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第二章·一元二次方程·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解一元二次方程的概念，能识别一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并由方程的解求待定系数
· 掌握直接开平方法、配方法、公式法与因式分解法，能根据方程特征选择恰当方法求解
· 理解根的判别式 Δ=b2-4ac 的意义，能判断根的情况并由根的情况求参数取值范围
· 掌握根与系数的关系（韦达定理），能求两根之和、两根之积及相关代数式的值
· 能列一元二次方程解决传播、增长率、数字、营销与几何面积等实际问题并检验根的合理性
知识梳理
☆ 1.一元二次方程的概念
定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程
一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项
识别关键：必须同时满足①整式方程②只含一个未知数③未知数最高次数为2④二次项系数 a≠0
方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值；已知方程的根可代入原方程求待定系数
概念辨析例题：关于 x 的方程 (m-1)x|m|+1+2mx-3=0 是一元二次方程，求 m 的值
答案：m=-1
解析：由一元二次方程定义需同时满足：最高次数 |m|+1=2 且二次项系数 m-1≠0。由 |m|+1=2 得 m=±1；又 m-1≠0 即 m≠1，故 m=-1。
☆ 2.一元二次方程的解法
直接开平方法：形如 (x+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方得 x+n=±
配方法：移项后两边同加一次项系数一半的平方，把左边配成 (x+n)2=p 的形式再开方
公式法：求根公式 x=（b2-4ac≥0），先化一般式再代入 a、b、c
因式分解法：把方程右边化为0、左边分解为两个一次因式的积，令每个因式为0求解
方法选择：缺一次项用直接开平方法；易分解用因式分解法；一般情况用公式法；配方法用于推导与配方变形
概念辨析例题：用配方法解方程 x2-6x+5=0
答案：x1=1，x2=5
解析：移项得 x2-6x=-5；两边同加一次项系数一半的平方 32=9，得 x2-6x+9=4，即 (x-3)2=4；开方得 x-3=±2，所以 x1=1，x2=5。
☆ 3.根的判别式与根与系数的关系
判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根
由根的情况求参数：列关于 Δ 的不等式（或等式）求解，注意二次项系数 a≠0 的前提
韦达定理：若方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1、x2，则 x1+x2=-，x1x2=
常用变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；+=
概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，求 x12+x22 的值
答案：11
解析：由韦达定理 x1+x2=3，x1x2=-1；则 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=9+2=11。
☆ 4.一元二次方程的应用
列方程解应用题步骤：审题设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验根是否符合实际→作答
传播/分裂问题：每轮每人传染 x 人，两轮后共有 1+x+x(1+x)=(1+x)2 人患病
增长率（下降率）问题：基数 a，平均增长率 x，两轮后为 a(1+x)2；下降则为 a(1-x)2
面积问题：常借助平移、割补表示矩形长与宽，按面积公式列方程；双循环比赛场数为 x(x-1)
概念辨析例题：某厂一月份产量为 100 吨，三月份产量为 121 吨，求月平均增长率
答案：月平均增长率为 10%
解析：设月平均增长率为 x，则 100(1+x)2=121，(1+x)2=1.21，1+x=1.1（舍去负根），x=0.1=10%。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必须 a≠0
配方法 两边加 ()2 配成完全平方式 二次项系数化为1后再配方
求根公式 x= 先化一般式再代入 a、b、c
判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根
韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提是方程有实数根 Δ≥0
增长率问题 a(1±x)2 下降率用 1-x，负根要舍去
传播问题 (1+x)2 模型 注意首轮与第二轮的传染对象
核心考点
【考点1】一元二次方程的概念与解的判定（第1-5题）
· 判断是否为一元二次方程：看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2且二次项系数不为0
· 由解的定义：把已知根代入原方程，得到关于待定系数的方程再求解
· 求参数时不要漏掉二次项系数 a≠0 这一隐含限制
· 解的估算：借助表格中函数值由正变负（或由负变正）的区间夹逼出近似解
1．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用
【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
2．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ）
x 3 4 5
0.5
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的解的估算
【详解】解：∵当时，，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间，
∴关于的方程的一个解的取值范围是
3．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）对于一元二次方程，有下列说法：
①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b；
②若，则是方程的根；
③若是方程的一个根，且，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解、由一元二次方程的解求参数
【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④．
【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误；
②把代入方程的左边，则，
∵，
∴方程左边等于0，即方程成立，
∴是方程的根，故②正确；
③将代入，则，则，由于，故，故③正确；
④若是一元二次方程的根，则，则
∴，，
∴，故④正确，
∴正确的有3个．
4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）在下列判断中，错误的是（　　）
A．方程是一元二次方程 B．方程是二元二次方程
C．方程是分式方程 D．方程是无理方程
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义、无理方程、分式方程的定义、二项方程
【分析】本题主要考查了方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．
根据一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念逐项排除即可．
【详解】解：、方程是一元二次方程，原选项判断正确，不符合题意；
、方程是二元二次方程，原选项判断正确，不符合题意；
、方程是分式方程，原选项判断正确，不符合题意；
、方程是一元二次方程，原选项判断错误，符合题意；
故选：．
5．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是______；
(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数、化成一元二次方程的一般式
【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程；
（2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数；
（3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值．
【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是；
（2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是，
∵是一元二次方程的倒方程的解，
∴把代入方程，
得，
解得；
（3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是，
∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根，
∴把代入方程，
得，
∴．
【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解．
【考点2】一元二次方程的解法（第6-15题）
· 缺一次项或形如 (x+n)2=p 用直接开平方法；右边为0且左边易分解用因式分解法
· 配方法关键是两边同加一次项系数一半的平方，先把二次项系数化为1
· 公式法对任意一元二次方程都适用，务必先写成一般式认准 a、b、c 及符号
· 换元法：把重复出现的整体设为新元，化繁为简后再回代
· 解方程后养成检验习惯，分式、根式方程要验根，增根舍去
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程和解不等式，利用因式分解将一元二次方程分解，并求得其根，结合已知列出不等式求解即可．
【详解】解：∵．
∴，
则，
∵若方程有一个根小于1，
∴，解得，
故答案为：C．
7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法计算
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故选：C．
8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算
【分析】先根据新定义的运算计算，再根据，即可得关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
即的值为或．
9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，，
当时，
，
舍去，
，
故答案为：．
10．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______．
【答案】
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：∵，
移项，得，
系数化为1，得，
配方，得，
∴．
故答案为：．
11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【答案】(1)
(2)有两个实数根，理由：
由题意可知，，，
∴，
∴原方程有两个实数根．
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
（1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可；
（2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根．
【详解】（1）解：当时，原方程为，即为，
∴，
∴；
（2）略
12．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解答问题：
佳佳解一元二次方程的过程如下：
解：．
，……①
，……②
，……③
……④
或．
．
问题：
(1)佳佳解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法
(2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)B
(2)②；等号右边没有加9
(3)解：．
移项，得，
配方，得，
即，
，
或，
．
【知识点】解一元二次方程——配方法
【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法；
（2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9．
（3）略
13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．
【答案】(1)
是，理由如下：
解：
解得，
两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义
一元二次方程是“逆根方程”；
(2)
方程的两个根为和
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元二次方程
【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可；
（2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根．
【详解】（1）略
（2）解：设方程的两个根为
该方程是“逆根方程”
由一元二次方程根与系数的关系得
，
解得
将代入原方程得：
整理得
由求根公式得
方程的两个根为和．
14．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程无解
(2)，
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、因式分解法解一元二次方程
【详解】（1）解：，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得，
化简，得，
解得，．
15．（26-27九年级上·全国·课后作业）实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
(1)请将解答过程补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米．
(2)探索：
①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8
(2)解：①不会是0.9米，理由如下：
若米，
则（米），（米）．
∵，，
∴，
∴该题的答案不会是0.9米；
②有可能，理由如下：
设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，
则，，，
则有，即，
即，则，
解得，（舍去），
梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等．
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、判断三边能否构成直角三角形、因式分解法解一元二次方程、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得．
（2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可；
②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
由可得，，
则有，即，
可得，
解得，（舍去），
所以点B将向外移动0.8米．
（2）略
【考点3】根的判别式及其应用（第16-20题）
· 先把方程化为一般式，准确写出 a、b、c 再算 Δ=b2-4ac
· 由根的情况反求参数：两个不等实根用 Δ>0，两个相等实根用 Δ=0，无实根用 Δ<0
· 含参数的二次方程求范围时，必须同时保证二次项系数 a≠0
· 新定义、阅读题中先把新运算按规则化为普通方程，再用判别式判断
16．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、新定义下的实数运算
【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
17．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴由根与系数的关系得，
又∵，
∴，整理得：，解得：或，
∵方程有两个实数根，
∴判别式，
，
当时，，此时方程无实数根，舍去；
当时，，符合题意，
∴的值为．
18．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】已知方程为一元二次方程，且有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义，可得根的判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围．
【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得．
19．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且．
三、解答题
20．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先利用韦达定理表示出两根和与积，再将已知等式展开变形，代入两根和与积的表达式，解方程求的值．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，即．
，
解得，
检验：当时，方程的判别式，符合题意；
故．
【考点4】根与系数的关系（韦达定理）（第21-26题）
· 使用韦达定理前先确认方程有实数根，即 Δ≥0
· 熟记两根之和 x1+x2=-、两根之积 x1x2=
· 求值类问题常用恒等变形：和的平方、积的平方、倒数和、对称式等
· 已知根的关系求参数：把条件翻译成含 x1+x2、x1x2 的式子再解方程，最后验根
21．（25-26九年级上·四川泸州·期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数自变量或函数值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的衍生点定义、直线过定点问题及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，正确理解衍生点的定义是解题的关键．
将直线方程化为含参数的形式，求出定点坐标，衍生点即为该定点，从而得方程的两个根，再利用根与系数的关系求b和c．
【详解】解：直线可化为，
则，
解得，
即，
由于直线恒过定点，
则不论为何值，衍生点M始终在该直线上，
即衍生点M的坐标为，
则方程的两个根为、，
由根与系数的关系，得：
，
则，
即，
故选：D．
22．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值．
【详解】∵ 方程的两根为、，
∴ 根据根与系数的关系可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
23．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值．
【详解】解：∵二次函数中，，
∴对称轴为直线，
∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为，
∴另一交点的横坐标为，
即坐标为．
二、填空题
24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】已知，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴根据根与系数的关系可得， ，
∴
．
25．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为．
（1）________；
（2）求代数式的值为________．
【答案】 1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，；
（2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可．
【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为，
则，
，
，
，
；
（2），
，
．
26．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将所求代数式变形为含，的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）解：∵方程的两个根为，，
∴，
由根与系数的关系得：，
∴；
（2）解：结合（1），可得．
【考点5】实际应用——传播、增长率、数字与营销问题（第27-40题）
· 传播问题用 (1+x)2 模型，注意最初患者也算在内
· 增长率（下降率）问题套用 a(1±x)2，增长用 1+x、下降用 1-x
· 数字问题常设两位数为 10a+b，按题意表示个位、十位的数量关系
· 营销利润问题：单件利润×销量=总利润，注意涨价（或降价）对销量的影响
· 解出方程后必须检验根是否符合实际意义，不合理的根要舍去并说明理由
27．（26-27九年级上·全国·课后作业）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【详解】解：设参赛的足球队个数为个，
由题意得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
28．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、求条形统计图的相关数据
【分析】分别计算年和年的空气优良天数的比例即可得出结论．
【详解】解：∵年苏州市空气优良天数的比例为，
又∵年的年平均增长率为，
∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为，
∴可列方程．
29．（25-26九年级上·全国·课后作业）若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ）
A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或
【答案】D
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数．
【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为，
根据题意得：，
展开得：，
∴，
∴
解得：或，
∴当时，较大的奇数为，即和，
当时，较大的奇数为，即和．
故选：D．
30．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：．
故选：D．
31．（25-26八年级下·江苏南通·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为，
初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为，
根据题意得，
整理得，
解得，（舍去），
则每轮传染中平均一个人传染的人数为．
32．（22-23九年级上·江苏南京·期末）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为__________
按照这个增长率，预计月平均日产量为__________个
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量增长后的量，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设口罩日产量的月平均增长率为，根据月及月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用月份平均日产量月份平均日产量（增长率）即可得出答案．
【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为，
依据题意可得：，
解得：，（不合题意舍去），
∴，
故答案为：．
（2）解：依据题意可得：（个），
故答案为：．
33．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________．
【答案】
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件，
因此每天的销售量为件，
已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程．
34．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果．
【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为，
根据题意列方程得：，
∴，
解得，（舍去），
∴这款挂件销量的月平均增长率为．
35．（21-22九年级上·山东青岛·期中）我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得
解得或（舍去）,
．
36．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？
【答案】11
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出一元二次方程是关键；
设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到．
【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人．
最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为．
由题意，，
即，
解得：（舍去），
所以．
答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人．
37．（2026·广西柳州·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME 14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME 14的举办年份．
(1)八进制数123换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)83
(2)9
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、含乘方的有理数混合运算
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得：
；
（2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得：
，
∴，
整理得：，
解得（不符合题意，舍去），
故n的值为9．
38．（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
(1)该品牌头盔销售量的月增长率是______；
(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？
【答案】(1)
(2)该品牌头盔每个售价应上涨10元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价 进价）×销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意得，
整理得，
解得，，
因为尽可能让顾客得到实惠，
所以不合题意，舍去．
所以，元．
答：该品牌头盔每个售价应上涨10元．
39．（25-26九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率．
【答案】
这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可．
【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，
依题意得：，
解得，（舍去）．
答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为．
40．（25-26八年级下·北京昌平·期末）某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率．
【答案】
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【详解】解：设参赛人数的年平均增长率为，
则，
解得：，（舍），
答：参赛人数的年平均增长率为．
【考点6】几何与动态应用问题（第41-52题）
· 面积问题：通过平移、割补把分散的边长表示出来，再按面积公式列方程
· 动点问题：用时间 t 表示相关线段长度，按等量关系列方程并讨论取值范围
· 围栏、道路、彩条类问题注意重叠部分不要重复计算
· 几何综合题常把判别式、勾股定理与列方程结合，先表示线段再列式
· 结果要结合图形判断：长度为正、根符合动点运动范围才保留
41．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为________．
【答案】和
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程．
设，则，根据等面积法计算即可．
【详解】解：设，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，，
∵
∴
整理得：，
解得：，，
故答案为：和．
42．（25-26九年级上·山西忻州·期中）在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______．

【答案】2
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意，得．
整理，得．
解得（舍去），，
则剪去小正方形的边长是．
故答案为：2．
43．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________；
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、化成一元二次方程的一般式
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出，设，则，，根据栅栏总长为米得出，则，进而根据总区域面积为平米，列出方程，再化为一般式即可求解．
【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形的面积是矩形的倍，
∴，
∴；
设，则，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∵总区域面积为平米，
∴，即；
∴
即．
故答案为：．
44．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米．
【答案】/
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可．
【详解】解：设条纹的宽度为米，
依题意得 ，
解得：(不符合，舍去)，，
答：配色条纹宽度为米．
45．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长
【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键．
【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，，
∴矩形的长为，
根据矩形和正方形的面积相等，得，
整理得，
解得，（舍去），
∴．
46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，
根据题意，得，
解得，．
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为．
47．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得．
【详解】解：关于的方程可转化为，即，
则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为，
∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，
∴，，
∴，
解得，
则关于的方程的正数解为，
故答案为：．
48．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____．
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是，宽为，然后根据长方形的面积长宽，可以列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：．
49．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米．
【答案】1
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可．
【详解】解：设石板小径的宽度为米，
根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形，
草坪总面积为平方米，
石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的，
列方程得： ，
解得： ，
当时，，不合题意，舍去，
所以．
即石板小径的宽度为1米．
50．（2024·广东湛江·模拟预测）综合与实践
主题：如何制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）．
实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）．
问题解决：
(1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ；
(2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④．
【答案】(1)520
(2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、由展开图计算几何体的表面积
【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可；
（2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可．
【详解】（1）解：（），（），
（），
则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520；
（2）解：设剪去的小正方形的边长为，
由题意得，，
，（不合题意，舍去），
即剪去的小正方形的边长为12cm，
此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12．
，，，
冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里．
51．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且．若这艘轮船自点A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，请求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
【答案】
解：不会遇到台风．理由如下：
如图，假设途中会遇到台风，且最初遇到台风时轮船从点处开始航行了，
此时轮船位于点处，台风中心移动到点处，连接，
则 ，.
，
，
整理，得．
，
方程无实数根，
轮船在途中不会遇到台风．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的实际运用，找量关系列出方程是解题的关键．
设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】略
52．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．
(1)如图①，当时，
①___________米（用含的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．
(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．
【答案】(1)①；②米
(2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到平方米，
∵长为米，
∴，
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）①利用“的长 的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长；
②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论；
（2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确．
【详解】（1）解：①依题意，得：（米）；
②依题意，得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
∴的长为米；
（2）略．
课后巩固
复习建议
· 概念题先抓 a≠0 与最高次数为2，由根代入求系数时不要漏条件
· 解方程先观察方程特征再选方法，公式法通用但要认准 a、b、c 的符号
· 判别式与韦达定理使用前都要确认方程为一元二次方程且有实数根
· 应用题建模后必须检验根是否符合实际，负根、不合范围的根要舍去
· 对称式求值牢记用和与积的恒等变形，避免求出两个根再代入
【作业1】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解的估算
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．
利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解．
【详解】解：∵时，，时，；
∴一元二次方程的一个解为，更接近，
∴方程的一个近似解是．
故选：C．
【作业2】．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）人
A．2 B．8 C．10 D．4
【答案】B
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用-传播问题，根据题意列出方程是解题的关键．
设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意建立方程求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染后，患病人数为人，
第二轮传染时，每人传染人，新增人，总人数为：，
根据题意，有：，
解得：或（舍去），
因此，每轮传染中平均一个人传染了人．
故选：B．
【作业3】．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程的根为（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程 ，解题的关键是能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特运用因式分解法即可解答．
【详解】解：
∴或
∴，
故选：B．
【作业4】．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题．
【详解】解： ，
，
即有，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程两个不相等的实数根异号，
方程有一个正根， 一个负根，
故选：C．
【作业5】．（2023·四川眉山·模拟预测）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项.
【详解】解：∵方程的两实根为、，
∴，；
对选项A：，A正确；
对选项B：，B正确；
对选项C：，C正确；
对选项D：，D不正确.
【作业6】．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数
【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值．
【详解】解：把代入得，
因式分解得，
解得，，
原方程是关于的一元二次方程，
，
即，
因此．
【作业7】．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________．
【答案】100
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：，
解得：，（不合题意舍去），
故最小的数为：9，
中间一行的数字分别为：15，16，17，18，
最大的数为：25，
故这6个数的和为：．
故答案为：100．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
【作业8】．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________．
【答案】1
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：原方程为，
移项得，
配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
即 ，整理为 的形式得，
，，
则，
因此．
【作业9】．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，即，
∵，是方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系得，
∴．
【作业10】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________．
【答案】5或
【知识点】换元法解一元二次方程
【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可．
【详解】解：设，则原方程可化为，
展开整理得，即，因式分解得，
解得或，
因此的值为或．
【作业11】．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________．
【答案】1
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．
直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，
即，
解得：或（舍），
故答案为：1．
【作业12】．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】，一元二次方程的二次项系数不为，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，据此列出关于的不等式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得，
综上可得的取值范围是且．
【作业13】．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为．
【答案】4或6
【知识点】含30度角的直角三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键．
设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解．
【详解】解：设经过时间为，过点F作于点D，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
即经过或后，的面积恰为．
故答案为：4或6．
【作业14】．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件．
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
【答案】(1)平均下降率为
(2)单价应降低元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可；
（2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：平均下降率为．
（2）设单价应降低元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴；
答：单价应降低元．
【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)原方程没有实数根
(4)
【知识点】公式法解一元二次方程
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：
（2）解：
∵，
∴，
∴，
解得：
（3）解：，
∵，
∴，
∴原方程没有实数根；
（4）解：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【知识点】解一元二次方程——配方法
【详解】（1）解：，
，
，
即，
∴，
解得；
（2）解：，
，
，
解得；
（3）解：
，
即
解得；
（4）解：
，
即
解得．
【作业17】．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；
(3)能否围成面积为的花圃？请说明理由．
【答案】(1)米
(2)花圃的长为9米，宽为5米
(3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下：
当花圃的面积刚好为时，
，
化简得：，
∴，
∴该方程没有实数解，
∴不能围成面积为的花圃．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米；
（2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
【详解】（1）解：∵宽米，
∴长（米）；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
当时，长，不合题意，舍去；
当时，长，符合题意；
答：花圃的长为9米，宽为5米．
（3）略
【作业18】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
【答案】(1)
证明：∵，
，
该方程总有两个实数根；
(2)
的值为或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根；
（2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值.
【详解】（1）略
（2）解：
，
解得，，
方程的一个根是另一个根的倍，
分两种情况讨论： 当时，，解得；
当时，，解得；
综上，的值为或.
试卷第1页（共3页）
1第二章·一元二次方程·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解一元二次方程的概念，能识别一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并由方程的解求待定系数
· 掌握直接开平方法、配方法、公式法与因式分解法，能根据方程特征选择恰当方法求解
· 理解根的判别式 Δ=b2-4ac 的意义，能判断根的情况并由根的情况求参数取值范围
· 掌握根与系数的关系（韦达定理），能求两根之和、两根之积及相关代数式的值
· 能列一元二次方程解决传播、增长率、数字、营销与几何面积等实际问题并检验根的合理性
知识梳理
☆ 1.一元二次方程的概念
定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程
一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项、a 是二次项系数，bx 是一次项、b 是一次项系数，c 是常数项
识别关键：必须同时满足①整式方程②只含一个未知数③未知数最高次数为2④二次项系数 a≠0
方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值；已知方程的根可代入原方程求待定系数
概念辨析例题：关于 x 的方程 (m-1)x|m|+1+2mx-3=0 是一元二次方程，求 m 的值
答案：m=-1
解析：由一元二次方程定义需同时满足：最高次数 |m|+1=2 且二次项系数 m-1≠0。由 |m|+1=2 得 m=±1；又 m-1≠0 即 m≠1，故 m=-1。
☆ 2.一元二次方程的解法
直接开平方法：形如 (x+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方得 x+n=±
配方法：移项后两边同加一次项系数一半的平方，把左边配成 (x+n)2=p 的形式再开方
公式法：求根公式 x=（b2-4ac≥0），先化一般式再代入 a、b、c
因式分解法：把方程右边化为0、左边分解为两个一次因式的积，令每个因式为0求解
方法选择：缺一次项用直接开平方法；易分解用因式分解法；一般情况用公式法；配方法用于推导与配方变形
概念辨析例题：用配方法解方程 x2-6x+5=0
答案：x1=1，x2=5
解析：移项得 x2-6x=-5；两边同加一次项系数一半的平方 32=9，得 x2-6x+9=4，即 (x-3)2=4；开方得 x-3=±2，所以 x1=1，x2=5。
☆ 3.根的判别式与根与系数的关系
判别式 Δ=b2-4ac：Δ>0 时方程有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根
由根的情况求参数：列关于 Δ 的不等式（或等式）求解，注意二次项系数 a≠0 的前提
韦达定理：若方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1、x2，则 x1+x2=-，x1x2=
常用变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；+=
概念辨析例题：已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1、x2，求 x12+x22 的值
答案：11
解析：由韦达定理 x1+x2=3，x1x2=-1；则 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-1)=9+2=11。
☆ 4.一元二次方程的应用
列方程解应用题步骤：审题设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验根是否符合实际→作答
传播/分裂问题：每轮每人传染 x 人，两轮后共有 1+x+x(1+x)=(1+x)2 人患病
增长率（下降率）问题：基数 a，平均增长率 x，两轮后为 a(1+x)2；下降则为 a(1-x)2
面积问题：常借助平移、割补表示矩形长与宽，按面积公式列方程；双循环比赛场数为 x(x-1)
概念辨析例题：某厂一月份产量为 100 吨，三月份产量为 121 吨，求月平均增长率
答案：月平均增长率为 10%
解析：设月平均增长率为 x，则 100(1+x)2=121，(1+x)2=1.21，1+x=1.1（舍去负根），x=0.1=10%。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 二次项系数必须 a≠0
配方法 两边加 ()2 配成完全平方式 二次项系数化为1后再配方
求根公式 x= 先化一般式再代入 a、b、c
判别式 Δ=b2-4ac Δ<0 时无实数根
韦达定理 x1+x2=-，x1x2= 前提是方程有实数根 Δ≥0
增长率问题 a(1±x)2 下降率用 1-x，负根要舍去
传播问题 (1+x)2 模型 注意首轮与第二轮的传染对象
核心考点
【考点1】一元二次方程的概念与解的判定（第1-5题）
· 判断是否为一元二次方程：看是否整式方程、只含一个未知数、最高次数为2且二次项系数不为0
· 由解的定义：把已知根代入原方程，得到关于待定系数的方程再求解
· 求参数时不要漏掉二次项系数 a≠0 这一隐含限制
· 解的估算：借助表格中函数值由正变负（或由负变正）的区间夹逼出近似解
1．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（ ）
x 3 4 5
0.5
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）对于一元二次方程，有下列说法：
①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b；
②若，则是方程的根；
③若是方程的一个根，且，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25八年级下·上海·阶段检测）在下列判断中，错误的是（　　）
A．方程是一元二次方程 B．方程是二元二次方程
C．方程是分式方程 D．方程是无理方程
5．（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是______；
(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值．
【考点2】一元二次方程的解法（第6-15题）
· 缺一次项或形如 (x+n)2=p 用直接开平方法；右边为0且左边易分解用因式分解法
· 配方法关键是两边同加一次项系数一半的平方，先把二次项系数化为1
· 公式法对任意一元二次方程都适用，务必先写成一般式认准 a、b、c 及符号
· 换元法：把重复出现的整体设为新元，化繁为简后再回代
· 解方程后养成检验习惯，分式、根式方程要验根，增根舍去
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法计算
8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____．
9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如果最简根式与是同类二次根式，则________．
10．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______．
11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)当时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
12．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解答问题：
佳佳解一元二次方程的过程如下：
解：．
，……①
，……②
，……③
……④
或．
．
问题：
(1)佳佳解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法
(2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________；
(3)请写出正确的解答过程．
13．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．
14．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
15．（26-27九年级上·全国·课后作业）实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
(1)请将解答过程补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米．
(2)探索：
①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
【考点3】根的判别式及其应用（第16-20题）
· 先把方程化为一般式，准确写出 a、b、c 再算 Δ=b2-4ac
· 由根的情况反求参数：两个不等实根用 Δ>0，两个相等实根用 Δ=0，无实根用 Δ<0
· 含参数的二次方程求范围时，必须同时保证二次项系数 a≠0
· 新定义、阅读题中先把新运算按规则化为普通方程，再用判别式判断
16．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
17．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
18．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．
19．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．
20．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程．若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值．
【考点4】根与系数的关系（韦达定理）（第21-26题）
· 使用韦达定理前先确认方程有实数根，即 Δ≥0
· 熟记两根之和 x1+x2=-、两根之积 x1x2=
· 求值类问题常用恒等变形：和的平方、积的平方、倒数和、对称式等
· 已知根的关系求参数：把条件翻译成含 x1+x2、x1x2 的式子再解方程，最后验根
21．（25-26九年级上·四川泸州·期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，（）分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线上，则b，c的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．（25-26八年级下·福建福州·期末）若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
23．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______．
25．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为．
（1）________；
（2）求代数式的值为________．
26．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【考点5】实际应用——传播、增长率、数字与营销问题（第27-40题）
· 传播问题用 (1+x)2 模型，注意最初患者也算在内
· 增长率（下降率）问题套用 a(1±x)2，增长用 1+x、下降用 1-x
· 数字问题常设两位数为 10a+b，按题意表示个位、十位的数量关系
· 营销利润问题：单件利润×销量=总利润，注意涨价（或降价）对销量的影响
· 解出方程后必须检验根是否符合实际意义，不合理的根要舍去并说明理由
27．（26-27九年级上·全国·课后作业）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
28．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（25-26九年级上·全国·课后作业）若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ）
A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或
30．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（25-26八年级下·江苏南通·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A． B． C． D．
32．（22-23九年级上·江苏南京·期末）某口罩生产厂生产的口罩月平均日产量为个，月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从月起扩大产能，月平均日产量达到个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为__________
按照这个增长率，预计月平均日产量为__________个
33．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________．
34．（25-26八年级下·山东东营·期末）黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________．
35．（21-22九年级上·山东青岛·期中）我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________．
36．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？
37．（2026·广西柳州·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME 14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME 14的举办年份．
(1)八进制数123换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
38．（25-26八年级下·陕西西安·期末）西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
(1)该品牌头盔销售量的月增长率是______；
(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？
39．（25-26九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率．
40．（25-26八年级下·北京昌平·期末）某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率．
【考点6】几何与动态应用问题（第41-52题）
· 面积问题：通过平移、割补把分散的边长表示出来，再按面积公式列方程
· 动点问题：用时间 t 表示相关线段长度，按等量关系列方程并讨论取值范围
· 围栏、道路、彩条类问题注意重叠部分不要重复计算
· 几何综合题常把判别式、勾股定理与列方程结合，先表示线段再列式
· 结果要结合图形判断：长度为正、根符合动点运动范围才保留
41．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为________．
42．（25-26九年级上·山西忻州·期中）在手工课上，小明用一张长、宽的长方形硬纸板制作无盖长方体纸盒．制作方法是：在硬纸板四个角剪去大小相同的正方形，折起四边（接口忽略不计）．若纸盒的底面积为，则剪去的正方形的边长为______．

43．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________；
44．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米．
45．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm．
46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为．
47．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为______．
48．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，小明同学用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为_____．
49．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米．
50．（2024·广东湛江·模拟预测）综合与实践
主题：如何制作收纳盒，收纳玩具．
素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）．
实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）．
问题解决：
(1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ；
(2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④．
51．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且．若这艘轮船自点A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，请求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
52．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米．
(1)如图①，当时，
①___________米（用含的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长．
(2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．
课后巩固
复习建议
· 概念题先抓 a≠0 与最高次数为2，由根代入求系数时不要漏条件
· 解方程先观察方程特征再选方法，公式法通用但要认准 a、b、c 的符号
· 判别式与韦达定理使用前都要确认方程为一元二次方程且有实数根
· 应用题建模后必须检验根是否符合实际，负根、不合范围的根要舍去
· 对称式求值牢记用和与积的恒等变形，避免求出两个根再代入
【作业1】．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【作业2】．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（ ）人
A．2 B．8 C．10 D．4
【作业3】．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程的根为（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【作业4】．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【作业5】．（2023·四川眉山·模拟预测）若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【作业6】．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____．
【作业7】．（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________．
【作业8】．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________．
【作业9】．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______．
【作业10】．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________．
【作业11】．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为___________．
【作业12】．（25-26八年级下·山东威海·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______________．
【作业13】．（24-25八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过________s后，的面积恰为．
【作业14】．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件．
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业17】．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；
(3)能否围成面积为的花圃？请说明理由．
【作业18】．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
试卷第1页（共3页）
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