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第一章·特殊平行四边形·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解菱形、矩形、正方形的概念，掌握它们之间的从属关系与区别联系
· 掌握菱形、矩形、正方形的性质定理，能运用性质求线段长、角度与面积
· 掌握菱形、矩形、正方形的判定定理，能根据条件判定特殊平行四边形并规范证明
· 理解三角形中位线定理与直角三角形斜边中线性质，会解决中点四边形问题
· 能综合运用特殊平行四边形与全等、勾股定理解决折叠、动点、探究类问题
知识梳理
☆ 1.菱形的性质与判定
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形四条边都相等
性质：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角；面积=底×高=×对角线乘积
判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形
菱形既是轴对称图形（两条对角线所在直线）又是中心对称图形
概念辨析例题：已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线长为6，求另一条对角线的长
答案：另一条对角线长为8
解析：菱形四边相等，边长为20÷4=5；对角线互相垂直平分，半条已知对角线为3，由勾股定理得另一对角线的一半为=4，故另一条对角线长为8。
☆ 2.矩形的性质与判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形四个角都是直角
性质：矩形的对角线相等且互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形
矩形是轴对称图形（对边中点连线）又是中心对称图形
概念辨析例题：矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长
答案：对角线长为8
解析：矩形对角线相等且互相平分，OA=OB；又∠AOB=60°，故△AOB为等边三角形，OA=AB=4，对角线AC=2OA=8。
☆ 3.正方形的性质与判定
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
性质：正方形四条边相等、四个角都是直角，对角线相等、互相垂直平分且平分每一组对角
判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形
正方形既是轴对称图形（4条对称轴）又是中心对称图形
概念辨析例题：正方形ABCD的边长为4，E为BC中点，连接AE，求AE的长
答案：AE=2
解析：正方形中∠B=90°，BE=BC=2；在Rt△ABE中由勾股定理得AE====2。
☆ 4.三角形中位线与中点四边形
三角形中位线：连接三角形两边中点的线段；中位线平行于第三边且等于第三边的一半
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
中点四边形：顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是平行四边形
原四边形对角线相等时中点四边形为菱形；原四边形对角线互相垂直时中点四边形为矩形
概念辨析例题：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形
答案：四边形EFGH是矩形
解析：由三角形中位线定理，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，故EFGH是平行四边形；又AC⊥BD，EF⊥EH，即∠HEF=90°，所以平行四边形EFGH是矩形。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平行四边形 两组对边分别平行的四边形 对角相等、对边相等、对角线互相平分
菱形 一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直，面积=对角线乘积
矩形 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等，直角三角形斜边中线=斜边一半
正方形 邻边相等且有一个直角的平行四边形 兼具菱形与矩形的所有性质
三角形中位线 平行于第三边且等于第三边的一半 端点必须是两边中点
中点四边形 任意四边形中点连线是平行四边形 原对角线相等→菱形；垂直→矩形
折叠问题 折叠前后对应边相等、对应角相等 常结合勾股定理建立方程
核心考点
【考点1】菱形的性质与计算（第1-12题）
· 菱形四边相等，先由周长或边长确定基本量
· 对角线互相垂直平分，半条对角线与边长构成直角三角形，结合勾股定理求线段
· 面积灵活选用底×高或×对角线乘积
· 求角度利用对角线平分对角、邻角互补及等腰三角形性质
· 对称性问题利用轴对称把阴影面积转化为规则图形
1．（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标是，则顶点，的坐标分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．36
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
5．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________．
6．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________．
7．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________．
8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．过点作于点，则的长___________．
9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知菱形的一条对角线长是，周长是，则它的另一条对角线长是______，面积是________．
10．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，．求的度数．
11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)求对角线的长．
12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
【考点2】菱形的判定与证明（第13-23题）
· 先证平行四边形，再补一组邻边相等或对角线互相垂直
· 直接证四条边相等也是常用思路
· 证明过程中善用全等三角形得到边或角相等
· 尺规作图题注意保留垂直平分线等作图痕迹
· 结合线段垂直平分线性质可直接得到菱形
13．（2025·新疆·二模）在四边形中，与交于点，已知且，下列条件能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2026·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ）
A．若补充“”，则四边形是矩形
B．若补充“”，则四边形是菱形
C．若补充“”，则四边形是矩形
D．若补充“”，则四边形是正方形
15．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是________．（填写序号）
17．（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接；
(1)求证：四边形为矩形；
(2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长；
18．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在四边形中，．
(1)用无刻度的直尺和圆规作线段的中垂线，分别交边、于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，求证：四边形为菱形．
19．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合．
(1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有；
(2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由．
20．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图所示，在菱形中，分别是上的点，且，求的度数．
21．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
22．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点O且互相垂直平分．求证：四边形是菱形．
23．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，E是菱形的边的中点，于点H，交的延长线于点F，交于点G．求证：与互相平分．
【考点3】矩形的性质与判定（第24-31题）
· 矩形四个角都是直角、对角线相等且互相平分
· 对角线交点到各顶点距离相等，常出现等边三角形
· 直角三角形斜边中线等于斜边一半是求线段长的利器
· 判定矩形可证三个角为直角，或证平行四边形再加一个直角/对角线相等
· 折叠问题抓住对应边、对应角相等并结合勾股定理
24．（2026·河南周口·二模）把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　）
A．2.5 B． C． D．3
27．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
28．（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为______．（取，取）
29．（21-22八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，于点E，，若，则______．
30．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______．
31．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
【考点4】正方形的性质与判定（第32-42题）
· 正方形兼具菱形与矩形全部性质，对角线夹角为45°
· 求线段长优先放在等腰直角三角形中用勾股定理
· 判定可从矩形出发证邻边相等，或从菱形出发证一个直角
· 与一次函数、坐标综合时注意坐标与线段长度的转化
· 证明全等常借助正方形边相等、角为直角的条件
32．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
33．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
34．（20-21八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，垂足为F，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
35．（21-22九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且，下列说法错误的是（ ）
A．四边形为平行四边形
B．若为正方形，则四边形为正方形
C．若为矩形，则四边形为矩形
D．若，则四边形为矩形
36．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将正方形和正方形按如图所示方式放置，点在直线上，点在x轴上．已知点的坐标是，则点的坐标为______．
37．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为__________．
38．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________．
39．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______．
结论①：始终是等腰直角三角形；
结论②：面积的最小值是2；
结论③：四边形OECF的面积始终是8．
40．（2025·云南·模拟预测）如图，在四边形中，，是的中点，，连接，，过点A，分别作，交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求四边形的面积．
41．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出四边形的周长．
42．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，.
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，求线段的长度．
【考点5】折叠问题综合（第43-49题）
· 折叠前后对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线
· 设未知数把未知线段用代数式表示，在直角三角形中列勾股方程
· 矩形折叠常出现等腰三角形，正方形折叠常出现45°角
· 多角度折叠时分别标注对应点，避免对应关系混乱
· 求阴影面积常用整体减空白或对称转化
43．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（ ）
A． B． C． D．
44．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________．
45．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论：
①四边形是菱形；
②当时，平分；
③当点与点重合时，；
其中正确的结论有________（把所有正确结论的序号都写在横线上）．
46．（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是______．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是______．
47．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，正方形纸片的边长，E是上一点，，折叠正方形纸片，使点B和点E重合，折痕为，试求的长．
48．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求解答问题：
(1)如图（1），将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形有哪些性质？
(2)如图（2），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形是正方形吗？为什么？
(3)如图（3），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点，顶点落在纸片外的点．展开纸片，得到四边形，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论．
49．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的长．
【考点6】中点四边形与综合探究（第50-52题）
· 牢记三角形中位线平行且等于第三边一半
· 中点四边形形状由原四边形对角线决定：相等→菱形、垂直→矩形
· 动点问题先找不变量，再分析特殊位置的临界情况
· 综合题常把菱形、矩形、正方形与全等、勾股结合，分步拆解
· 探究题先猜想结论，再用性质或全等证明
50．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．

（1） （2）
51．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形．
(1)若，求的度数；
(2)若为的中点，，和互余，求的长度．
52．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一矩形对角线的长为，求顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长．
课后巩固
复习建议
· 理清菱形、矩形、正方形的从属关系，性质与判定对照记忆
· 计算线段长优先构造直角三角形，熟练使用勾股定理
· 证明特殊平行四边形先证平行四边形，再补特殊条件
· 折叠问题抓住对应边、对应角相等，设未知数建立方程
· 中点四边形问题回到三角形中位线定理判断形状
【作业1】．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（ ）
A． B．
C．与互相平分 D．
【作业2】．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有条对称轴
【作业3】．（25-26九年级上·全国·期末）四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．
【作业4】．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
【作业6】．（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号）
【作业7】．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________．
【作业8】．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）．
【作业9】．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知中，，平分，点为的中点，则______．

【作业10】．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________．
【作业11】．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________．
【作业12】．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________．
【作业13】．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____．
【作业14】．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为________．
【作业15】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________．
【作业16】．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）菱形中，于点，交于点，，则________．
【作业17】．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的度数．
【作业18】．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在正方形中，是等边三角形．求证：．
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1第一章·特殊平行四边形·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解菱形、矩形、正方形的概念，掌握它们之间的从属关系与区别联系
· 掌握菱形、矩形、正方形的性质定理，能运用性质求线段长、角度与面积
· 掌握菱形、矩形、正方形的判定定理，能根据条件判定特殊平行四边形并规范证明
· 理解三角形中位线定理与直角三角形斜边中线性质，会解决中点四边形问题
· 能综合运用特殊平行四边形与全等、勾股定理解决折叠、动点、探究类问题
知识梳理
☆ 1.菱形的性质与判定
定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形四条边都相等
性质：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角；面积=底×高=×对角线乘积
判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形
菱形既是轴对称图形（两条对角线所在直线）又是中心对称图形
概念辨析例题：已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线长为6，求另一条对角线的长
答案：另一条对角线长为8
解析：菱形四边相等，边长为20÷4=5；对角线互相垂直平分，半条已知对角线为3，由勾股定理得另一对角线的一半为=4，故另一条对角线长为8。
☆ 2.矩形的性质与判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形四个角都是直角
性质：矩形的对角线相等且互相平分；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形
矩形是轴对称图形（对边中点连线）又是中心对称图形
概念辨析例题：矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长
答案：对角线长为8
解析：矩形对角线相等且互相平分，OA=OB；又∠AOB=60°，故△AOB为等边三角形，OA=AB=4，对角线AC=2OA=8。
☆ 3.正方形的性质与判定
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
性质：正方形四条边相等、四个角都是直角，对角线相等、互相垂直平分且平分每一组对角
判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形
正方形既是轴对称图形（4条对称轴）又是中心对称图形
概念辨析例题：正方形ABCD的边长为4，E为BC中点，连接AE，求AE的长
答案：AE=2
解析：正方形中∠B=90°，BE=BC=2；在Rt△ABE中由勾股定理得AE====2。
☆ 4.三角形中位线与中点四边形
三角形中位线：连接三角形两边中点的线段；中位线平行于第三边且等于第三边的一半
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
中点四边形：顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是平行四边形
原四边形对角线相等时中点四边形为菱形；原四边形对角线互相垂直时中点四边形为矩形
概念辨析例题：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形
答案：四边形EFGH是矩形
解析：由三角形中位线定理，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，故EFGH是平行四边形；又AC⊥BD，EF⊥EH，即∠HEF=90°，所以平行四边形EFGH是矩形。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平行四边形 两组对边分别平行的四边形 对角相等、对边相等、对角线互相平分
菱形 一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直，面积=对角线乘积
矩形 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等，直角三角形斜边中线=斜边一半
正方形 邻边相等且有一个直角的平行四边形 兼具菱形与矩形的所有性质
三角形中位线 平行于第三边且等于第三边的一半 端点必须是两边中点
中点四边形 任意四边形中点连线是平行四边形 原对角线相等→菱形；垂直→矩形
折叠问题 折叠前后对应边相等、对应角相等 常结合勾股定理建立方程
核心考点
【考点1】菱形的性质与计算（第1-12题）
· 菱形四边相等，先由周长或边长确定基本量
· 对角线互相垂直平分，半条对角线与边长构成直角三角形，结合勾股定理求线段
· 面积灵活选用底×高或×对角线乘积
· 求角度利用对角线平分对角、邻角互补及等腰三角形性质
· 对称性问题利用轴对称把阴影面积转化为规则图形
1．（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标是，则顶点，的坐标分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】利用菱形的性质求线段长、坐标与图形综合
【分析】如图：过C作于E，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可解答．
【详解】解：如图：过C作于E，
∵顶点C的坐标是，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，即．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．36
【答案】C
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、中点四边形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．作辅助线，构建四边形，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．
【详解】解：如图：连接、、、，与相交于点O，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，
∴，
同理，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，，
∴
；
故选：C．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．24度 B．25度 C．40度 D．65度
【答案】B
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用菱形的性质求角度、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键；
先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为菱形，，
∴平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：B．
4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、作线段(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可．
【详解】解：如图，连接交于点，
由作图得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
5．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________．
【答案】6
【知识点】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积、利用菱形的性质求面积、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可．
【详解】解：设与相交于点．
∵四边形为菱形，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
．
．
6．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________．
【答案】66
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、作线段(尺规作图)
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________．
【答案】
【知识点】三线合一、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可．
【详解】解：连接交于点F，如图所示：
∵四边形是边长为的菱形，
∴，
∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这个活动衣帽架所围成的面积．
故答案为：．
8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．过点作于点，则的长___________．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理逆定理，菱形的判断和性质，根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到，进而得到四边形为菱形，等积法求出的长即可．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形的面积，
即：，
∴；
故答案为：．
9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知菱形的一条对角线长是，周长是，则它的另一条对角线长是______，面积是________．
【答案】 /16厘米 /96平方厘米
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积
【分析】已知菱形周长和一条对角线长，利用菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求另一条对角线长，再利用菱形面积公式计算面积．
【详解】解：∵菱形周长为，菱形四条边长度相等，
∴菱形边长为，
∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为，
∴这条对角线的一半长度为，
根据勾股定理，可得另一条对角线长度的一半为 ，
∴另一条对角线的全长为，
∵菱形面积等于两条对角线乘积的一半，
∴菱形面积为 ．
10．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，．求的度数．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求角度、直角三角形的两个锐角互余
【分析】先根据菱形性质求出的度数，再利用菱形对角线性质得出的度数，最后结合直角三角形两锐角互余求出的度数．本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对边平行、对角线平分内角是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，平分，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
11．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，．
(1)求的度数；
(2)求对角线的长．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】（）根据菱形的性质得，平分，再由平行线的性质得，即可求出的度数；
（）由菱形性质得，然后利用含角的直角三角形的性质，求得的长，进而求得的长；
此题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴，平分，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
由（）得，
∴，
在中由勾股定理得：，
∴．
12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点为边上的点，，
，
，
，
∵，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
(2)
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可；
（2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得．
【详解】（1）略
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键．
【考点2】菱形的判定与证明（第13-23题）
· 先证平行四边形，再补一组邻边相等或对角线互相垂直
· 直接证四条边相等也是常用思路
· 证明过程中善用全等三角形得到边或角相等
· 尺规作图题注意保留垂直平分线等作图痕迹
· 结合线段垂直平分线性质可直接得到菱形
13．（2025·新疆·二模）在四边形中，与交于点，已知且，下列条件能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、判断能否构成平行四边形、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定、菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定是解题关键．先证明出四边形是平行四边形，再根据选项中的条件逐项判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，，，
A、添加，则，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项A不符合题意；
B、添加，则平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项B不符合题意；
C、添加，则，
∴平行四边形是矩形，故选项C符合题意；
D、添加，则，
∴，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C
14．（2026·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ）
A．若补充“”，则四边形是矩形
B．若补充“”，则四边形是菱形
C．若补充“”，则四边形是矩形
D．若补充“”，则四边形是正方形
【答案】B
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、证明四边形是矩形
【分析】当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确；由，得垂直平分，当添加“”，则，因为，所以，故，故，从而，故四边形是菱形，故选项B正确；当添加“”，因为，所以四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形，故选项C不正确；当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确．
【详解】解：当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确；
，，
垂直平分，
当添加“”，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，故选项B正确；
当添加“”，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故选项C不正确；
当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确．
15．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
【答案】C
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、利用平行四边形的性质证明
【分析】根据菱形的判定和性质一一判断即可得出答案．
【详解】解：．若，则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意；
．∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则是菱形，故该选项不符合题意；
．若，则是矩形，说法正确，故该选项符合题意；
．∵，
∴，，
∵，
∴，
则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意；
16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）在下列图形中：①菱形；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤线段；既是中心对称图形又是轴对称图形的是________．（填写序号）
【答案】①③⑤
【知识点】中心对称图形的识别、利用菱形的性质证明、轴对称图形的识别、矩形性质理解
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义、特殊四边形的定义、等边三角形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；
④平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
⑤线段既是中心对称图形又是轴对称图形；
故答案为：①③⑤．
17．（25-26八年级下·云南红河·期末）已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接；
(1)求证：四边形为矩形；
(2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长；
【答案】(1)证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
(2)
【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形
【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论；
（2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形为菱形，周长为20，
∴，
∵菱形的面积为24，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
18．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在四边形中，．
(1)用无刻度的直尺和圆规作线段的中垂线，分别交边、于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)
由题意，作图如下：
(2)
如图，连接，，
∵垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
【知识点】证明四边形是菱形、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
19．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合．
(1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有；
(2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由．
【答案】(1)
证明：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由如下，
已知，
∴，
∵，
∴，
如图所示，过点作于点G，
∴，，
∴，
∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查菱形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键．
（1）根据题意证明，即可求解；
（2）根据题意得到，即可求解．
【详解】（1） 略
（2） 略
20．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图所示，在菱形中，分别是上的点，且，求的度数．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质证明、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质
【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
先连接，证明，然后推出，证明是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出的度数．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴．
21．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、交于点，交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：四边形是菱形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
(2)
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据菱形对边平行，且对角线互相垂直，得出四边形的两组对边分别平行，即可得证；
（2）根据菱形的判定和性质，得出，，，，再利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是菱形，
，，，，
在中，，
．
22．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线，相交于点O且互相垂直平分．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵对角线，相交于点O且互相垂直平分，
∴是的垂直平分线，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】证明四边形是菱形、线段垂直平分线的性质
【分析】利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即可证明结论
【详解】略．
23．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，E是菱形的边的中点，于点H，交的延长线于点F，交于点G．求证：与互相平分．
【答案】证明：如图，连接，，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵E是菱形的边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【知识点】利用菱形的性质证明、利用平行四边形的性质证明
【分析】连接，，，由菱形的性质可得，，证明四边形是平行四边形，得出，再证明四边形是平行四边形，即可得证．
【详解】略．
【考点3】矩形的性质与判定（第24-31题）
· 矩形四个角都是直角、对角线相等且互相平分
· 对角线交点到各顶点距离相等，常出现等边三角形
· 直角三角形斜边中线等于斜边一半是求线段长的利器
· 判定矩形可证三个角为直角，或证平行四边形再加一个直角/对角线相等
· 折叠问题抓住对应边、对应角相等并结合勾股定理
24．（2026·河南周口·二模）把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角板中角度计算问题、利用矩形的性质证明、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】利用矩形对边平行得，先由邻补角求出，再结合三角形外角性质、等腰直角三角形内角，通过角度转化求．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
是含的直角三角形，，
，
由,得，
，
．
25．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，点是边的中点，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
26．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　）
A．2.5 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据矩形的性质与判定求角度、根据平行线的性质求角的度数、等腰三角形的性质和判定
【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
27．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：．
28．（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为______．（取，取）
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，然后设，在中，利用正切的定义建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则塔的高度为，
故答案为：．
29．（21-22八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，于点E，，若，则______．
【答案】/厘米
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据矩形的性质求线段长
【分析】连接，交于点，设，则，，根据矩形的性质，可得，从而可得点是的中点，进而垂直平分，最后根据垂直平分线的性质，得，则．
【详解】解：连接，交于点，
设，则，，
矩形，
和相等且互相平分，
，
，，
点是的中点，
，
垂直平分，
，
，
，
．
30．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，点在上，连接，是等腰三角形，．若，，则的长为______．
【答案】2
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的边与角的特征是解题关键．
矩形的对角线相等，每个内角都是直角，在直角中，使用勾股定理计算出，结合，计算出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
在直角中，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
31．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：如图所示，连接，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，即，
在中，，
，
．
点F为中点，
点O为中点，
为中位线，
且，
点F是中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形．
(2)
【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（1）连接，证明，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得四边形是矩形；
（2）求得，则可得，再求得，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：，，
，
，
，
点F为中点，
．
在中，．
【考点4】正方形的性质与判定（第32-42题）
· 正方形兼具菱形与矩形全部性质，对角线夹角为45°
· 求线段长优先放在等腰直角三角形中用勾股定理
· 判定可从矩形出发证邻边相等，或从菱形出发证一个直角
· 与一次函数、坐标综合时注意坐标与线段长度的转化
· 证明全等常借助正方形边相等、角为直角的条件
32．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】B
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、证明四边形是矩形、判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B． ∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
33．（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
34．（20-21八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，垂足为F，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出是解题的关键，也是本题的难点．
根据正方形的对角线平分一组对角可得，再根据求出的度数，根据三角形的内角和定理求，从而得到，再根据等角对等边的性质得到，然后求出正方形的对角线，再求出，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵正方形的边长为4，
∴ ，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴ ．
故选：A．
35．（21-22九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且，下列说法错误的是（ ）
A．四边形为平行四边形
B．若为正方形，则四边形为正方形
C．若为矩形，则四边形为矩形
D．若，则四边形为矩形
【答案】C
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是正方形、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】先根据平行四边形的性质证明，则，即可得到四边形为平行四边形；再由对角线相等的平行四边形是矩形判断D；若为正方形，证明，则，，那么四边形是菱形，再证明，即可判断B．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形，故A正确；
若，则四边形为矩形，故D正确；
若为正方形，如图：
∴
∵
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴
∴四边形是正方形，故B正确；
若为矩形，现有条件不足以证明四边形为矩形，故C错误．
36．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将正方形和正方形按如图所示方式放置，点在直线上，点在x轴上．已知点的坐标是，则点的坐标为______．
【答案】
【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查坐标与图形、一次函数的性质及正方形的性质，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．
根据点的特点得出，再由正方形的性质及一次函数得出，最后再由正方形的性质即可求解．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵正方形，
∴，
∵点、均在一次函数的图象上，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
37．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为__________．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质,掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
由题意可证明，即可得出．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由全等三角形的性质得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，且面积为6，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
38．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，
，
，即，
，即是直角三角形，
点H是的中点，
，
故答案为：．
39．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______．
结论①：始终是等腰直角三角形；
结论②：面积的最小值是2；
结论③：四边形OECF的面积始终是8．
【答案】①②/②①
【知识点】点到直线的距离、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
①由题意易证得，则可证得结论①正确；
②由的最小值是到的距离，即可求得的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③由，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项③正确．
【详解】解：四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
故①正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，
故②正确；
，
，
故③错误；
故答案为：①②．
40．（2025·云南·模拟预测）如图，在四边形中，，是的中点，，连接，，过点A，分别作，交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)
证明：如解图，延长，相交于点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形；
(2)12
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）延长，相交于点，可得四边形是平行四边形，证明，可得是等腰直角三角形，，，即得四边形是正方形；
（2）过点作，垂足为点，可得是的垂直平分线，得，， 求出，根据，得， 得，即得．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
由（1）得，，
，
，
，，，
，，
，，
∴，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形综合，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，正方形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，三角形中位线判定和性质，割补法求图形面积，是解题的关键．
41．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出四边形的周长．
【答案】(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
；
(2)．
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用二次根式的性质化简、用SAS证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质证明
【分析】（1）由正方形对角线性质可得，再由可证；
（2）由正方形性质及勾股定理可求得，．再证明四边形为菱形，求出，在中用勾股定理求得，进而根据菱形的周长为，即可求得答案．
【详解】（1）略；
（2）解： ，
，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：，，，
又，
，
即，
故四边形为平行四边形．
，
四边形是菱形，
．
，
故四边形的周长为．
42．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，.
(1)求证：四边形是正方形．
(2)连接，若，求线段的长度．
【答案】(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形.
即四边形是正方形.
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质；
（1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形；
（2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出.
【详解】（1）略
（2）解：过点E作，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，设，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴.
【考点5】折叠问题综合（第43-49题）
· 折叠前后对应边相等、对应角相等，对称轴是对应点连线的垂直平分线
· 设未知数把未知线段用代数式表示，在直角三角形中列勾股方程
· 矩形折叠常出现等腰三角形，正方形折叠常出现45°角
· 多角度折叠时分别标注对应点，避免对应关系混乱
· 求阴影面积常用整体减空白或对称转化
43．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形与折叠问题
【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质得到：，
∴，
∴．
44．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________．
【答案】
【知识点】折叠问题、利用矩形的性质求角度
【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键．
由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的方法可得：，
∴．
故答案为：．
45．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、上，将纸片沿直线折叠，点落在的一点处，点落在点处．有以下三个结论：
①四边形是菱形；
②当时，平分；
③当点与点重合时，；
其中正确的结论有________（把所有正确结论的序号都写在横线上）．
【答案】①②③
【知识点】含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；当时，求出，根据菱形的性质，得到平分，判断出②正确；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的值，判断出③正确．本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故①正确；
∴，，
∵四边形是菱形
∴
∵
平分，故②正确；
点与点重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
，故③正确；
综上所述，结论正确的有①②③．
故答案为：①②③．
46．（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是______．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是______．
【答案】 正方形 菱形
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、折叠问题
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴四边形是菱形，
∵剪口线与折痕夹角的角度为，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
如图，
由题意得：，
∴四边形是菱形，
故答案为：菱形．
47．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，正方形纸片的边长，E是上一点，，折叠正方形纸片，使点B和点E重合，折痕为，试求的长．
【答案】13
【知识点】正方形折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形
【分析】过点F作，垂足为M，连接，证明，得出，根据，，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，过点F作，垂足为M，连接．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵将正方形纸片折叠，使点B落在边上的点E，折痕为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即的长是13．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
48．（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求解答问题：
(1)如图（1），将矩形纸片沿折叠，顶点落在纸片内的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形有哪些性质？
(2)如图（2），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点．展开纸片，得到四边形，这个四边形是正方形吗？为什么？
(3)如图（3），将矩形纸片沿折叠，顶点落在边上的点，顶点落在纸片外的点．展开纸片，得到四边形，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)解：四边形中，，平分和，；
(2)解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠可知，
四边形是矩形，
由折叠可知，
四边形是正方形；
(3)解：四边形是菱形，
证明：如下图所示，连接，
由折叠可知，，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、矩形与折叠问题、折叠问题
【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得四边形的性质：，，平分和，；
（2）根据折叠的性质可证四边形是正方形；
（3）根据折叠的性质和矩形的性质可证，，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证四边形是菱形．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
49．（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，
∴，，
在和中，
，
∴．
(2)证明：由（1）可知，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
(3)
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】（1）根据折叠的性质得出，，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边得出，即可得出结论；
（3），，，利用（2）中结论，设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程求出的值即可得出答案．
【详解】（1）证明：略
（2）证明：略
（3）解：∵把矩形沿对角线所在直线折叠，使点落在点处，，，
∴，，，
由（2）可知，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
【考点6】中点四边形与综合探究（第50-52题）
· 牢记三角形中位线平行且等于第三边一半
· 中点四边形形状由原四边形对角线决定：相等→菱形、垂直→矩形
· 动点问题先找不变量，再分析特殊位置的临界情况
· 综合题常把菱形、矩形、正方形与全等、勾股结合，分步拆解
· 探究题先猜想结论，再用性质或全等证明
50．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．

（1） （2）
【答案】
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则，
利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可．
【详解】解：设点A到的距离为h，
由点F的运动轨迹和速度可知，，且，
解得：，
过点D作交的延长线与点E，
则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：
51．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，点是内一点，连接、，并将、、、的中点、、、依次连接，得到四边形．
(1)若，求的度数；
(2)若为的中点，，和互余，求的长度．
【答案】(1)
(2)6
【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且且，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解；
（2）先判断出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出即可求解．
【详解】（1）解：∵分别是的中点，
，
∵分别是的中点，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴；
（2）解：∵和互余，
，
，
∵为的中点，，
，
由（1）知四边形是平行四边形，
．
52．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知一矩形对角线的长为，求顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长．
【答案】
【知识点】中点四边形
【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：如图所示，在矩形中，点分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∵矩形对角线的长为，
∴，
∴，
∴四边形的周长，
∴顺次连接该矩形四边中点所得的四边形的周长为．
课后巩固
复习建议
· 理清菱形、矩形、正方形的从属关系，性质与判定对照记忆
· 计算线段长优先构造直角三角形，熟练使用勾股定理
· 证明特殊平行四边形先证平行四边形，再补特殊条件
· 折叠问题抓住对应边、对应角相等，设未知数建立方程
· 中点四边形问题回到三角形中位线定理判断形状
【作业1】．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（ ）
A． B．
C．与互相平分 D．
【答案】B
【知识点】添一个条件使四边形是菱形、中点四边形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了中点四边形的性质以及三角形中位线定理和菱形的判定，利用三角形中位线定理以及菱形的判定得出即可．
【详解】解：∵E、F分别是的中点，
∴，，
同理，
∴四边形是平行四边形．
A、添加，则，
∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意；
B、添加，则，
∴四边形是菱形．故选项B符合题意；
C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意；
D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意；
故选：B．
【作业2】．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有条对称轴
【答案】D
【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据正方形和菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意；
B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意；
C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意；
故选：D．
【作业3】．（25-26九年级上·全国·期末）四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．
【答案】D
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形．
【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意；
B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意；
D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意．
故选：D．
【作业4】．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段的和与差、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】利用三角形中位线定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后利用求解．
【详解】解：，分别是，边上的中点，
是的中位线，
，
，
是直角三角形，
是的中点，
，
．
【作业5】．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　）
A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5
【答案】C
【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明
【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，，
∵E为边上一点，且，
∴，
由题意得，则，
当，时，，
∴，
∴；
当，时，，
∴，
∴，
综上，的值为2或4．
故选：C．
【作业6】．（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）下列对矩形的判定：
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形；
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号）
【答案】（2）（4）（5）（8）
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论．
【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确；
∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确；
∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确；
故答案为：（2）（4）（5）（8）．
【作业7】．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据矩形的性质求线段长
【分析】由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵垂直且平分线段，
∴．
【作业8】．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）．
【答案】先变大后变小
【知识点】利用平行四边形的性质求解、中点四边形
【分析】连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴,
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴,
在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短，
∴平行四边形的面积先变大再变小，
∴平行四边形的面积先变大再变小．
【作业9】．（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，已知中，，平分，点为的中点，则______．

【答案】/4厘米
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
根据等腰三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：，平分，
，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
【作业10】．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在边上，且，若，则____________．
【答案】67
【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、三角形内角和定理的应用
【分析】设，根据等边对等角，可得，再由菱形的性质可得，由此可得，再根据三角形内角和为求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，解得，
则 ．
【作业11】．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________．
【答案】30
【知识点】中点四边形
【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．
连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算.
【详解】解：连接
∵ 四边形为矩形，
∴，
∵分别为边的中点
∴
∴
故答案为：30.
【作业12】．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是_________．
【答案】矩形
【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和．
先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】解：∵是边上的中点，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
平分，
同理，，
四边形是矩形．
故答案为：矩形．
【作业13】．（24-25八年级下·山东青岛·期中）在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键．
过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解．
【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【作业14】．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为________．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法等知识点，连接,先证明四边形是矩形，得出,当时最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【详解】解：连接,如图所示：
,
,
,
四边形是矩形，
,
,,,
，
当时，最短，此时的面积,
的最小值,
线段的最小值为，
故答案为：．
【作业15】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交的两边于点，；分别以，为圆心，（或）长为半径作弧，两弧相交于点（非点）；作射线，交前面弧于点，连接，若，则的度数为________．
【答案】
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度、三角形内角和定理的应用
【分析】易得所作四边形是菱形，是等腰三角形，利用菱形的性质、三角形内角和及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：由作图知，，
∴四边形是菱形，且是菱形的对角线，
∴，
由作图知，
∴，
∴．
【作业16】．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）菱形中，于点，交于点，，则________．
【答案】
【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定和性质
【分析】连接，由直角三角形的性质可得，结合菱形的性质容易证明是等边三角形，从而判断垂直平分，则，因此．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【作业17】．（24-25八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的度数．
【答案】(1)
证明： 是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
(2)
【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
．
【作业18】．（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在正方形中，是等边三角形．求证：．
【答案】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理，，
∴．
【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质证明
【分析】结合正方形的性质以及等边三角形的性质，推出，结合等边对等角以及三角形内角和，算得，最后求得，同理可求得，即可得证．
【详解】略
试卷第1页（共3页）
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