资源简介

专题二·期中综合复习·培优提高讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 深化有理数、实数概念辨析，能在复杂情境中判断正负数、相反数、绝对值与无理数
· 熟练进行含乘方、运算律的有理数混合运算，并能解决数轴动点与实际应用问题
· 掌握平方根、立方根、无理数估算与科学记数法、近似数的综合运用
· 提升列代数式、整式加减化简求值、同类项与无关型问题的综合解题能力
· 能探索数字类、图形类规律并利用整体代入求代数式的值
知识梳理
☆ 1.有理数与实数的概念深化
正负数表示相反意义的量，0既不是正数也不是负数；有理数按定义分为整数与分数，按符号分为正有理数、0、负有理数
数轴三要素：原点、正方向、单位长度；|a-b|表示数轴上a、b两点之间的距离
相反数只有符号不同，绝对值是数轴上点到原点的距离且恒非负；倒数乘积为1，0没有倒数
无理数是无限不循环小数，如、π及开方开不尽的数；有理数与无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应
概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．绝对值是本身的数是0　B．正有理数和负有理数统称有理数　C．两个无理数的和一定是无理数　D．当a<0时，|a|=-a成立
答案：D
解析：A错，绝对值是本身的数是0和正数；B错，有理数包括正有理数、0、负有理数；C错，如与-的和为0是有理数；D对，负数的绝对值等于它的相反数。
☆ 2.有理数的运算与混合运算
加法：同号取相同符号并把绝对值相加；异号取绝对值较大加数的符号并用较大绝对值减较小绝对值
减法统一为加法：a-b=a+(-b)；乘法先定符号（同号得正、异号得负）再算绝对值
除法转化为乘法：a÷b=a×（b≠0）；乘方an表示n个a相乘，注意(-2)2=4而-22=-4
运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；混合运算先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内
概念辨析例题：计算：-14-(1-0.5)××[2-(-3)2]
答案：
解析：-14=-1；(1-0.5)=；(-3)2=9，2-9=-7；原式=-1-××(-7)=-1+=。
☆ 3.实数（平方根、立方根与估算）
平方根：若x2=a（a≥0），则x是a的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根
算术平方根：正数a的正的平方根记作，≥0；(=a，=|a|
立方根：若x3=a，则x是a的立方根；任何数都有且只有一个立方根，负数的立方根为负数
无理数估算用夹逼法找相邻整数，如2<<3；实数运算与有理数运算法则一致
概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数
答案：这个正数是9
解析：正数的两个平方根互为相反数，故(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(-3)2=9。
☆ 4.代数式、整式与规律探索
单项式是数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数的和；多项式次数取最高次项的次数
同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同；合并同类项时系数相加、字母与指数不变
整式加减：先去括号（括号前是负号时括号内各项变号），再合并同类项；化简求值先化简再代入
无关型问题：某个字母的项的系数为0；规律探索：先找不变量，再找随序号n变化的部分，可用整体代入求值
概念辨析例题：已知多项式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关，求a、b的值
答案：a=-3，b=1
解析：合并同类项：(2-2b)x2+(a+3)x-6y+5；与x无关则2-2b=0且a+3=0，解得b=1，a=-3。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
有理数/实数分类 整数和分数统称有理数；无理数是无限不循环小数 0既不是正数也不是负数
相反数/绝对值 -a与a互为相反数；|a|≥0；|a-b|为两点距离 负数绝对值等于它的相反数
科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n等于整数位数减1
混合运算顺序 先乘方、再乘除、后加减 区分(-2)2与-22
平方根/立方根 (=a；立方根唯一且可负 负数无平方根但有立方根
同类项 字母相同且相同字母指数相同 合并时系数相加指数不变
无关型问题 含该字母的项的系数为0 先合并同类项再令系数为0
核心考点
【考点1】有理数与实数的基本概念（第1-4题）
· 概念辨析题逐句判断，注意0的特殊性：0既不是正数也不是负数，绝对值是本身的数包括0和正数
· 有理数分类按定义分整数与分数，按符号分正、0、负；实数分类在有理数基础上加无理数
· 判断无理数：开方开不尽的数、π、有规律但不循环的小数；两个无理数的和/积不一定是无理数
· 相反意义的量先规定正负方向，再判断具体量的表示
1. 当，时，
；
2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在，，，，，中，正数是__________．
3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按要求解答：把下列各数的序号填在相应的括号内：
①，②，③；④（两个“”之间依次多一个“”），⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
正有理数集合：{______}；
负数集合：{______}；
整数集合：{______}．
【考点2】数轴、绝对值化简与代数式求值（第5-11题）
· 绝对值几何意义：|a|表示到原点距离，|a-b|表示a、b两点距离
· 字母绝对值化简先判断正负：正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体加负号
· 数轴动点问题：右移加、左移减，两点距离用终点减起点的绝对值
· 整体代入求值：观察已知式与所求式的倍数关系，不必求出每个字母
4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的个数有（ ）
①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上表示x和1的两点之间的距离为．
①求的最小值______；
②求的最小值_____．
6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________．
7．（23-24七年级上·江西宜春·期中）若，，为有理数，且，则______．
8．（2025七年级上·全国·专题练习）可能的值有___________个．
9．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段检测）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3．
(1)写出的值；
(2)求的值．
10．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）请根据图示的对话解答下列问题．
求：
(1)a，b的值．
(2)的值
【考点3】有理数的运算与混合运算（第12-24题）
· 运算顺序：先乘方、再乘除、后加减；有括号先算小括号、再中括号、最后大括号
· 灵活运用运算律：凑整、同号结合、相反数结合、乘法分配律正用与逆用
· 区分(-a)n与-an：前者整体乘方，后者是乘方结果的相反数
· 实际问题列式：先明确正方向和基准量，再用算式表示变化过程
· 24点问题：优先考虑3×8、4×6、12×2及加减组合
11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的结果等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某品牌方便面的标准重量为，一般认为合格品的标准为“”，下列重量的方便面合格的是（ ）
A． B． C． D．
13．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为_______．
15．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）“24点”的游戏规则是∶任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小李抽到的四个数是3，，5，6，请列出符合要求的算式：______．
16．（25-26六年级上·山东威海·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是______．
17．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为_________．
18．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算：．
19．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）以下是伦伦计算的解答过程：
解：原式．
伦伦的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
20．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）
21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；
(2)．
22．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）（1）；
（2） ；
（3） ；
（4）
23．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)
24．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．
(1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数．
(2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量．
【考点4】平方根、立方根与无理数估算（第25-30题）
· 平方根成对出现且互为相反数，算术平方根是非负的那一个，仅表示算术平方根
· 负数没有平方根，但有唯一的立方根；0的平方根、算术平方根、立方根都是0
· 无理数整数部分用夹逼法：先找相邻两个完全平方数（或立方数），再确定整数部分
· 利用的非负性与绝对值、平方非负性联合求值
25．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）若，则的算术平方根是（ ）
A． B． C．1或 D．1或5
26．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是______．
28．（23-24七年级下·海南三亚·阶段检测）的绝对值是_______；16的算术平方根是________；的立方根是_______．
29．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则______；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．
30．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值．
【考点5】科学记数法、近似数与实际应用（第31-37题）
· 科学记数法写成a×10n，1≤|a|<10；n等于原数整数位数减1
· 还原科学记数法：a×10n把a的小数点向右移n位
· 近似数看精确到哪一位，由四舍五入规则确定
· 实际应用：以基准量为0，超过为正、不足为负，再求和或差
31. 当，时
．
综上，式子可能的值为、、、，共4个．
32．（2025·浙江·二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年北京天安门阅兵仪式中，某型装备的射程可达2850000米．将2850000用科学记数法表示为______．
34．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时．
（1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时；
（2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口．
35．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)
36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）某地的高山气温从山脚开始每升高降低，现测得山脚的温度是．
(1)求离山脚高的地方的温度；
(2)若山上某处气温为求此处距山脚的高度．
37．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量．统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得周五的送餐量最少，且送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单．
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单）
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是多少单
(2)求该外卖小哥这周总共送餐多少单
【考点6】规律探索、代数式与整式加减（第38-60题）
· 数字规律：先列前几项，对比序号n找通项；图形规律数不变量与增量
· 列代数式：抓住关键词（和、差、倍、分、积、商），注意运算顺序与括号
· 整式加减化简：先去括号再合并同类项；化简求值先化简再代入数值
· 无关型问题：合并后令含该字母的项系数为0，解字母方程
· 整体代入：观察已知式与所求式的倍数关系，整体代入可简化计算
38. 当，时，
若，则，
；
若，则，
；
若，则，此时无意义，舍去该情况；
39. 当，时，
- 若，则，
；
若，则，
；
-若，则，式子无意义，舍去该情况；
40．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）若单项式与是同类项，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
41．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则代数式的值为（ ）
A．11 B．7 C． D．
42．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．的次数为5 B．是三次二项式
C．是整式 D．的系数是3，次数是2
43．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将三个正方形以紧贴的方式放进长方形中（如左图），再将第四个正方形放入，恰好紧贴长方形（如右图），记长方形、正方形、长方形的周长分别为，，，若要知道的长度，只需知道（ ）
A．正方形的边长 B．正方形的边长
C．正方形的边长 D．正方形的边长
45．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）观察图，找出规律，，，根据规律＝（ ）
A． B． C． D．
46．（21-22七年级下·浙江台州·开学考试）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（ ）
A． B． C． D．
47．（24-25七年级上·全国·期末）一架飞机的无风速度为a km/h，若风速为25 km/h，则该飞机顺风飞行5小时的路程比逆风飞行4小时的路程多_______km．
48．（24-25七年级上·辽宁·单元测试）若x是不等于1的数．我们把称为x的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则______．
49．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）小李用一些小正方形拼如下图所示的“W型”图案，图①由5个小正方形拼成，图②由9个小正方形拼成，图③由13个小正方形拼成，以此类推，图 由________个小正方形拼成．
50．（23-24七年级上·浙江·期末）数列：0，2，4，8，12，18，……是我国的大衍数列，它也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒点P1向左跳2个单位，记为P2，此时点P2表示的数为；第3秒点P2向右跳4个单位，记为P3，点P3表示的数为2；…按此规律跳跃，点P15表示的数为__________．
51．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）用小棒搭图形（如下图）．按此规律，摆第10个图形需要用______根小棒，摆第n个图形需要用______根小棒．
52．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为_________；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是_________．
53．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知是方程的一个解，则整式的值为_____ ．
54．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）__________．
55．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________．
56．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是2024年2月份的月历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为．
(1)分别用的代数式表示和；
(2)结合月历，若，则的最大值为多少？
57．（23-24七年级上·陕西西安·期中）若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值．
58．（12-13七年级下·浙江·开学考试）已知：，，．
(1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关；
(2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值．
59．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图．
(1)图2中，中间小正方形的面积为多少？
(2)求图2中整个大正方形的边长．
60．（22-23七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)已知，若，求的值．
课后巩固
复习建议
· 概念题逐句辨析，特别注意0、绝对值、无理数的反例
· 混合运算严格按顺序，灵活运用运算律凑整简化
· 平方根记正负两个，算术平方根非负；立方根唯一
· 整式化简先去括号再合并同类项，无关型令系数为0
· 规律题先列前几项对比序号，整体代入可避免逐个求值
【作业1】．（2025·陕西·模拟预测）2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（ ）个
小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2 B．3 C．4
【作业3】．（2025·河南商丘·模拟预测）我国东汉初期的数学家刘徽在注解《九章算术》时，明确提出了正数和负数的概念，比国外早了约800年．刘徽规定正数用红色小竹棒表示，负数用黑色小竹棒表示，则三根黑色小竹棒表示的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【作业4】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，一个瓶子的瓶身和瓶颈都是圆柱形，整个瓶子的高度为，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，倒放时，瓶内溶液的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个和瓶颈一样粗细的圆柱形的容器里，则容器内的溶液高度（ ）．
A． B． C． D．
【作业5】．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）在一次数学考试中，七年级（）班名男生平均得分，名女生平均得分，则这个班全体同学的平均分是（ ）
A． B． C． D．
【作业6】．（2025·内蒙古赤峰·三模）年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，目前票房为亿，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【作业7】．（26-27七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：
（1）___________（精确到百分位）；
（2）___________；
（3）___________（精确到0.1）．
【作业8】．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若被减数是17，差是，则减数是______．
【作业9】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a，b为有理数，，，且，则，a，，b的大小关系是______．
【作业10】．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则________．
【作业11】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为______．
【作业12】．（23-24七年级上·广西来宾·期中）如果单项式与是同类项，那么______．
【作业13】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则_____．
【作业14】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的绝对值是______；身高为1.57米是_____（准确数还是近似数）
【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算：
(1)；
(2)．
【作业16】．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）根据下列语句列算式并计算：
(1)的绝对值与的差．
(2)的相反数除以2.5的倒数的商．
【作业17】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【作业18】．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
与前一天相比的人数变化情况/万人
(1)该景点10月2日的游客人数为______万人．
(2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人
(3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？
【作业19】．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“一”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单）
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送______单；
(2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
(3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【作业20】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米)：
，，，，，，，．
(1)请通过计算确定B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟的油箱容量为26升，每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油，才能保证顺利完成任务到达B地？
试卷第1页（共3页）
1专题二·期中综合复习·培优提高讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 深化有理数、实数概念辨析，能在复杂情境中判断正负数、相反数、绝对值与无理数
· 熟练进行含乘方、运算律的有理数混合运算，并能解决数轴动点与实际应用问题
· 掌握平方根、立方根、无理数估算与科学记数法、近似数的综合运用
· 提升列代数式、整式加减化简求值、同类项与无关型问题的综合解题能力
· 能探索数字类、图形类规律并利用整体代入求代数式的值
知识梳理
☆ 1.有理数与实数的概念深化
正负数表示相反意义的量，0既不是正数也不是负数；有理数按定义分为整数与分数，按符号分为正有理数、0、负有理数
数轴三要素：原点、正方向、单位长度；|a-b|表示数轴上a、b两点之间的距离
相反数只有符号不同，绝对值是数轴上点到原点的距离且恒非负；倒数乘积为1，0没有倒数
无理数是无限不循环小数，如、π及开方开不尽的数；有理数与无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应
概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．绝对值是本身的数是0　B．正有理数和负有理数统称有理数　C．两个无理数的和一定是无理数　D．当a<0时，|a|=-a成立
答案：D
解析：A错，绝对值是本身的数是0和正数；B错，有理数包括正有理数、0、负有理数；C错，如与-的和为0是有理数；D对，负数的绝对值等于它的相反数。
☆ 2.有理数的运算与混合运算
加法：同号取相同符号并把绝对值相加；异号取绝对值较大加数的符号并用较大绝对值减较小绝对值
减法统一为加法：a-b=a+(-b)；乘法先定符号（同号得正、异号得负）再算绝对值
除法转化为乘法：a÷b=a×（b≠0）；乘方an表示n个a相乘，注意(-2)2=4而-22=-4
运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律；混合运算先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内
概念辨析例题：计算：-14-(1-0.5)××[2-(-3)2]
答案：
解析：-14=-1；(1-0.5)=；(-3)2=9，2-9=-7；原式=-1-××(-7)=-1+=。
☆ 3.实数（平方根、立方根与估算）
平方根：若x2=a（a≥0），则x是a的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根
算术平方根：正数a的正的平方根记作，≥0；(=a，=|a|
立方根：若x3=a，则x是a的立方根；任何数都有且只有一个立方根，负数的立方根为负数
无理数估算用夹逼法找相邻整数，如2<<3；实数运算与有理数运算法则一致
概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数
答案：这个正数是9
解析：正数的两个平方根互为相反数，故(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(-3)2=9。
☆ 4.代数式、整式与规律探索
单项式是数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数的和；多项式次数取最高次项的次数
同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同；合并同类项时系数相加、字母与指数不变
整式加减：先去括号（括号前是负号时括号内各项变号），再合并同类项；化简求值先化简再代入
无关型问题：某个字母的项的系数为0；规律探索：先找不变量，再找随序号n变化的部分，可用整体代入求值
概念辨析例题：已知多项式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值与字母x的取值无关，求a、b的值
答案：a=-3，b=1
解析：合并同类项：(2-2b)x2+(a+3)x-6y+5；与x无关则2-2b=0且a+3=0，解得b=1，a=-3。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
有理数/实数分类 整数和分数统称有理数；无理数是无限不循环小数 0既不是正数也不是负数
相反数/绝对值 -a与a互为相反数；|a|≥0；|a-b|为两点距离 负数绝对值等于它的相反数
科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n等于整数位数减1
混合运算顺序 先乘方、再乘除、后加减 区分(-2)2与-22
平方根/立方根 (=a；立方根唯一且可负 负数无平方根但有立方根
同类项 字母相同且相同字母指数相同 合并时系数相加指数不变
无关型问题 含该字母的项的系数为0 先合并同类项再令系数为0
核心考点
【考点1】有理数与实数的基本概念（第1-4题）
· 概念辨析题逐句判断，注意0的特殊性：0既不是正数也不是负数，绝对值是本身的数包括0和正数
· 有理数分类按定义分整数与分数，按符号分正、0、负；实数分类在有理数基础上加无理数
· 判断无理数：开方开不尽的数、π、有规律但不循环的小数；两个无理数的和/积不一定是无理数
· 相反意义的量先规定正负方向，再判断具体量的表示
1. 当，时，
；
2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）在，，，，，中，正数是__________．
【答案】，，
【知识点】正负数的定义、化简多重符号、求一个数的绝对值
【分析】本题考查正负数的认知．将绝对值符号或括号去掉，判断各数的正负即可．
【详解】解：，，，，，，
故答案为：，，．
3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按要求解答：把下列各数的序号填在相应的括号内：
①，②，③；④（两个“”之间依次多一个“”），⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
正有理数集合：{______}；
负数集合：{______}；
整数集合：{______}．
【答案】①⑧⑨；③④⑥⑦；②⑦⑧
【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的分类
【分析】此题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键．根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可．
【详解】解：，，
正有理数集合：；
负数集合：；
整数集合：．
故答案为：①⑧⑨；③④⑥⑦；②⑦⑧．
【考点2】数轴、绝对值化简与代数式求值（第5-11题）
· 绝对值几何意义：|a|表示到原点距离，|a-b|表示a、b两点距离
· 字母绝对值化简先判断正负：正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体加负号
· 数轴动点问题：右移加、左移减，两点距离用终点减起点的绝对值
· 整体代入求值：观察已知式与所求式的倍数关系，不必求出每个字母
4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的个数有（ ）
①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、绝对值的几何意义、单项式的判断
【分析】本题考查了整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键；
根据整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，逐一判定即可．
【详解】①0不是最小的整数，因为没有最小的整数，故①错误；
②绝对值等于它的相反数的数是0或负数，故②错误；
③若且，则，同为负数，故③正确；
④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0或，故④错误；
⑤是多项式，不是单项式，故⑤错误；
综上可知，正确的是③．
故选：A．
5．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上表示x和1的两点之间的距离为．
①求的最小值______；
②求的最小值_____．
【答案】 1
【知识点】绝对值的几何意义、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离
【分析】①根据两点间线段最短结合绝对值的意义判断即可；②当是奇数时，中间的点为，所以当时，；当是偶数时，中间的两个点相同为，所以当时，．
【详解】解：①表示数轴上x和1的距离与x和2的距离之和，
则根据两点之间线段最短可知，x在之间，
∴；
②表示数轴上点到1，2，3，，之间的距离和最小，
当是奇数时，中间的点为，
当时，，
最小值为；
当是偶数时，中间的两个点相同为，
当时，，
最小值为．
故答案为：1，．
【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键．
6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________．
【答案】或或
【知识点】有理数加减混合运算的应用、数轴上两点之间的距离、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查数轴翻折问题，两点之间的距离，分类讨论是解题的关键．
由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．
【详解】解：∵线段长为11，这三条线段的长度之比为，
，
∴这三条线段的长度分别为，
若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度也为，
则折痕表示的数为：；
若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为，
则折痕表示的数为：；
若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为，
则折痕表示的数为：；
∴折痕表示的数为或或，
故答案为：或或．
7．（23-24七年级上·江西宜春·期中）若，，为有理数，且，则______．
【答案】5或1或
【知识点】多个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题
【分析】此题主要考查了乘法法则的运用，绝对值的性质，绝对值化简求值，根据有理数的乘法法则可得a、b、c、d四个数中有2个负数或4个负数或没有负数，然后分情况计算出a、b、c、d四个数中有2个负数时：的值，再计算出a、b、c、d四个数中有4个负数时：的值，再计算出a、b、c、d四个数中没有负数时：的值，即可求解．
【详解】解： ，
a、b、c、d四个数中有2个负数或4个负数或没有负数，
当b、c、d四个数中有2个负数时：在中，有任意两个的值为，，
，
当b、c、d四个数中有4个负数时：在中，四个的值为，
，
当b、c、d四个数中没有负数时：在中，四个的值为，
，
综上所述，的值为：5或1或，
故答案为：5或1或．
8．（2025七年级上·全国·专题练习）可能的值有___________个．
【答案】4
【知识点】带有字母的绝对值化简问题
【分析】本题需根据a、b的正负性分情况讨论，利用绝对值的性质化简式子，再确定所有可能的结果并统计个数．
【详解】根据绝对值的非负性及有理数除法法则，分以下情况讨论：
9．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段检测）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3．
(1)写出的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】绝对值的几何意义、倒数、相反数的定义
【分析】（1）根据互为相反数两数之和为0，互为倒数两数之积为1，以及绝对值的代数意义求出m的值；
（2）代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，
∴；
（2）当时，
；
当时，
．
∴的值为或．
【点睛】本题考查了有理数的意义，熟练掌握相反数，倒数，绝对值的意义是解题关键．
10．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）请根据图示的对话解答下列问题．
求：
(1)a，b的值．
(2)的值
【答案】(1)，或
(2)33或5
【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算
【分析】（1）根据相反数的定义求出a，根据绝对值的定义求出b；
（2）根据c与b的和是求出c的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）解：a的相反数是3，b的绝对值是7，
，或；
（2）解： c与b的和是，
，
当时，，
；
当时，，
．
综上可知，的值为33或5．
【考点3】有理数的运算与混合运算（第12-24题）
· 运算顺序：先乘方、再乘除、后加减；有括号先算小括号、再中括号、最后大括号
· 灵活运用运算律：凑整、同号结合、相反数结合、乘法分配律正用与逆用
· 区分(-a)n与-an：前者整体乘方，后者是乘方结果的相反数
· 实际问题列式：先明确正方向和基准量，再用算式表示变化过程
· 24点问题：优先考虑3×8、4×6、12×2及加减组合
11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的结果等于（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的减法运算．
直接进行减法运算即可得出结果．
【详解】解：，
故选：A．
12．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某品牌方便面的标准重量为，一般认为合格品的标准为“”，下列重量的方便面合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用
【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数加减法的应用；根据合格品的标准为“”，得最大重量为，最小重量为，在最小重量与最大重量间的即为合格，据此判断即可．
【详解】解：由题意得：最大重量为，最小重量为，在此范围内的只有选项C中重量满足；
故选：C．
13．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答．
【详解】解：依题意，把第k项的数记为（，且k为正整数），
∵这100个数中，每个数可以取值1或．
∴是奇数还是偶数取决于：
若为奇数，则为奇数；
若为偶数，则为偶数；
从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数，
因此始终为偶数；
∵能取到的最小正数，
∴偶数且是最小正数为2，
验证：把每连续的8个数看作一组数：
；
；
依次类推，每连续的8个数之和为0，即这样的一组数之和为0；
依题意，，
即100个数中有12组这样的数，100个数中剩下的4个数分别为，
∵这100个数中，每个数可以取值1或．
则
故能取到的最小正数为2．
14．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，则的最大值为_______．
【答案】53
【知识点】多个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件求得m，n，p，q的值是解题的关键．根据题意求得m，n，p，q的值后代入中计算即可．
【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q满足，且要使有最大值，
∴，，，，
解得：，，，，
则，
故答案为：53．
15．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）“24点”的游戏规则是∶任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小李抽到的四个数是3，，5，6，请列出符合要求的算式：______．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】算“24”点
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式即可，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：（答案不唯一）．
16．（25-26六年级上·山东威海·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是______．
【答案】308
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．
类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数×+百位上的数×+十位上的数×6+个位上的数．
【详解】解：图2表示的天数是．
故答案为：308．
17．（2024·内蒙古·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为_________．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：3802亿，
故答案为：．
18．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算乘方，运用乘法分配律计算乘法，最后再计算加减法．
【详解】解：
19．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）以下是伦伦计算的解答过程：
解：原式．
伦伦的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】
伦伦的解答过程有错误， 正确的解答过程为：
．
【知识点】求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握其运算法则是解答本题的关键．
先计算算术平方根，绝对值，然后根据有理数的加减运算法则，得到答案．
【详解】略
20．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）
【答案】(1)
①依题意，，
故答案为：9；
②依题意，，
故答案为：；
③依题意，，
故答案为：；
④依题意，，
故答案为：；
(2)
依题意，；
．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答；
（2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）略
（2）略
21．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)11
【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查有理数的混合运算，算术平方根：
（1）先计算乘法，再计算减法；
（2）先计算乘方，算术平方根，再计算加法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）（1）；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可；
（3）利用有理数的加减法则计算即可；
（4）利用有理数的加减法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
23．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)2
【知识点】有理数乘法运算律、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的额混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先写成省略括号和加号的形式，再按加法法则计算；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方和开方，再算加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
24．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．
(1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数．
(2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量．
【答案】(1)11
(2)采集到的野果数量为个
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是：
（1）根据题意写成，进而进行计算即可求解；
（2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解．
【详解】（1）解：1011转化为十进制数是：
；
（2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：
．
答：采集到的野果数量为个．
【考点4】平方根、立方根与无理数估算（第25-30题）
· 平方根成对出现且互为相反数，算术平方根是非负的那一个，仅表示算术平方根
· 负数没有平方根，但有唯一的立方根；0的平方根、算术平方根、立方根都是0
· 无理数整数部分用夹逼法：先找相邻两个完全平方数（或立方数），再确定整数部分
· 利用的非负性与绝对值、平方非负性联合求值
25．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）若，则的算术平方根是（ ）
A． B． C．1或 D．1或5
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根和算术平方根，注意：一个正数的平方根有两个，一个正数的算术平方根只有一个．
先利用平方根求出x，再代入求算术平方根即可．
【详解】解：∵
∴
当时，的算术平方根为，
当时，的算术平方根为，
∴的算术平方根是1或，
故选：C．
26．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解
【分析】根据实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根逐项分析即可得解．
【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确，符合题意；
②无理数是无限不循环小数，故原说法错误，不符合题意；
③1的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意；
④的立方根为，故原说法错误，不符合题意；
⑤16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误，不符合题意；
⑥，故原说法错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①，共个，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
27．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是______．
【答案】
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．根据，利用不等式的性质可得，求出、 的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
∵a是的整数部分，b是的小数部分，
，，
．
故答案为：．
28．（23-24七年级下·海南三亚·阶段检测）的绝对值是_______；16的算术平方根是________；的立方根是_______．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的计算、实数的绝对值，掌握算术平方根和立方根的计算方法是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是，
16的算术平方根是，
的立方根是，
故答案为：；；．
29．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则______；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算
【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案为：；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，而，
∴，，
观察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），
故答案为：．
30．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知实数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求的值．
【答案】
【知识点】倒数、实数的性质、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义和绝对值的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，互为相反数的两个数的和为0，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可求出，再代值计算即可．
【详解】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，
∴，
∴，
∴．
【考点5】科学记数法、近似数与实际应用（第31-37题）
· 科学记数法写成a×10n，1≤|a|<10；n等于原数整数位数减1
· 还原科学记数法：a×10n把a的小数点向右移n位
· 近似数看精确到哪一位，由四舍五入规则确定
· 实际应用：以基准量为0，超过为正、不足为负，再求和或差
31. 当，时
．
综上，式子可能的值为、、、，共4个．
32．（2025·浙江·二模）2025年财政部已下达消费品以旧换新资金81000000000元．其中数据81000000000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a和n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案．
【详解】解：．
故选：A．
33．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年北京天安门阅兵仪式中，某型装备的射程可达2850000米．将2850000用科学记数法表示为______．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
34．（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时．
（1）甲往返一趟所需时间是______小时，乙往返一趟所需时间是______小时；
（2）出发后航行______小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口．
【答案】 2.5 3.2 80
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数除法的应用、有理数减法的实际应用
【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键．
（1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可；
（2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间．
【详解】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时．
甲船由B向A行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时，
所以甲往返一趟所需时间是时；
乙船由A向B行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时．
乙船由B向A行驶时的速度为千米/时，
所以此时时间为时，
所以乙往返一趟所需时间是时．
故答案为：2.5，3.2；
（2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，
所以乙往返的次数为．
因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口，
所以为整数，且最小，
所以x最小可取32，
所以航行时间为时．
故答案为：80．
35．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数
【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变为原数，熟知科学记数法是解题的关键．
（1）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可；
（2）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可；
（3）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可；
（4）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）某地的高山气温从山脚开始每升高降低，现测得山脚的温度是．
(1)求离山脚高的地方的温度；
(2)若山上某处气温为求此处距山脚的高度．
【答案】(1)离山脚高的地方的温度是
(2)山上某处气温为求此处距山脚的高度是
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意可以列出算式，然后计算即可；
（2）根据题意可以列出算式，然后计算即可．
【详解】（1）解：依题意得，
，
答：离山脚高的地方的温度是；
（2）解：依题意得，
，
答：山上某处气温为求此处距山脚的高度是．
37．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量．统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得周五的送餐量最少，且送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单．
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单）
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是多少单
(2)求该外卖小哥这周总共送餐多少单
【答案】(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是单
(2)该外卖小哥这一周一共送餐369单
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式．
（1）根据题意可知这一周送餐量最多的一天是周四，再列式计算即可；
（2）根据题意列出算式，再计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由数据可知，周五的送餐量最少，
除星期四外，最多的一天是周日，两天相差单，
而送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单，
所以，这一周送餐量最多的一天是周四，共单，
答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是单；
（2）
（单）
答：该外卖小哥这一周一共送餐369单．
【考点6】规律探索、代数式与整式加减（第38-60题）
· 数字规律：先列前几项，对比序号n找通项；图形规律数不变量与增量
· 列代数式：抓住关键词（和、差、倍、分、积、商），注意运算顺序与括号
· 整式加减化简：先去括号再合并同类项；化简求值先化简再代入数值
· 无关型问题：合并后令含该字母的项系数为0，解字母方程
· 整体代入：观察已知式与所求式的倍数关系，整体代入可简化计算
38. 当，时，
若，则，
；
若，则，
；
若，则，此时无意义，舍去该情况；
39. 当，时，
- 若，则，
；
若，则，
；
-若，则，式子无意义，舍去该情况；
40．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）若单项式与是同类项，则代数式的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
【答案】C
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查同类项，代数式求值，熟练掌握所含字母相同，相同字母指数相同的项叫同类项是解题的关键．
根据同类项定义相同字母指数相同得到关于m、n的方程，求解得出m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：单项式与是同类项
，
解得：，
．
故选：C．
41．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则代数式的值为（ ）
A．11 B．7 C． D．
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将已知等式作为整体代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
42．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．的次数为5 B．是三次二项式
C．是整式 D．的系数是3，次数是2
【答案】C
【知识点】整式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查整式、单项式的次数和系数、多项式的次数的概念．
根据定义判断各选项的正确性．
【详解】解：A、的字母部分指数和为，次数为3，不是5，选项说法错误，不符合题意；
B、的最高次项的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意；
C、是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意；
D、的系数为，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
43．（25-26七年级上·浙江金华·期中）现有一列数其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】数字类规律探索、已知式子的值，求代数式的值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了数列的周期性规律，解题的关键是利用“任意相邻三个数的和为常数”推出数列的周期为3．
由相邻三个数的和为常数，得出数列周期为3（）；结合已知项确定周期内的数（，已知，）；计算周期和为0，再由总项数2025是3的倍数，得总和为0．
【详解】解：由“任意相邻三个数的和为常数”，可得数列周期为3（即）．
（），
；
已知，．
每组（3个数）的和为；
总项数2025是3的倍数（组），
故总和为．
故选B．
44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将三个正方形以紧贴的方式放进长方形中（如左图），再将第四个正方形放入，恰好紧贴长方形（如右图），记长方形、正方形、长方形的周长分别为，，，若要知道的长度，只需知道（ ）
A．正方形的边长 B．正方形的边长
C．正方形的边长 D．正方形的边长
【答案】D
【知识点】整式加减的应用、列代数式
【分析】本题考查的是列代数式及整式加减的应用，设长方形的边，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，则，计算得出，即可得出结论．
【详解】解：设长方形的边，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，如下图：
则长方形的边，正方形的边长为m，
，
∴，
∴，
∵正方形的边长为m，
∴要知道的长度，只需知道正方形的边长，
故选：D．
45．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）观察图，找出规律，，，根据规律＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数字类规律探索
【分析】
本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，
，
故选：B．
46．（21-22七年级下·浙江台州·开学考试）如图，都是由棱长为的正方体叠成的立体图形，例如第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，第个图形由个正方体叠成，依此规律，第个图形由个正方体叠成．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形类规律探索
【分析】根据图形的变换规律，可知第个图形中的正方体的个数为，据此可得第个图形中正方体的个数．
【详解】解：由图可得：
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
第个图形中正方体的个数为；
故第个图形中的正方体的个数为，
第个图形中正方体的个数为．
47．（24-25七年级上·全国·期末）一架飞机的无风速度为a km/h，若风速为25 km/h，则该飞机顺风飞行5小时的路程比逆风飞行4小时的路程多_______km．
【答案】/
【知识点】整式加减的应用、列代数式
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确表示出顺风与逆风的速度是解题关键．
直接利用顺风与逆风的速度乘以时间得出顺风与逆风的路程，再作差即可．
【详解】解：根据题意得：
顺风飞行5小时的行程：千米，
逆风飞行4小时的行程：千米，
两个行程相差：千米．
故答案为：．
48．（24-25七年级上·辽宁·单元测试）若x是不等于1的数．我们把称为x的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则______．
【答案】/
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律．根据差倒数的定义找出该组数列的前4个数，由，从而得出数据变化规律，根据规律可得出的值．
【详解】解：根据差倒数的定义可得出：，
，
，
，
，
由此发现该组数每3个一循环．
，
．
故答案为：．
49．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）小李用一些小正方形拼如下图所示的“W型”图案，图①由5个小正方形拼成，图②由9个小正方形拼成，图③由13个小正方形拼成，以此类推，图 由________个小正方形拼成．
【答案】81
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图形变化，得出小正方形的个数规律，求出结果即可．分析图形的变化规律是解题的关键．
【详解】解：∵第①个图形中小正方形的个数为：，
第②个图形中小正方形的个数为：，
第③个图形中小正方形的个数为：，
，
∴第 个图形中小正方形的个数为：，
故答案为：81．
50．（23-24七年级上·浙江·期末）数列：0，2，4，8，12，18，……是我国的大衍数列，它也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒点P1向左跳2个单位，记为P2，此时点P2表示的数为；第3秒点P2向右跳4个单位，记为P3，点P3表示的数为2；…按此规律跳跃，点P15表示的数为__________．
【答案】56
【知识点】数字类规律探索
【分析】先计算出数列的钱15个数，后根据规律计算即可，本题考查了数列的规律计算，正确发现规律是解题的关键．
【详解】这个数列的前15个数分别是0，2，4，8，12，18，，，
根据题意，点P15表示的数为，
故答案为：56．
51．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）用小棒搭图形（如下图）．按此规律，摆第10个图形需要用______根小棒，摆第n个图形需要用______根小棒．
【答案】 21
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题主要考查了图形类规律探索，根据题意，确定图形变化规律，可知第n个图形需要的小棒数量为个，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，摆第1个图形需要的小棒数量为根，
摆第2个图形需要的小棒数量为根，
摆第3个图形需要的小棒数量为根，
摆第4个图形需要的小棒数量为根，
……
则摆第10个图形需要的小棒数量为根，
摆第n个图形需要的小棒数量为根．
故答案为：21；．
52．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为_________；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是_________．
【答案】 24
【知识点】整式加减的应用、整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查整式加减运算的实际应用：
（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可；
（2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
53．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知是方程的一个解，则整式的值为_____ ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，代数式的值，先把代入原方程可得：，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，即，
∴，
故答案为：．
54．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）__________．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，将改写为，改写为，，再利用裂项相消法即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴原式
．
故答案为：．
55．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________．
【答案】
【知识点】整式加减的应用
【分析】此题考查了新定义，整式的加减运算，根据定义得到，，，求出，根据能被15整除得到能被3整除，则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1，再求出 ，得到，分别求出M的最大值与最小值，即可得到答案．
【详解】解；∵是“千寻数”
∴，，
“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，
∴，
∴
∴
∵能被15整除，
∴能被3整除，
则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1，
∴
当时，，
∵能被7整除，
∴c最大为9，
∵
∴此时，
∴M最大值为，
当时，，
∵能被7整除，
∴能被7整除，
∴，
∵
∴此时，
∴M最小值为，
∵，
即满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为，
故答案为：
56．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图是2024年2月份的月历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”和“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为．
(1)分别用的代数式表示和；
(2)结合月历，若，则的最大值为多少？
【答案】(1)；
(2)219
【知识点】整式加减的应用、列代数式
【分析】本题考查了代数式的知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据日历中的规律可表示出“型”覆盖的五个数字和“十字型”覆盖的五个数字，从而表示出即可；
（2）由，整理可得，结合的取值范围即可获得答案．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：由（1）知，
当最大时也取得最大值，
由月历图知，的最大值为20，
所以的最大值为219．
57．（23-24七年级上·陕西西安·期中）若是关于x，y的四次三项式，求代数式的值．
【答案】的值为或10
【知识点】多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值
【分析】本题考查多项式的概念，解题的关键是熟练运用多项式概念，本题属于基础题型．
【详解】解：由题意可知：是关于x，y的四次三项式，
∴，，
∴，，
当时，
原式
；
当时，
原式
．
综上分析可知，的值为或10．
58．（12-13七年级下·浙江·开学考试）已知：，，．
(1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关；
(2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值．
【答案】(1)
解：①
②
②的运算结果的取值与x无关；
(2)选①，；选②，
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的加减运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查整式的加减运算，解题关键是去括号、合并同类项，通过对整式进行化简，判断结果是否与x有关，并代入求值．
（1）计算化简，，看哪个式子的化简结果不含x即可；
（2）将，代入（1）中的化简结果，求值即可．
【详解】（1）略
（2）选①，当，时，
原式．
选②，当时，．
59．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图．
(1)图2中，中间小正方形的面积为多少？
(2)求图2中整个大正方形的边长．
【答案】(1)中间小正方形的面积为4
(2)图2中整个大正方形的边长为
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是关键；
（1）由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2，故中间小正方形的边长为2，进而可得小正方形的面积；
（2）图2中大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，再求出边长即可．
【详解】（1）解：由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2，
所以中间小正方形的边长为，
所以中间小正方形的面积为；
（2）解：图2中大正方形的面积，
所以图2中整个大正方形的边长．
60．（22-23七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值：
(1)，其中．
(2)已知，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键，
（1）先合并同类项化简，然后将的值代入计算即可；
（2）将A、B代入，再去括号、合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
当时
原式
；
（2）解：∵
∴
；
∵
∴，
∴，
当时，原式．
课后巩固
复习建议
· 概念题逐句辨析，特别注意0、绝对值、无理数的反例
· 混合运算严格按顺序，灵活运用运算律凑整简化
· 平方根记正负两个，算术平方根非负；立方根唯一
· 整式化简先去括号再合并同类项，无关型令系数为0
· 规律题先列前几项对比序号，整体代入可避免逐个求值
【作业1】．（2025·陕西·模拟预测）2月27日至3月25日，“深海一号”船携“蛟龙”号载人潜水器完成2025年技术升级后的首次装备试验任务．若“蛟龙”号上浮记作，则“蛟龙”号下潜记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反意义的量
【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量．
【详解】解：∵“蛟龙”号上浮记作，
∴“蛟龙”号下潜记作，
故选：B．
【作业2】．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（ ）个
小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点．
小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读．
小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小．
小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0．
A．2 B．3 C．4
【答案】B
【知识点】数学常识、0的意义
【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可．
【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确；
小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确；
小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误；
小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确；
综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意．
【作业3】．（2025·河南商丘·模拟预测）我国东汉初期的数学家刘徽在注解《九章算术》时，明确提出了正数和负数的概念，比国外早了约800年．刘徽规定正数用红色小竹棒表示，负数用黑色小竹棒表示，则三根黑色小竹棒表示的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】相反意义的量
【分析】根据正负数的意义解答即可．
本题考查了正负数的意义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得三根黑色小竹棒表示的数是，
故选：B．
【作业4】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，一个瓶子的瓶身和瓶颈都是圆柱形，整个瓶子的高度为，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为，倒放时，瓶内溶液的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个和瓶颈一样粗细的圆柱形的容器里，则容器内的溶液高度（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了圆柱的体积公式．利用“溶液体积不变”的原理是解题的关键．
先算出正放时瓶子空白部分体积，再算出倒放时瓶子空白部分体积，结合“溶液体积不变”的原理得到瓶身和瓶颈的底面积的比值，最后根据圆柱的体积公式即可求出容器内的溶液高度．
【详解】解：设瓶身的底面积为，瓶颈底面积为，
正放，溶液体积为，空白部分体积为
倒放时，瓶子空白部分高度为，空白部分体积为，
，
化简得，
，
容器内的溶液高度．
故选B．
【作业5】．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）在一次数学考试中，七年级（）班名男生平均得分，名女生平均得分，则这个班全体同学的平均分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列代数式
【分析】本题考查了列代数式．该题需要注意的是题中“名男生平均得分”“名女生平均得分”，男生总分为，女生总分为，解题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
【详解】由名男生平均得分，名女生平均得分，则全体同学的总分：，
∵全体同学的人数：，
∴全体同学的平均分：，
故选：．
【作业6】．（2025·内蒙古赤峰·三模）年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，目前票房为亿，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据科学记数法的表示方法，进行作答，即可求解；
【详解】解：亿，
故选：B；
【作业7】．（26-27七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算：
（1）___________（精确到百分位）；
（2）___________；
（3）___________（精确到0.1）．
【答案】 471.01 190.5
【知识点】计算器——有理数
【分析】本题主要考查计算器的使用，解题的关键掌握不同科学计算器的使用方法及近似数的概念．
（1）利用科学计算器计算即可得；
（2）利用科学计算器计算即可得；
（3）利用科学计算器计算即可得
【详解】解：（1），
故答案为：471.01；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：190.5．
【作业8】．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）若被减数是17，差是，则减数是______．
【答案】25
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题主要考查有理数减法，根据被减数差=减数进行解答即可．
【详解】解：，
故答案为：25．
【作业9】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a，b为有理数，，，且，则，a，，b的大小关系是______．
【答案】
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据，可得，根据即可得到．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
【作业10】．（23-24七年级上·山东德州·阶段检测）如果a的相反数是最大的负整数，b的相反数是最小的正整数，则________．
【答案】0
【知识点】有理数的定义、相反数的应用
【分析】a的相反数是最大的负整数，则， b的相反数是最小的正整数，则，代入计算即可．
【详解】∵a的相反数是最大的负整数，
∴，
∵b的相反数是最小的正整数，
∴，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了相反数的性质，最大的负整数是，最小的正整数是1，熟练掌握相反数的性质是解题的关键．
【作业11】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为______．
【答案】54
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查的是近似数和有效数字，掌握近似数的概念、四舍五入的方法是解题的关键．
【详解】解：，
∴小亮的体重约为，
故答案为：54．
【作业12】．（23-24七年级上·广西来宾·期中）如果单项式与是同类项，那么______．
【答案】3.
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】根据同类项的概念相同字母的指数也相同即可得出指数是几再代入求值即可.
【详解】解：由同类项的概念相同字母的指数也相同，可得，，
所以，
故填：3.
【点睛】本题考查同类项的概念及代入求值，熟记同类项的概念是正确解题的关键.
【作业13】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，则_____．
【答案】3
【知识点】倒数、相反数的定义、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】根据相反数及倒数的定义可得，，再由x的绝对值为2可得，然后计算即可．
【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为2，
∴，，，
∴．
【作业14】．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）的绝对值是______；身高为1.57米是_____（准确数还是近似数）
【答案】 3 近似数
【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的近似数
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答第一空；准确数就是真实的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数解答第二空．
【详解】解：的绝对值为3；
身高为1.57米是近似数．
故答案为：3；近似数．
【点睛】本题考查了绝对值，近似数和准确数，熟练掌握求一个数的绝对值，生活中的表示测量的数据往往是近似数，如测量的身高、体重等，准确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等是解题的关键．
【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的立方根、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，关键是运用运算法则进行计算；
（1）根据有理数加减法法则进行计算即可；
（2）根据乘方、开方、加减、乘除的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【作业16】．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）根据下列语句列算式并计算：
(1)的绝对值与的差．
(2)的相反数除以2.5的倒数的商．
【答案】(1)
(2)
【知识点】倒数、相反数的定义、求一个数的绝对值、有理数的除法运算
【分析】本题考查了相反数、绝对值、倒数和有理数的减法和除法运算，准确的计算是解决本题的关键．
（1）根据题意列出式子计算即可；
（2）先根据题意得的相反数为，2.5的倒数为，再根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：

；
（2）解：的相反数为， 2.5的倒数，

．
【作业17】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)14；
(2)10
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算乘方，再进行加减运算即可；
（2）原式先计算乘方和括号内的减法，再从左向右依次进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【作业18】．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日
与前一天相比的人数变化情况/万人
(1)该景点10月2日的游客人数为______万人．
(2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人
(3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？
【答案】(1)
(2)人数最多为万人；人数最少为万人
(3)一共接待了游客万人
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、有理数减法的实际应用
【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义求得每天游客的实际人数后即可求得答案；
（3）结合（2）中所求列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得（万人），
即10月2日的游客人数为万人，
故答案为：．
（2）解：10月2日的游客人数：（万人）；
10月3日的游客人数：（万人）；
10月4日的游客人数：（万人）；
10月5日的游客人数：（万人）；
10月6日的游客人数：（万人）；
10月7日的游客人数：（万人）；
10月8日的游客人数：（万人）；
∴10月2日至8日，游客人数最多的是10月5日，达到万人；
游客人数最少的是10月8日，达到万人．
（3）解：由题意得（万人），
故一共接待了游客万人．
【作业19】．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“一”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单）
(1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送______单；
(2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
(3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【答案】(1)22
(2)该外卖小哥这一周平均每天送餐53单
(3)该外卖小哥这一周工资收入1248元
【知识点】有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）用表格中的最大数减去最小数即可；
（2）求出表格数据中的平均数加上50即可；
（3）根据工资方案，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：（单）；
故答案为：22；
（2）（单）；
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单；
（3）（元）；
答：该外卖小哥这一周工资收入1248元．
【作业20】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米)：
，，，，，，，．
(1)请通过计算确定B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟的油箱容量为26升，每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中，至少还需补充多少升油，才能保证顺利完成任务到达B地？
【答案】(1)B地位于A地的东边，距离A地21千米
(2)至少还需补充11.5升油，才能保证顺利完成任务到达B地
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用
【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，，从而可得补充油量．
【详解】（1）解：
千米)；
∴B地位于A地的东边，距离A地千米；
（2）
升)；
∴至少还需补充11.5升油，才能保证顺利完成任务到达B地．
试卷第1页（共3页）
1

展开更多......

收起↑