案】（1）
（2）解：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设一节废旧的电池（有害垃圾） 为a， 矿泉水空瓶（可回收垃圾） b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为，
故答案为：（1）；
【分析】（1）本题结合条件以及概率公式，即“概率=所求情况数与总情况数之比”，直接列式计算即可；
（2）分别用A，B，C，D表示可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图分析得出，一共有AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC，共12种情况，因为a是有害垃圾，因此投放到A是正确的，b是可回收垃圾，因此投放到C是正确的，即AC是正确的，只有1种情况，最后由概率公式列式即可得出答案．
（1）解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为，
故答案为：；
（2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，
设两袋不同垃圾为a、b，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，
∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为．
21．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）证明：连接，
为车轮的直径，与车轮相切于点，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，由圆的切线垂直经过切点的半径得，由直径所对圆周角为直角得出，由角的构成及同角的余角相等得出∠BDC=ADO，再由等边对等角得出，利用等量代换即可得到结论；
（2）由等边对等角可得，由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等求得，由等角对等边及同圆半径相等求出，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程可求出OB的长，从而得出答案.
（1）证明：连接，
为车轮的直径，与车轮相切于点，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：，（不符合题意，舍去），
．
22．某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．
（1）求支柱的高；
（2）求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到)
【答案】（1）解：过点作，垂足为，
由题意可知，四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
支柱的高为．
（2）解：延长交与点，可得，
由题意可知，四边形是矩形，
，
．
，
在中，
，
，
，
顶棚处离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得出BM=AD=0.6，DM=AB=1.2，在中，由∠EBM的正切函数求出EM，从而根据DE=DM+ME可算出答案；
（2）延长交与点，可得，由三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DMNH是矩形，由矩形的对边相等得出MH=MD=1.2，在中，由∠FBN的正切函数求出FN，从而根据HF=FN+HN可算出答案．
（1）解：过点作，垂足为，
由题意可知，四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
支柱的高为．
（2）延长交与点，可得，
由题意可知，四边形是矩形，
，
．
，
在中，
，
，
，
顶棚处离地面的高度约为．
23．设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值；
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由；
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
【答案】（1）解：把代入，把代入，得，
，
；
（2）解：，
，
函数与轴没有交点；
（3）解：
函数与轴的交点坐标为和
函数与轴的交点坐标为和
，即，
解得（舍）或
，．
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，将代入y1=(x+m)(x-n)，把和代入y2=-x2+mx-n，得到，，然后利用完全平方公式将待求式子变形为(m-n)2+2mn，从而整体代入计算可得答案；
（2）根据不等式性质可得m2＜4m，4m＜4n，再由不等式的传递性可得m2＜4n，最后求出y2=-x2+mx-n中△=b2-4ac的正负，即可判断其与x轴交点的个数；
（3）首先根据抛物线与x轴交点纵坐标为0求出y1与x轴交点坐标为和，然后根据y1与y2与x轴交点均相同及交点式得到，进而求解即可．
（1）解：把代入，把代入，得，
，
；
（2），
，
函数与轴没有交点；
（3）函数与轴的交点坐标为和
函数与轴的交点坐标为和
，即，解得（舍）或
，．
24．如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，求的度数；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴若是等腰三角形，则或，
①当时，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
②当时，则，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
综上所述，若是等腰三角形，的度数为或．
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；分类讨论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余得到，由同弧所对的圆周角相等得到，则，由直径所对圆周角为直角得出∠CAF=90°，再由直角三角形两锐角互余得到，由同角的余角相等得，从而利用有两组角相等的两个三角形相似得到△GAO∽△GCA；
（2）由垂径定理得，由等弧所对圆周角相等及（1）中结论可得，设，由三角形外角性质得出，由等边对等角及角的构成推出，从而分与时两种情况，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可；
（3）连接FD，用垂径定理得到，，进而由勾股定理算出AE的长，由等弧所对的弦相等得出AC=AD；设的半径为r，在Rt△COE中，利用勾股定理建立方程求得圆的半径，由直径所对圆周角为直角得出∠CDF=90°，在Rt△CDF中，利用勾股定理算出DF；由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AB∥DF，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△GAO∽△GDF，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得出AG的长.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴若是等腰三角形，则或，
①当时，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
②当时，则，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，即，
综上所述，若是等腰三角形，的度数为或．
（3）解：如图，连接，
∵，
∴，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
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