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第3章·实数·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会用根号表示并求一个数的平方根与立方根
· 理解无理数与实数的概念，能对实数进行正确分类，知道实数与数轴上的点一一对应
· 掌握用夹逼法估算无理数的大小，会求无理数的整数部分与小数部分并比较实数大小
· 掌握实数的运算法则与运算律，能进行实数的混合运算并解决简单的实际应用问题
· 会运用数形结合思想解决实数与数轴、正方形剪拼等综合问题，能探索数字与图形规律
知识梳理
☆ 1.平方根与算术平方根
平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根
算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，规定=0，算术平方根具有非负性≥0
重要性质：(=a（a≥0），=|a|；求一个数平方根的运算叫做开平方，它与平方互为逆运算
已知平方根求原数：一个正数的两个平方根互为相反数，把它们相加得0列方程，再把平方根平方即得原数
概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数
答案：这个正数是9
解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(±3)2=9。
☆ 2.立方根
立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3；任何数都有且只有一个立方根
性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；(3=a，3=a
求立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算；立方根的被开方数可以是任意实数
当被开方数的小数点向右（左）移动三位时，立方根的小数点相应地向右（左）移动一位
概念辨析例题：已知x-2的立方根是3，求x的值
答案：x=29
解析：由题意得3=3，两边立方得x-2=27，所以x=29。
☆ 3.实数的分类与无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见形式有开方开不尽的数（如、3）、含π的数、有规律但不循环的数（如0.1010010001…）
实数：有理数和无理数统称实数；按定义可分为有理数和无理数，按符号可分为正实数、0、负实数
有限小数和无限循环小数都是有理数，都可以化为分数；带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数
实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反之数轴上每一个点都表示唯一的实数
概念辨析例题：下列各数中：3，0，-，，π，0.1010010001…，无理数共有几个
答案：无理数共有2个
解析：=2是有理数；无理数是π和0.1010010001…，共2个；3、0、-、都是有理数。
☆ 4.实数的估算与大小比较
估算无理数常用夹逼法：先找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间
无理数的整数部分是其左边的相邻整数，小数部分等于原数减去整数部分，如的整数部分是2，小数部分是
实数大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；数轴上右边的数总比左边的大
比较两个无理数可平方法（同为正数，平方大的原数大）、作差法、估算法，也可借助数轴直观判断
概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间，并写出它的整数部分与小数部分
答案：3<<4，整数部分是3，小数部分是
解析：因为9<11<16，所以3<<4；整数部分是3，小数部分为。
☆ 5.实数的运算
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全相同：数a的相反数是-a，绝对值|a|，非零实数a的倒数是
实数运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右
有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用，能简算的要简算
结果中含根号的要化为最简形式；实际问题中可按要求对结果取近似值
概念辨析例题：计算：-
答案：
解析：=3，3=-2，=，所以原式=3+(-2)-=。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根
算术平方根 正数a的正的平方根≥0 (=a，=|a|
立方根 若x3=a，则x=3 任何数都有唯一立方根，负数立方根为负
无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、π、有规律不循环的数
实数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应
估算 夹逼法找相邻完全平方数 小数部分=原数-整数部分
实数运算 先开方乘方，再乘除，后加减 运算律在实数范围内仍适用
核心考点
【考点1】无理数与实数的分类（第1-10题）
· 识别无理数抓住三点：开方开不尽的数（、3）、含π的数、有规律但不循环的无限小数
· 带根号的数不一定是无理数，要先化简，如=2、3=2都是有理数
· 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；分数一定是有理数
· 实数分类先按定义分有理数与无理数，再按符号分正实数、0、负实数，注意0既不是正数也不是负数
· 把数填入集合时要逐个判断，不重不漏，循环小数与无限不循环小数要区分开
1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在，，，四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数是关键．
根据无理数的定义逐项判断即可．
【详解】解：，
是无理数；
，是整数，是分数，它们属于有理数．
故选：C．
2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
【详解】解：是分数，0是整数，是整数，
是无理数，
故选：D
3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数定义逐项进行判断即可．
【详解】解：在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数有，，（每两个5之间依次增加1）共3个．
故选：C．
4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列各数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题主要考查了无理数的定义和算术平方根，牢记无理数的定义是解题的关键．
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】解：A、是整数，属于有理数，故选项不符合题意；
B、 是整数，属于有理数，故选项不符合题意；
C、 是无理数，故选项符合题意；
D、 是分数， 属于有理数，故选项不符合题意；
故选：．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在实数中，是无理数的是_________________．
【答案】
【知识点】无理数
【分析】本题考查无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：是无限不循环小数，是无理数；
，是有理数；
有限小数，有理数；
是分数，有理数；
无理数的为，
故答案为：．
6．（3.2实数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________．
【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0）
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案．
【详解】解：属于整数集合的有6，0；
属于负分数集合的有，；
属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）；
故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）．
7．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）将下列各数填入相应的括号里：，0，8，，，，，．
正数集合{ …．}；
整数集合{ …．}；
无理数集合{ …．}．
【答案】
正数集合{8，，，，…}；
整数集合{0，8，，…}；
无理数集合{，…}；
【知识点】有理数的分类、无理数
【分析】本题考查了有理数概念和分类，解题的关键是掌握大于0的数是正数，整数也包含0和负整数，无限不循环小数是无理数．
【详解】略
8．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
无理数：{ }；
负分数：{ }；
整数：{ }．
【答案】①⑥；②③⑦；④⑤．
【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键．
【详解】解：无理数：{， }
负分数：{，，}
整数：{，}
故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤．
9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上．
①85 ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
分数：______________________________________________________________________；
非负数：________________________________________________________________________；
无理数：_________________________________________________________；
【答案】
分数：③④⑧⑨；
非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨
无理数：⑥⑦．
【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类、无理数
【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键．
根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答．
【详解】略
10．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
(2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
【答案】(1)甲
(2)见解析
【知识点】有理数的分类、求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查有理数的分类，无理数，熟练掌握有理数的分类方法，无理数的定义，是解题的关键：
（1）根据无理数的定义进行判断即可；
（2）根据有理数的分类作答即可．
【详解】（1）解：是有理数，不是无理数，和是无理数；
故说错的是甲；
故答案为：甲；
（2）由题意，填写如下：
【考点2】平方根与算术平方根（第11-21题）
· 表示算术平方根（非负），±才表示平方根，读题看清问的是平方根还是算术平方根
· 一个正数的两个平方根互为相反数，利用这一点列方程可求字母的值，再平方得原数
· 负数没有平方根，因此被开方数必须非负；本身也具有非负性，常用来求字母取值
· 区分(=a与=|a|，后者要根据a的正负去绝对值
· 已知一个数的平方根求原数，把其中一个平方根平方即可；注意平方根有两个不要漏负的那个
11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根，绝对值性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
12．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
【答案】C
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
，
这个数为．
13．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．根据题意得到，求出的平方根即可．
【详解】解： ，
故的平方根为，
故选：D．
14．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．64的立方根是 B． 没有立方根
C． 是64的平方根 D．的平方根是
【答案】C
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查了立方根、平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，任何一个数都有立方根逐一判断即可．
【详解】解：A. 64的立方根是，原说法错误；
B. 的立方根是，原说法错误；
C. 是64的平方根，说法正确；
D. 的平方根是，原说法错误；
故选：C．
15．（23-24七年级下·吉林·阶段检测）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是________．
【答案】2024
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
直接根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是，
∴它的另一个平方根是2024，
故答案为：2024．
16．（25-26七年级上·浙江·单元复习）的平方根是 _______．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查了平方根，求分数的平方根，需分别求分子和分母的平方根，再考虑正负值即可．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ 的平方根是．
故答案为：．
17．（23-24七年级下·福建莆田·期中）设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____．
【答案】9
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：，据此求出a的值，进而求出这个正数即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个数为，
故答案为：9．
18．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则______．
【答案】
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查的是非负数的性质和算术平方根．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
19．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数．这个数是________．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：∵一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数，
∴这个数是，
故答案为：．
20．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____．
【答案】
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】根据两个数的平方根互余相反数，列出方程解方程即可，
本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握一个正数的平方根互为相反数．
【详解】解：由题意得，
解得：，
所以这个正数是．
故答案为：．
21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用
【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根．
【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以．
因为的算术平方根是4，所以，解得．
因此，
所以的平方根为．
故答案为：．
【考点3】立方根（第22-26题）
· 任何数都有且只有一个立方根，正数立方根为正、负数立方根为负，这与平方根不同
· (3=a，3=a，开立方与立方互为逆运算，可两边立方去掉根号
· 已知立方根求原数或字母：由3=a两边立方得x=a3
· 被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位，可由已知立方根估算相关数
· 立方根实际应用：正方体体积V=a3，已知体积求棱长就是求体积的立方根
22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据平方根的性质求解即可得．
【详解】解：∵a是的立方根，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的整数部分，
∴，
∴，
则的平方根是．
故选：C．
23．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）______．
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、实数的性质
【分析】本题考查了求一个数的立方根与绝对值；先由立方根的定义求得立方根，再求出其绝对值即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
24．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______．
【答案】5
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可．
【详解】解：∵的立方根是3，
∴，
解得：，
故答案为：5．
25．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）设，，且，则______
【答案】1
【知识点】立方根概念理解、实数的混合运算
【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，则，，均为正数，
∴
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
【答案】
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为，
∵长方体铁坯的长为，宽为，高为，
∴，
∴，
解得，
∴加工后正方体铁块的棱长为．
【考点4】无理数的估算与大小比较（第27-37题）
· 夹逼法估算：先找相邻两个完全平方数（或立方数），确定无理数所在的整数区间
· 无理数的整数部分是左边相邻整数，小数部分=原数-整数部分，常结合不等式求字母
· 比较两个同为正数的无理数，可用平方法：平方大的原数大；也可作差或借助数轴
· 求近似值时先确定整数部分，再按二分或材料给出的方法逐次逼近到要求的精度
· 规律探索题先算出前几个具体值，观察整数部分、小数点移动等不变规律再推广到第n个
27．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小．
【详解】解：∵，，，
又∵，
∴．
故选：D．
28．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）满足的整数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，无理数比较大小，根据题意，被开方数大的值也大，可得的取值范围内，且是整数，则可得之间能开方的数，由此即可求解，解题的关键是掌握无理数估算的方法．
【详解】解：∵，且是整数，
∴，即，
∴的值是，共个，
故选：．
29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为，
∴边长为，
∵，
∴，
∴正方形边长最接近的整数是6，
故选：C．
30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读以下材料：
面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，
得．解得．
请用以上方法求无理数的近似值（保留两位小数）为（ ）
A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57
【答案】B
【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．根据材料中的解题先求出正方形的边长是，估算出，设，画出相应图形，得到，忽略求出x的值即可．
【详解】解：面积为422的正方形的边长是 ，且 ，
设 ，其中．
画出边长为 的正方形，如图：
根据图中面积得：，当较小时，忽略，
得，
解得：，
，
故选：B．
31．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（）
A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156
【答案】D
【知识点】无理数的大小估算、与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值．
【详解】解：设为距离最接近的整数，即，
当时，，解得，
所以，此时，
当时，，
解得，
所以，此时，
当时，，解得,
所以,此时，
以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为，
因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个，
1025156．
故选：D．
32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知，，，．若为整数且，则的值为______．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算．
通过比较2022与已知平方数的大小，确定的整数部分．
【详解】∵，，且，
∴，即，
∵为整数且满足，
∴．
故答案为：．
33．（23-24八年级上·江西抚州·阶段检测）已知和的小数部分分别为和，则_________．
【答案】1
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小．先估算出的大小，然后求得、的值，最后合并即可．
【详解】解；，
，．
∴，，
．．
，
故答案为：1．
34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为_______．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键．根据题中“调日法”的算法，进行两次“调日法”的计算，得到更为精确的近似分数．
【详解】解：已知，则利用一次“调日法”得：，
由于，
，再次使用“调日法”得：，
由于：，
，再次使用“调日法”得：．
故答案为：
35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______．
【答案】2
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可．
【详解】解：因为，所以，
因此，
于是，即，
故的值在整数2和3之间，
所以．
故答案为：2．
36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
，即，
的整数部分是2，小数部分为．
（参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立；
②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立）
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、实数的混合运算
【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
（1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分；
（2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值；
（3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分：，
∵，
∴小数部分：，
∴．
37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下面图形，每个小正方形的边长为．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ；
(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值；(结果保留根号)
(3)若数轴上有一点，点P所表示的数是，请在给出的数轴上画出点向右移动个单位长度所到的点，并写出点所表示的数为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)
如图所示示点Q
【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根的实际应用、实数与数轴
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小比较，实数与数轴；
（1）根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积个腰为的等腰直角三角形的面积，进而根据正方形的面积公式，求得边长，即可求解；
（2）估算，得出，进而求得的值，即可求解；
（3）根据（1）的方法，作出腰为的等腰直角三角形，得出长的线段，以为圆心为半径交点右侧于点，即可求解．
【详解】（1）解：图中阴影部分的面积=大正方形的面积个腰为的等腰直角三角形的面积
，
边长为：，
故答案为：，；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴，，
∴．
（3）∵,点P所表示的数是
∴Q所表示的数为；
故答案为：．
【考点5】实数与数轴（第38-43题）
· 实数与数轴上的点一一对应：先估算该实数的大小，再判断它落在哪两个整数点之间
· 数形结合：数轴上右边的数总比左边的大，借助点的位置比较大小或判断式子正负
· 圆（或图形）沿数轴滚动问题：滚动距离等于图形周长或边长，向左滚动用减、向右滚动用加
· 正方形剪拼问题：剪拼前后面积不变，新正方形的边长就是原面积的算术平方根
· 相反数在数轴上关于原点对称，把数及其相反数表示后再按从小到大排列
38．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的混合运算、实数与数轴、实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可．
【详解】解：根据图示，可得：，且，
∴
∴最大的数是，
故选：D．
39．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点A表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，且点E在数轴上（点E在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
40．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是___________．（结果保留π）

【答案】
【知识点】实数与数轴
【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得：圆的周长为，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键．
41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4．
(1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
(2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ．
【答案】(1)边长都是1，面积2
(2)
【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴
【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
（1）根据正方形的面积得出边长，再求出正方形的对角线，即阴影部分图形的边长和面积；
（2）用点表示的数减去边长即可得解．
【详解】（1）解：设正方形的边长为，
则，解得：；
每个小正方形的边长都是1，
正方形的边长为：，
；
（2）解：正方形的边长为，点与重合，
点在数轴上表示的数为：，
故答案为：．
42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，．
【答案】
相反数为4，相反数为，相反数为，
∴按从小到大的顺序排列为：，
即，在数轴表示为，如图：
【知识点】相反数的定义、实数与数轴、用数轴上的点表示有理数、实数的大小比较
【分析】本题考查了数轴和相反数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先分别求得所给数的相反数和近似值，然后进行大小比较即可求解；
【详解】略
43．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．

(1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________．
(2)如图2所示，点A表示的数是________．
(3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹）
【答案】(1)5，
(2)
(3)
如图所示，即为所求．

【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
（1）正方形的面积是由五个边长为1的小正方形组成的，由此可得面积，进而可得边长；
（2）根据（1）正方形是由4个直角三角形组成的，从而求出图2中的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案；
（3）仿照（1）画出正方形，进而可得正方形边长为，再仿照图2求解即可．
【详解】（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的，
∴图1中拼成的正方形的面积是5，
∴图1中拼成的正方形的边长为，
故答案为：5，；
（2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的，
∴此直角三角形的斜边长为，
同理可得，
∴点A表示的数为，
故答案为：；

（3）略
【考点6】实数的运算与综合应用（第44-52题）
· 先把每个根式单独化简（、3），再按先乘方开方、后乘除、最后加减的顺序运算
· 灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，能合并的同类根式先合并
· 实际应用问题先设未知数，根据面积、体积等等量关系列方程，再开方求解并检验
· 新定义阅读题要先读懂定义（如和谐组合），再按定义逐步代入计算
· 规律计算题先算前几项找规律，再用规律写出通项并代入求值，注意结果保留根号
44．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式： 第4个等式：
…
按照上面规律，请写出第n个等式：__________；
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了二次根式的规律探索，根据题意找到规律即可求解，找到规律是解题的关键．
【详解】解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式： ，
第4个等式：，
，
由上述规律可得，第n个等式为：，
故答案为：．
45．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______．
【答案】 是
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可；
②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可；
本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．
【详解】解：①∵，，，
∴三个数是“和谐组合”，
故答案为：是；
②分三种情况：①当时，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得（不合，舍去）；
②当时，，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得（不合，舍去）；
③当时，，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得；
综上所述，的值为，
故答案为：．
46．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________．
【答案】
【知识点】平方根的应用
【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解．
【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x，
由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有
，
即
解得 ，
，
，
则阴影部分正方形的边长为．
故答案为：．
47．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算
【详解】解：原式
48．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算
【分析】原式分别计算，，，然后再合并即可．
【详解】解：
．
49．（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值．
【答案】此时的值为．
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用．根据，，，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
答：此时的值为．
50．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键：
（1）先乘法，再加法进行计算即可；
（2）除法变乘法，逆用乘法分配律进行计算即可；
（3）进行乘方和开方运算即可；
（4）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简绝对值，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
52．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；……
(1)计算：_______；_______；
(2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）；
(3)计算：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】（1）解：；
，
故答案为：；；
（2）解：依据上述运算的规律可得：，
故答案为：；
（3）解：
．
课后巩固
复习建议
· 平方根有正负两个、算术平方根非负，求根时先看清题目问的是哪一个
· 无理数只看是否无限不循环，带根号的数要先化简再判断
· 估算无理数用夹逼法，记牢常用完全平方数和立方数可提高速度
· 实数运算先化简每个根式再按顺序算，能简算的要运用运算律简算
· 数轴与剪拼类综合题抓住面积不变、点一一对应这两条主线
【作业1】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.12122 D．
【答案】D
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的概念，注意有理数包括整数、有限小数和循环小数．根据无理数的定义（无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的数），逐一判断各选项．
【详解】∵ 无理数是指无限不循环小数或不能表示为分数的数；
A．，为整数，是有理数；
B．是分数形式，是有理数；
C．0.12122是有限小数，是有理数；
D．π是无理数，除以3后仍为无理数；
故选：D．
【作业2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数，是无理数的为（）
A． B． C． D．2.1212212221
【答案】C
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解：，，2.1212212221这三个数是有理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故选：C．
【作业3】．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
【答案】D
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数，
∴，，，
解得：．
【作业4】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】实数与数轴
【分析】此题考查了实数与数轴、实数的大小比较，根据数轴上点的位置确定a和的取值范围，再根据得b的取值范围，最后根据选项判断即可.
【详解】解：根据数轴可知，，
所以.
因为，
所以，
由选项可知，b的值可以是.
故答案为：A.
【作业5】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）点A在数转上的位置如图所示，则点A所表示的实数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】本题考查了在数轴上表示数的方法，无理数的估算，先根据点A在数轴上的位置得出点A所表示的实数大于2，且小于3，然后利用“夹逼法”判定即可．
【详解】解：由数轴知：点A所表示的实数大于2，且小于3，
∵，，
∴，，，
而，
∴点A所表示的实数可能是，
故选：C．
【作业6】．（23-24七年级下·福建福州·阶段检测）的值是______．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查的是平方根的含义，熟练的求解正数的平方根是解本题的关键，利用平方根的含义计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【作业7】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知n是正整数，且，则n的值为________
【答案】9
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算．
估算数值，即可估算的值，然后根据，确定正整数的值．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：9．
【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是_______．
【答案】5
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解答本题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．先判断出在哪两个连续整数之间，即可求出的整数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是5．
故答案为：5．
【作业9】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）实数，0，，中的无理数是__________．
【答案】
【知识点】无理数
【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题关键是掌握无理数的概念以及常见形式．无理数是指无限不循环小数，常见形式为：开不尽方的数；含的数或式子；类似这样有规律的数．由此分析判断即可．
【详解】解：实数，0，，中的无理数是．
故答案为：．
【作业10】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____．
【答案】47.4
【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键．
根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可．
【详解】，
，
又，
．
故答案为：47.4．
【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01）
因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以．
【答案】4.33
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解．
【详解】解：因为，所以的整数部分是4．
因为，，
所以的小数部分约为，
所以，
故答案为：4.33．
【作业12】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个．
【答案】2
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解．
【详解】解：已知均为正整数，，
∴，且为三个连续的自然数，
∴，
∵，
∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，
∴满足条件的的个数总比 的个数少个，
故答案为： ．
【作业13】．（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=”
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法．
先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可．
【详解】解：，
，
，
，即，
故答案为：
【作业14】．（10-11七年级上·浙江·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)7
(2)
(3)5
(4)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除混合运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先算乘法，再算加法，运用有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先算乘方，再把除法变成乘法进行有理数的混合运算即可；
（3）先算算术平方根和立方根，再运用有理数的加减法混合运算法则计算即可；
（4）先算乘法，运用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
解：原式
；
（3）
解：原式
；
（4）
解：原式
．
【作业15】．（3.3立方根（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
（1）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：原式
【作业16】．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)22
(2)
【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根及绝对值等知识．
（1）先计算乘法，再计算减法即可；
（2）先计算乘方、立方根，并化简绝对值，再算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】平方根的应用、实数的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7，
，，，
阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积．
【作业18】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)2
【知识点】有理数乘法运算律、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的额混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先写成省略括号和加号的形式，再按加法法则计算；
（2）利用乘法分配律计算即可；
（3）先算乘方和开方，再算加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
试卷第1页（共3页）
1第3章·实数·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会用根号表示并求一个数的平方根与立方根
· 理解无理数与实数的概念，能对实数进行正确分类，知道实数与数轴上的点一一对应
· 掌握用夹逼法估算无理数的大小，会求无理数的整数部分与小数部分并比较实数大小
· 掌握实数的运算法则与运算律，能进行实数的混合运算并解决简单的实际应用问题
· 会运用数形结合思想解决实数与数轴、正方形剪拼等综合问题，能探索数字与图形规律
知识梳理
☆ 1.平方根与算术平方根
平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根
算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，规定=0，算术平方根具有非负性≥0
重要性质：(=a（a≥0），=|a|；求一个数平方根的运算叫做开平方，它与平方互为逆运算
已知平方根求原数：一个正数的两个平方根互为相反数，把它们相加得0列方程，再把平方根平方即得原数
概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数
答案：这个正数是9
解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(±3)2=9。
☆ 2.立方根
立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3；任何数都有且只有一个立方根
性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；(3=a，3=a
求立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算；立方根的被开方数可以是任意实数
当被开方数的小数点向右（左）移动三位时，立方根的小数点相应地向右（左）移动一位
概念辨析例题：已知x-2的立方根是3，求x的值
答案：x=29
解析：由题意得3=3，两边立方得x-2=27，所以x=29。
☆ 3.实数的分类与无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见形式有开方开不尽的数（如、3）、含π的数、有规律但不循环的数（如0.1010010001…）
实数：有理数和无理数统称实数；按定义可分为有理数和无理数，按符号可分为正实数、0、负实数
有限小数和无限循环小数都是有理数，都可以化为分数；带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数
实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反之数轴上每一个点都表示唯一的实数
概念辨析例题：下列各数中：3，0，-，，π，0.1010010001…，无理数共有几个
答案：无理数共有2个
解析：=2是有理数；无理数是π和0.1010010001…，共2个；3、0、-、都是有理数。
☆ 4.实数的估算与大小比较
估算无理数常用夹逼法：先找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间
无理数的整数部分是其左边的相邻整数，小数部分等于原数减去整数部分，如的整数部分是2，小数部分是
实数大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；数轴上右边的数总比左边的大
比较两个无理数可平方法（同为正数，平方大的原数大）、作差法、估算法，也可借助数轴直观判断
概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间，并写出它的整数部分与小数部分
答案：3<<4，整数部分是3，小数部分是
解析：因为9<11<16，所以3<<4；整数部分是3，小数部分为。
☆ 5.实数的运算
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全相同：数a的相反数是-a，绝对值|a|，非零实数a的倒数是
实数运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右
有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用，能简算的要简算
结果中含根号的要化为最简形式；实际问题中可按要求对结果取近似值
概念辨析例题：计算：-
答案：
解析：=3，3=-2，=，所以原式=3+(-2)-=。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根
算术平方根 正数a的正的平方根≥0 (=a，=|a|
立方根 若x3=a，则x=3 任何数都有唯一立方根，负数立方根为负
无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、π、有规律不循环的数
实数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应
估算 夹逼法找相邻完全平方数 小数部分=原数-整数部分
实数运算 先开方乘方，再乘除，后加减 运算律在实数范围内仍适用
核心考点
【考点1】无理数与实数的分类（第1-10题）
· 识别无理数抓住三点：开方开不尽的数（、3）、含π的数、有规律但不循环的无限小数
· 带根号的数不一定是无理数，要先化简，如=2、3=2都是有理数
· 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；分数一定是有理数
· 实数分类先按定义分有理数与无理数，再按符号分正实数、0、负实数，注意0既不是正数也不是负数
· 把数填入集合时要逐个判断，不重不漏，循环小数与无限不循环小数要区分开
1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在，，，四个数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列各数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在实数中，是无理数的是_________________．
6．（3.2实数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________．
7．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）将下列各数填入相应的括号里：，0，8，，，，，．
正数集合{ …．}；
整数集合{ …．}；
无理数集合{ …．}．
8．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
无理数：{ }；
负分数：{ }；
整数：{ }．
9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上．
①85 ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
分数：______________________________________________________________________；
非负数：________________________________________________________________________；
无理数：_________________________________________________________；
10．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
(2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
【考点2】平方根与算术平方根（第11-21题）
· 表示算术平方根（非负），±才表示平方根，读题看清问的是平方根还是算术平方根
· 一个正数的两个平方根互为相反数，利用这一点列方程可求字母的值，再平方得原数
· 负数没有平方根，因此被开方数必须非负；本身也具有非负性，常用来求字母取值
· 区分(=a与=|a|，后者要根据a的正负去绝对值
· 已知一个数的平方根求原数，把其中一个平方根平方即可；注意平方根有两个不要漏负的那个
11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
13．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　）
A．4 B． C． D．
14．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．64的立方根是 B． 没有立方根
C． 是64的平方根 D．的平方根是
15．（23-24七年级下·吉林·阶段检测）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是________．
16．（25-26七年级上·浙江·单元复习）的平方根是 _______．
17．（23-24七年级下·福建莆田·期中）设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____．
18．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则______．
19．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数．这个数是________．
20．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____．
21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______．
【考点3】立方根（第22-26题）
· 任何数都有且只有一个立方根，正数立方根为正、负数立方根为负，这与平方根不同
· (3=a，3=a，开立方与立方互为逆运算，可两边立方去掉根号
· 已知立方根求原数或字母：由3=a两边立方得x=a3
· 被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位，可由已知立方根估算相关数
· 立方根实际应用：正方体体积V=a3，已知体积求棱长就是求体积的立方根
22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（ ）
A．1 B．2 C． D．
23．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）______．
24．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______．
25．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）设，，且，则______
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
【考点4】无理数的估算与大小比较（第27-37题）
· 夹逼法估算：先找相邻两个完全平方数（或立方数），确定无理数所在的整数区间
· 无理数的整数部分是左边相邻整数，小数部分=原数-整数部分，常结合不等式求字母
· 比较两个同为正数的无理数，可用平方法：平方大的原数大；也可作差或借助数轴
· 求近似值时先确定整数部分，再按二分或材料给出的方法逐次逼近到要求的精度
· 规律探索题先算出前几个具体值，观察整数部分、小数点移动等不变规律再推广到第n个
27．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）满足的整数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读以下材料：
面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，
得．解得．
请用以上方法求无理数的近似值（保留两位小数）为（ ）
A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57
31．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（）
A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156
32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知，，，．若为整数且，则的值为______．
33．（23-24八年级上·江西抚州·阶段检测）已知和的小数部分分别为和，则_________．
34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为_______．
35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______．
36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
，即，
的整数部分是2，小数部分为．
（参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立；
②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立）
根据上述材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下面图形，每个小正方形的边长为．
(1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ；
(2)若的整数部分为，小数部分为，求的值；(结果保留根号)
(3)若数轴上有一点，点P所表示的数是，请在给出的数轴上画出点向右移动个单位长度所到的点，并写出点所表示的数为 ．
【考点5】实数与数轴（第38-43题）
· 实数与数轴上的点一一对应：先估算该实数的大小，再判断它落在哪两个整数点之间
· 数形结合：数轴上右边的数总比左边的大，借助点的位置比较大小或判断式子正负
· 圆（或图形）沿数轴滚动问题：滚动距离等于图形周长或边长，向左滚动用减、向右滚动用加
· 正方形剪拼问题：剪拼前后面积不变，新正方形的边长就是原面积的算术平方根
· 相反数在数轴上关于原点对称，把数及其相反数表示后再按从小到大排列
38．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （ ）
A． B． C． D．
39．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
40．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是___________．（结果保留π）

41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4．
(1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
(2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ．
42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，．
43．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．

(1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________．
(2)如图2所示，点A表示的数是________．
(3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹）
【考点6】实数的运算与综合应用（第44-52题）
· 先把每个根式单独化简（、3），再按先乘方开方、后乘除、最后加减的顺序运算
· 灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，能合并的同类根式先合并
· 实际应用问题先设未知数，根据面积、体积等等量关系列方程，再开方求解并检验
· 新定义阅读题要先读懂定义（如和谐组合），再按定义逐步代入计算
· 规律计算题先算前几项找规律，再用规律写出通项并代入求值，注意结果保留根号
44．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题：
第1个等式： 第2个等式：
第3个等式： 第4个等式：
…
按照上面规律，请写出第n个等式：__________；
45．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______．
46．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________．
47．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）计算：．
48．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：．
49．（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值．
50．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)
(2)
52．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；……
(1)计算：_______；_______；
(2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）；
(3)计算：．
课后巩固
复习建议
· 平方根有正负两个、算术平方根非负，求根时先看清题目问的是哪一个
· 无理数只看是否无限不循环，带根号的数要先化简再判断
· 估算无理数用夹逼法，记牢常用完全平方数和立方数可提高速度
· 实数运算先化简每个根式再按顺序算，能简算的要运用运算律简算
· 数轴与剪拼类综合题抓住面积不变、点一一对应这两条主线
【作业1】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.12122 D．
【作业2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数，是无理数的为（）
A． B． C． D．2.1212212221
【作业3】．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
【作业4】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　）
A． B． C． D．3
【作业5】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）点A在数转上的位置如图所示，则点A所表示的实数可能是（ ）
A． B． C． D．
【作业6】．（23-24七年级下·福建福州·阶段检测）的值是______．
【作业7】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知n是正整数，且，则n的值为________
【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是_______．
【作业9】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）实数，0，，中的无理数是__________．
【作业10】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____．
【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01）
因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以．
【作业12】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个．
【作业13】．（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=”
【作业14】．（10-11七年级上·浙江·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【作业15】．（3.3立方根（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3) ．
【作业16】．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算：
(1)；
(2)．
【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）．
【作业18】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)
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