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专题三·期中综合复习·满分压轴讲义
（第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 综合运用矩形、菱形、正方形的性质解决折叠与线段最值问题
· 灵活运用相似三角形判定与性质解决复杂几何综合题
· 掌握一元二次方程在动态几何与实际问题中的应用
· 理解位似、投影、三视图与黄金分割的综合运用
· 养成先画图、再列式、后检验的压轴题解题习惯
知识梳理
☆ 1.特殊平行四边形综合
折叠、旋转、平移中的全等关系与勾股定理应用
线段最值：利用对称点构造，结合三角形三边关系
矩形、菱形、正方形的判定与性质的交替使用
坐标系中矩形、菱形的坐标计算
概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在BC上，将△ABE沿AE折叠使点B落在对角线AC上的点F处，求BE的长
答案：BE=
解析：折叠得AF=AB=4，BF=AE垂直平分，AC=2，CF=2，设BE=x，则EF=x，EC=6-x，在Rt△EFC中用勾股定理列方程求解。
☆ 2.相似三角形综合
动点问题中的相似：以时间或路程为未知数，由相似列比例方程
相似与二次根式化简、勾股定理结合运算
相似多边形性质：对应边成比例，面积比等于相似比的平方
作垂线、尺规作图与相似判定的综合运用
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从A出发沿AB向B运动，过P作PQ⊥AB交BC于Q，求△BPQ与△BAC相似时AP的长
答案：AP=或AP=
解析：分两种情况：∠BQP=∠BAC或∠BQP=∠BCA，由相似列比例方程求解，注意检验点P在AB上的运动范围。
☆ 3.一元二次方程与动态几何
动态几何问题：设时间或路程为未知数，由面积、距离等条件列方程
台风影响、追击相遇等实际问题：建立一元二次方程模型
解的取舍：检验解是否符合运动范围与实际问题
函数解析式与一元二次方程结合求最值
概念辨析例题：一个直角三角形的面积为24，两直角边之差为2，求两直角边的长
答案：两直角边分别为6和8
解析：设较短直角边为x，则较长边为x+2，x(x+2)=24，解得x=6（x=-8舍去）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
折叠问题 翻折前后图形全等 折痕垂直平分对应点连线
线段最值 对称点+三边关系 动点位置需分类讨论
动点相似 相似比列比例方程 检验解的运动范围
动态面积 面积公式列一元二次方程 注意解的实际意义
台风问题 距离=速度×时间 代入勾股定理列方程
黄金分割 较长:全长=较短:较长
核心考点
【考点1】矩形、菱形、正方形的性质与判定（第1-19题）
· 折叠问题找对称轴与全等，构造直角三角形用勾股定理
· 线段最值问题利用对称点与三角形三边关系
· 坐标系中利用矩形、菱形性质求坐标
1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，若，设与交于点N，与交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长
【分析】取的中点，连接，由题意得是的中位线，根据中位线的性质得到的值，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】取的中点，连接，
四边形是正方形，，
，
M是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（20-21八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与旋转规律问题、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质分别求出点、、、、、、的坐标，根据翻折的规律可知第次翻折是第次循环中的第次翻折，得到点的坐标．
【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴，
由图可知，第一次翻折得到菱形，
四边形是菱形，，
，
又，
是等边三角形，
，
由翻折可知，
轴，
，
，，
，
点的坐标为，点的坐标为，
第二次翻折得到菱形，
点的坐标为，
第三次翻折得到菱形，
点的坐标为，
第四次翻折得到菱形，
点的坐标为，
第五次翻折得到菱形，
点的坐标为
第六次翻折得到菱形，
点的坐标为，
由翻折可知，
，
是等边三角形，，
，
，
，
的坐标为，
每翻折次，菱形向右平移个单位长度，
，
第次翻折是第次循环中的第次翻折，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：D．
3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得点共线，，，，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，则垂直平分，由此即可判断①正确；假设成立，根据全等三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边大于直角边可得，由此即可判断②错误；先证出，根据全等三角形的性质可得，则可证四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得③正确．
【详解】解：如图，连接，
∵在矩形中，为对角线中点，
∴点共线，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，，则结论①正确；
假设成立，则，
在中，，与矛盾，
∴假设不成立，则结论②错误；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，则结论③正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：B．
4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度
【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，则，故①正确；
延长至，使得，连接，，
过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，
∴，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，则，
∴为等腰直角三角，则，
又∵，
∴，
∴，则，
即：，
∴，故③正确；
由上可知，则，
在上取，可知，
∴，，则，
过点作交于，则为等腰直角三角形，
∴，，则，
又∵，，
∴，
∴，则，
∴，故②正确；
在取，则为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．
5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键．
作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ．
【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形中，，且，
∴，
∴，
∴，
∴当点E在线段上时，取得最小值17．
故选：C．
6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论
①
②若，则四边形为平行四边形
③若，则四边形是菱形
④若四边形是正方形，则．
⑤若，，，则四边形的面积是60
其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．逐个分析判断，即可解答．
【详解】解：①∵是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴，
∴，
同理可证，得，
由，，即可得出四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是平行四边形．
故②正确．
由②知，四边形是平行四边形，
∴当时，，
∴平行四边形是菱形，
故结论③正确；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
故④正确．
过点E作，交的延长线于点M，如图
∴，
∵，，，
∴，，
即，
∴是直角三角形，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故⑤错误，
综上所述，①②③④正确，
故选：C．
7．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若将沿折叠，点恰好与点重合．
结论Ⅰ：平行四边形为菱形；
结论Ⅱ：的度数为度．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【知识点】等边对等角、折叠问题、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形
【分析】由平行四边形的性质得，，可证明，由折叠得，，则，，于是得，则，，进而得出得出，根据折叠得出，进而得出，即可证明平行四边形为菱形，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
由折叠得，，
，，
，
，
，故结论正确，
，
将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，
，
平行四边形是菱形，故结论正确
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．
（1）若，，则的长为____________．
（2）在（1）的条件下，已知是线段上的一点，且，则的长为____________．
【答案】 1或3
【知识点】二次根式的乘除混合运算、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积
【分析】（1）先通过对角线垂直的平行四边形为菱形证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质，勾股定理，结合已知线段的长度可得对角线的长，最后根据等面积法即可求解；
（2）根据菱形的性质，勾股定理可得的值，分类讨论：当点在线段上；当点在线段上；根据线段的和差运算即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，，
是菱形，
，，．
，，
，．
在中，，
．
交的延长线于点，
，
，
，
．
（2），，，
．
当点在线段上时，；
当点在线段上时，．
故的长为或．
【点睛】本题主要考查平行四边形，菱形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高，分类讨论思想的综合，掌握菱形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是正方形、线段垂直平分线的性质、证明四边形是矩形
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件．
由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形．
【详解】解：添加条件：（答案不唯一）．
证明：∵，垂直平分，，
，，
四边形为矩形，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又四边形为矩形，
∴四边形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，是的平分线，过点P作，交延长线于点Q．若，则________．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
过点作，交于点，证明是菱形，利用菱形的性质得出相等的边，再利用直角三角形的性质得到，然后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
,
∴,
故答案为：．
11．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____．
【答案】27
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，根据矩形的性质可求，，根据勾股定理可求，根据直角三角形的性质可求，根据三角形三边关系可求得当点，，共线时，有最大值，即．
【详解】如图，取的中点，连接．
四边形是矩形，，．
点分别为的中点，，
，
由勾股定理得．
在中，为的中点，
，
当点，，三点共线时，取最大值，最大值为：．
故答案为：27．
12．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，连接、，，点是的中点，于点．若．则的面积为___________．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】可证明平行四边形是菱形，则，进而得到；证明是等边三角形，得到，则，据此求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平移解决实际问题、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键．
连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值．
【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形，
，，
，
，，
，
∵在菱形中，，
∴是等边三角形，
∴，
，
∵在菱形中，，
∴在中，，
∴，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
即的最小值为．
故选：D．
14．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在四边形中，有以下四个条件：①； ②； ③； ④．从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是________________________________．（请写出全部正确答案）
【答案】①③④
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形
【分析】先利用平行线的性质和全等三角形的判定证明四边形是平行四边形，再结合对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，逐一验证所有组合即可．
【详解】解：逐一验证所有选取三个条件的组合：
选取条件①③④：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，此组合符合要求；
选取条件①②③：满足，，的四边形可以是等腰梯形，等腰梯形不是矩形，此组合不符合要求；
选取条件①②④：满足，，仅能判定四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，此组合不符合要求；
选取条件②③④：满足，，无法证明四边形是平行四边形，也无法判定为矩形，此组合不符合要求．
15．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据三角函数值判断锐角的取值范围、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】连接，过O作于H，根据直角三角形斜边中线的性质求出，，在中，，当最大时，最大，而在中，，则的最大值为，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过O作于H，
∵，，E、F分别是和的中点，
∴，，
在中，，
∴当最大时，最大，
在中，，
∴当H、E重合时，取最大值，最大值为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，正弦，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，连接，则的最小值是______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，
则，
∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长．
在矩形中，，
过点作的垂线，交的延长线于点，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∴．
∴的最小值是．
17．（21-22八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒．
(1)的长为________．
(2)求的长（用含t的代数式表示）．
(3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值．
【答案】(1)5
(2)当时，；当时，
(3)或或
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、列代数式、等腰三角形的定义
【分析】（1）D作，证明四边形是矩形，求出和，利用勾股定理即可求解；
（2）分情况讨论进行求解；
（3）分和两种情况，根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点D作，垂足为E，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：当时，；
当时，，
（3）解：①，
则，
∴，
∴；
②，则，
∴或，
∴或；
综上：当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或或．
18．（22-23九年级上·山东青岛·阶段检测）已知，如图①，在矩形中， ，，将沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题：
(1)当t为何值时，点C在的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，是直角三角形；
(3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式．
【答案】(1)秒
(2)或秒
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、函数解析式、化为最简二次根式、根据矩形的性质求线段长
【分析】（1）由点C在的垂直平分线上，则，根据矩形性质和平移性质，用含t的式子表示出和的长度，再列方程求解即可；
（2）由是直角三角形，分两种情况讨论：和，分别针对两种直角情况利用直角三角形的性质即可求解；
（3）由题意得，则以为底，与之间的距离为高，用含t的式子表示出的底和高，即可得与的函数关系式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得，，，则，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，即，
解得，
∴当秒时，点C在的垂直平分线上．
（2）解：当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
∵，
∴，此情况不存在；
综上所述，当或秒时，是直角三角形．
（3）解：过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
由题意得，
∴点到的距离等于，
∴，
∴y与t之间的函数关系式为．
【点睛】将动态的平移转化为用时间表示线段的长度，在判断是直角三角形时，分类讨论必须对三个角分别为直角的情况进行，避免遗漏，利用平行线间距离相等对的高进行转化是解题的关键．
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合．
(1)求点的坐标和的度数；
(2)求矩形的边与的长；
(3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
【答案】(1)F点坐标：，；
(2)，；
(3)．
【知识点】函数解析式、一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，求函数解析式，
（1）由于直线：与直线：相交于点，因而联立两解析式组成方程组求得解即为点的坐标．过点作直线垂直轴交轴于，通过坐标值间的关系证得，从而得到是等腰直角三角形，；
（2）首先求得（或）点的坐标、再依次求得点、、的坐标．并进而得到与的长；
（3）首先将动点、用时间来表示．①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为；③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交．三种情况讨论解得关于的函数关系式．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，，
点坐标：；
过点作直线垂直轴于，，是等腰直角三角形，；
（2）由图可知点的坐标为，则点的横坐标为，
点在直线上，
点的坐标为，
由图可知点与点的纵坐标相同，且点在直线上，
点的坐标为，
由图可知点与点的横坐标相同，且点在轴上，
点的坐标为，
，；
（3）点是与轴的交点；
点的坐标为，
，
若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，
当秒时，移动的距离是，则点的坐标为，点的坐标为；
①在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么，即时，点的坐标为，点的坐标为，
，
②在运动到秒，若边与相交设交点为，与相交设交点为，那么且，即时，
点的坐标为，点的坐标为，
，
③在运动到秒，若边与相交设交点为，与不相交，那么且，即时．
点的坐标为，
，
综上所述关于的函数关系式
【考点2】相似三角形的判定与性质（第20-32题）
· 动点问题设未知数，由相似列比例方程
· 相似与勾股定理、二次根式结合运算
· 两角对应相等是最常用判定
20．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．根据中位线的性质可得，进而证明得出，，设，则，，进而表示出的面积，即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∴
∴，
∴
设，则，
∴
∴
故选：D．
21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是30，则四边形的面积为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵阴影部分的面积是30，
∴，
∴，
；
故选：C．
22．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，
是的中点，
，则，
，
，
，
．
23．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点，，分别在直线，，上，交于点，交于点，分别交直线，于点，，若四边形的面积为2，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，解题关键是分析出平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
根据以及每相邻两条直线之间的距离均相等，得到分别为各边中点，为中点，即可证明，可得，同理得到，再推出，可利用得到方程，解之可得．
【详解】解：∵，每相邻两条直线之间的距离均相等，
∴分别为各边中点，为中点，
∴，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
故选：D．
24．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】利用两角对应相等判定相似
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可.
【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法：
，，，可得，，.
25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：由题意，得，．
，，
．
①当时，
，
，
，
，
解得；
②当时，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的值为或2．
26．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都对
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，，
∴；
，
∴；
∵，
∴；
∴，
∴该选项错误，不符合题意；
B.∵，
∴与不相似，
该选项错误，不符合题意；
C.令，由勾股定理得，
∵，
∴，且，
∴，
∴该选项正确，符合题意；
故选：C．
27．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______．
【答案】
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点D作，交于H，
则，
是的边的中点，
，
，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
28．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____．
【答案】
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、三角形内角和定理的应用
【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出和的度数；利用已知等式及推出对应边成比例，结合夹角相等证明；根据相似三角形的性质得到，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
．
29．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________．
【答案】/
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由平行线分线段成比例得到，证明，求得，当时，有最小值， 有最小值，此时点与重合，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
在菱形中，，
，
在中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，有最小值，此时点与重合，
的最小值为，
的最小值是．
30．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）矩形中，，，点是边上三等分点，连接、交于点，则线段的长为________．
【答案】或
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、根据矩形的性质求线段长
【分析】分和两种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】四边形是矩形，，，
，，，，
点是边上三等分点，
分两种情况进行讨论：
①如图1，

当时，，
，
∵，
，
，
，
②如图2，

当时，，
，
∵，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
31．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．并求的值．
【答案】(1)
证明：∵，
∴．
(2)
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴．
【知识点】角平分线的有关计算、利用两角对应相等判定相似、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
（1）由即可证明结论；
（2）由可得，由角平分线的性质可得，可证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
32．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．
(1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示）
(2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G．
证明：点G为边的中点；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，
①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系；
②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G为边的中点；
(3)①，；②的最小值为．
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、相似多边形的性质
【分析】（1）设．利用矩形的性质得出，，再根据矩形矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，进一步可得出答案；
（2）根据矩形的性质以及直角三角形两锐角互余结合相似三角形的判定方法证明，由相似三角形的性质得出，得出，进一步可说明点G为边的中点；
（3）①设，在中，，构建方程求出y，再证明，再得出，根据相似三角形的性质可得出答案；
②取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可．
【详解】（1）解：设．
∵，矩形矩形，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：①连接交于点O，如下图：
由翻折变换的性质可知，，
设，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②取的中点，连接，
由折叠的性质知，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即取得最小值，最小值为，
∵，
∴的最小值为．
【考点3】一元二次方程与动态几何问题（第33-41题）
· 设时间或路程为未知数列方程
· 面积、距离条件转化为方程
· 检验解是否符合运动范围与实际问题
33．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围．
【详解】解：是二次方程，
，解得．
二次方程有两根，
．
即．
或．
解，得．
解，得且，不合题意舍去．
实数m的取值范围为．
34．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为．
（2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．
【答案】 2秒 或
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题
【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想．
（1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可；
（2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为，
设运动时间为秒，，根据题意得，
，，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得或（舍去），
故答案为：2秒；
（2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，
∴结合（1）得，，
解得；
当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，
∴结合（1）得，，
解得；
综上，或，
故答案为：或．
35．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．
【答案】(1)；
(2)
解：是方程的一个根，
，，
，
整理得：，
解得：，，
的值为或；
(3)
证明：方程为“相似系”一元二次方程，
，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程的定义、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系．
（1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可；
（2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可；
（3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立．
【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程，
由题意可知，
解得：；
（2）略
（3）略
36．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∴方程是“差根方程”．
(2)，，
(3)方程是“差根方程”，它的根是，或，
【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解；
（2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解；
（3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：∵方程是“差根方程”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴方程为，
解得，．
（3）解：∵，
∴
∵方程关于x的“差根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），
∴，
∴，．
将代入方程可得：，
解得：，，
∴，
∴方程是“差根方程”，它的根为，．
即，或，．
∴方程是“差根方程”．它的根是，或，．
37．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）一人站在地面点O处朝正前方抛出一小球P，以点O为原点，正前方为x轴正方向，以为单位长建立如图所示的平面直角坐标系，小球P（当成一动点）从距离地面的点A处向右上方被抛出后沿抛物线运动，点D为抛物线的顶点，当点P落在地面上距离点O正前方的点B处后立即弹起，又形成一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，最终点P落到x轴上的点C后停止．
(1)求小球落地点C距离点O的距离；
(2)点P从点A出发运动到点C停止所形成的曲线段，称为“m”型曲线，试探究：
①在“m”型曲线上是否存在一点Q，使得平分，若存在，求出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由；
②已知直线与“m”型曲线有3个公共点，从左到右依次为点E，F，G，直线与“m”型曲线有2个公共点，从左到右依次为点M，N，若四边形是平行四边形，则 ．
【答案】(1)小球落地点C距离点O的距离为
(2)①点Q的横坐标为或或；②或
【知识点】一次函数与几何综合、一元二次方程的根与系数的关系、投球问题(实际问题与二次函数)、利用平行四边形的性质求解
【分析】（1）由题意可得，，设抛物线的解析式为，待定系数法求出抛物线的解析式为，令，则，求解即可；
（2）①求出抛物线，得到，连接，作轴于，作的平分线交于，作于，由（1）可得，则，，，由角平分线的性质定理可得，等面积法得出，从而可得，
设直线的解析式为，求出直线的解析式为，联立 ，，求解即可；②由题意可得，或，再分两种情况：当，时；当，时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
∵抛物线与形状相同，且最大高度为，
∴设抛物线的解析式为，
将代入解析式可得：，
解得：或，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：或，
∴，
∴小球落地点C距离点O的距离为；
（2）解：①将，代入得，
解得：，
∴抛物线，
∵，
∴，
连接，作轴于，作的平分线交于，作于，
，
由（1）可得，
∴，，
∴，
由角平分线的性质定理可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，得，
解得：或，
此时点的横坐标为或；
联立，得，
解得：或，
此时出点Q的横坐标为；
综上所述，点Q的横坐标为或或；
②∵直线与“m”型曲线有3个公共点，
∴，
∵直线与“m”型曲线有2个公共点，
∴或，
如图，当，时，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
令，整理可得：，
则，，
∴，
∴，
令，整理可得：，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：当，时，
，
此时点的坐标为，
在中，令，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
令，整理可得：，
则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
此时；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，求一次函数的解析式，角平分线的性质定理，一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
38．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）根据以下素材，完成项目式探索任务：
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
型号 ① ② ③
规格（门宽） 1米 1.2米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式．
任务2 探究自变量的取值范围．
任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米．
【答案】任务1、；
任务2、当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：；
任务3、我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为．
【知识点】列代数式、用一元一次不等式解决实际问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、y=ax +bx+c的最值
【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键．
任务1、根据题意得出，然后计算面积即可得出函数关系式；
任务2、根据题意得出，代入确定，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可；
任务3、根据任务1中函数关系式及其性质求解即可；
【详解】解：任务1、由题可知，设，则，
则 ；
任务2、由题意知，
即，
解得：，
根据题意可得：新墙建筑费用为元，
若选型号①门，则总费用为元，
∵总费用不高于6400元，
∴，
解得：，
若选型号③门，则总费用为元，
∵总费用不高于6400元，
∴，解得：，
综上所述：当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：；
任务3、由任务1知：，
∵，图象开口向下，且，
∴当时，面积S有最大值为，
此时，
∴我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为．
39．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离．如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果精确到）
【答案】轮船会进入台风影响区，经过大约轮船就会进入台风影响区
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】对比台风中心到达A点时，C与台风中心的距离即可得出结论，设时间为未知数，并求解轮船与台风中心距离等于时的时间．
【详解】解：当台风中心到达时：，
此时轮船距：，
所以轮船不改变航向，会进入台风影响区．
如图所示
设x小时后，轮船就进入台风影响区，根据题意可得：
（千米），（千米）
∵ ，
∴
∴ ，
∵，
根据勾股定理可得：
解得：，（舍去）
∴轮船经过就进入台风影响区域．
40．（25-26九年级上·全国·课后作业）分类讨论思想如图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，点在到达点后返回点，点在到达点后返回点，一个点停止，另一个点也随之停止．设运动时间为，当为何值时，的面积等于？
【答案】当的值为4或8时，的面积等于
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】由点到达点所需的时间，可求出点返回到点所需时间，分三种情况考虑，根据的面积等于cm ，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意得值即可得到结论.
【详解】解：①当时，，即，
整理，得，解得；
②当时，，
，
，
解得（舍去），（舍去）；
③当时，点和点重合，不符合题意，舍去；
④当时，，即，整理，得．
方程无实数根；
⑤当时，点和点重合，不符合题意，舍去．
综上所述，当的值为4或8时，的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
41．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是等腰三角形？
(2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可；
（2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，
∴当是等腰三角形时，为等边三角形，
∴，
由题意，，
∴，
∴，解得；
（2）解：存在；
作，则，
∴，
∴，
作，则，
∴，
∴，
∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的，
∴，
解得或；
综上：或．
【考点4】位似、投影、三视图与黄金分割综合（第42-45题）
· 位似比与相似比、面积比的关系
· 由三视图还原几何体并计算表面积体积
· 黄金分割比值的综合应用
42．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，，
∴，，故B错误，C正确，
∴，
∴，故A正确，
∴，故D正确．
故选：B．
43．（2025九年级·全国·专题练习）某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①．
(1)密封纸盒的形状为_______．
(2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图．
(3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）．
【答案】(1)正六棱柱
(2)
解：如图所示：
(3)表面积为，体积为
【知识点】几何体展开图的认识、已知三视图求体积、由三视图还原几何体、由展开图计算几何体的表面积
【分析】（1）通过观察三视图的形状，判断密封纸盒的几何体类型；
（2）正六棱柱的表面展开图由两个正六边形底面和六个矩形侧面组成，按照此结构补全图②的展开图即可；
（3）先确定正六棱柱的底面边长、高，再分别计算侧面积、两个底面积得到表面积，计算底面积与高的乘积得到体积．
【详解】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状为正六棱柱．
（2）略
（3）解：由（2）可知，密封纸盒的高为，底面边长为，
∴密封纸盒的表面积为，
体积为．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体及正六棱柱的表面积、体积计算，掌握根据三视图确定几何体形状，结合正六棱柱的边长、高计算表面积和体积是解题的关键．
44．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”．
【问题探究】求“黄金比率”：
设，，则，
∵，∴，即．
∴．
∴，（负数不合题意，舍去）．
∴黄金比率为：．
(1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”．
(2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据正方形的性质证明、利用矩形的性质证明、黄金分割
【分析】（1）设，，则，再根据求解即可；
（2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可．
【详解】（1）设，，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，（负数不合题意，舍去），
∴白银比率为：；
（2）设正方形的边长为，则，
∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为，
∴，则，解得，
∴正方形的边长为．
45．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．
如图，在中，，．
(1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法；
(2)在（1）的基础上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、作线段(尺规作图)、黄金分割
【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答；
（2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可．
【详解】（1）解：略；
（2）解：如图，连接，．
由（1）知，，为黄金三角形，
∴，，
∴，，，
∴为黄金三角形，可得，
即，
∴．
课后巩固
复习建议
· 压轴题先画图再列式，避免凭空想象
· 折叠与最值问题用对称与勾股定理
· 动点问题列方程并检验运动范围
· 相似与方程结合，灵活转换条件
· 多解问题注意分类讨论，避免漏解
【作业1】．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出 ，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可．
【详解】解：四边形是矩形，
．
设，则．
由折叠的性质，得
，点在边的延长线上，
．
在中，
，
解得
的长为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键．
【作业2】．（2023八年级下·全国·竞赛）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似，利用相似图形的相似比求对应的面积比是解题的关键，相似图形的面积比等于相似比的平方．
【详解】解：延长、和相交于点，如下图所示：
四边形为等腰梯形，
，
在和中，
，
．
，
，，
，
，
故选：B．
【作业3】．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键．
起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可．
【详解】解：∵起始会做实验的人数为1，
第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为，
第二轮教学后，新学会的人数为，
∴总会做人数为，
故选：D．
【作业4】．（25-26七年级上·广东东莞·期末）由若干个（大于个）大小相同的正方体组成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则从左面看到的这个几何体的形状图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知一种或两种视图，判断其他视图
【分析】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图判断几何体是解题的关键．
根据从正面看和从上面看可以得出该几何体有三列两行三层，据此即可解答．
【详解】解：由主视图和俯视图知，该几何体有三列两行三层，
故B选项不可能是左视图,符合题意.
故选：B．
【作业5】．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割
【分析】本题考查的是黄金分割，二次根式的运算，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．根据“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比”进行解答即可．
【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点且，
∴，
∴，
则，
∵点是线段的黄金分割点且，
∴
∴，
∴，
同理可得：，
以此类推，则线段的长度是．
故选：A．
【作业6】．（25-26八年级下·重庆开州·期末）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则_______，_________．
【答案】 /
【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法、根据正方形的性质求角度
【分析】由正方形的性质可得，，，结合等腰三角形的性质与角的和差可得，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，进一步结合角平分线的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于，
∵，，
∴，
∴.
【作业7】．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）在中，点、分别在、上，，如果，的面积为，四边形的面积为，那么的长为______．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】先求出，再证明，再由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵的面积为，四边形的面积为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【作业8】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是____．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
∵实数m，n满足，，且，
∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值随x的增大而增大，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为．
故答案为：3．
【作业9】．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________．
【答案】6
【知识点】根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
【作业10】．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____．
【答案】1
【知识点】由三视图还原几何体、因式分解法解一元二次方程、已知式子的值，求代数式的值、已知三视图求侧面积或表面积
【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值．
【详解】解：∵，，
∴俯视图的长为，宽为，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
即x的值为1．
【作业11】．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，将沿折叠，使点C落在F处，直线与交于点G．
(1)如图1，若点E与点B重合，求证：；
(2)如图2，若，求的长；
(3)若，则的长为__________．
【答案】(1)证明：由折叠的性质可知，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)2或8
【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题
【分析】（1）利用折叠的性质结合矩形的性质即可证得结论；
（2）设，则，根据（1）的结论得到，过点E作交于点H，利用折叠的性质，矩形的性质和勾股定理列出方程即可求出结果；
（3）先根据已知条件求出，，此时分情况进行讨论：点E位于点G的左侧时，点E位于点G的右侧时，利用折叠的性质及勾股定理即可求得最终结果．
【详解】（1）略
（2）解：设，则，
∵，
∴，
如图，过点E作交于点H，
易证得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵直线与交于点G，
此时分情况讨论：
①如图，当点E位于点G的左侧时：
由折叠的性质可知，，，
在中，，
∵，
∴，
∴；
②如图，当点E位于点G的右侧时：
由折叠的性质可知，，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为2或8．
【作业12】．（25-26九年级上·全国·课后作业）黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______；
②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m．
(2)如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数．
(3)如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点．
【答案】(1)
①；②
(2)
如图所示即为所求：
(3)
证明： ，
．
又 为的平分线，
，
，
即．
又
，
是的黄金分割点．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、黄金分割
【分析】本题主要考查了黄金分割点、黄金三角形以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
（1）①根据黄金分割点的定义，可得；
②由①得，将 代入求解即可．
（2）根据黄金三角形的定义，将的角向对边作角平分线，将原三角形分割即可；
（3）由题意可得，故；再根据可证进而可得，整理变形即可．
【详解】（1）解：①C是线段的黄金分割点，
．
故答案为：
② 长为，C是线段的黄金分割点，
．
解得m．
故答案为：．
（2）解：有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．
可以将的角向对边作角平分线，将原三角形分割
如图：
（3）略
【作业13】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，．
(1)求证：．
(2)若，，点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形的面积等于？
【答案】(1)
证明：，
．
，
．
，
，
．
(2)当或时，四边形的面积等于．
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由可得，进而得到；再根据可得，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答；
（2）如图，过点作于点，由勾股定理可得；再根据可得，，进而得到，的长；用表示出，，，再证明可求得，最后根据面积关系列关于的方程求解即可.
【详解】（1）略
（2）如图，过点作于点．
在中，，，
由勾股定理，得．
，
，，
，
解得，．
由题意，得，，
，
．
，
．
，
，
，即，
解得，
，
解得，，
当或时，四边形的面积等于．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．
【作业14】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，．
(1)若，则的长为____________．
(2)当的值最小时，的长度为____________．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题、根据矩形的性质求线段长
【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解；
（2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）（1）如图①，
过点作于点，则四边形是矩形．
由题意知，，，，
．
是的中点，
，
．
在中，，
．
（2）解：如图②，
以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，
此时，，．
当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，
即的值最小，则，
易知 ．
过点作于点，则是的中点，
．
在中，，，
．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【作业15】．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点．
(1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明；
问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值．
【答案】(1)问题1：，
证明：如图1，在上取点，使得，连接，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
在和中，
，
，
；
问题2：成立，
证明：如图2，在延长线上取点，使得，连接，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，
在和中，
，
，
；
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、四边形中的线段最值问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）问题1：在上取点，使得，连接，利用正方形和等腰三角形的性质，证明，即可得出结论；问题2：在延长线上取点，使得，连接，同理可证，即可得到结论；
（2）在的延长线上取点，使得，连接、，证明，得到，当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接、，
正方形，边长为，
，，
是正方形外角的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
在中，，，
，即的最小值为
周长，
周长的最小值为．
试卷第1页（共3页）
1专题三·期中综合复习·满分压轴讲义
（第一~四章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册
思维导图
课程目标
· 综合运用矩形、菱形、正方形的性质解决折叠与线段最值问题
· 灵活运用相似三角形判定与性质解决复杂几何综合题
· 掌握一元二次方程在动态几何与实际问题中的应用
· 理解位似、投影、三视图与黄金分割的综合运用
· 养成先画图、再列式、后检验的压轴题解题习惯
知识梳理
☆ 1.特殊平行四边形综合
折叠、旋转、平移中的全等关系与勾股定理应用
线段最值：利用对称点构造，结合三角形三边关系
矩形、菱形、正方形的判定与性质的交替使用
坐标系中矩形、菱形的坐标计算
概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在BC上，将△ABE沿AE折叠使点B落在对角线AC上的点F处，求BE的长
答案：BE=
解析：折叠得AF=AB=4，BF=AE垂直平分，AC=2，CF=2，设BE=x，则EF=x，EC=6-x，在Rt△EFC中用勾股定理列方程求解。
☆ 2.相似三角形综合
动点问题中的相似：以时间或路程为未知数，由相似列比例方程
相似与二次根式化简、勾股定理结合运算
相似多边形性质：对应边成比例，面积比等于相似比的平方
作垂线、尺规作图与相似判定的综合运用
概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从A出发沿AB向B运动，过P作PQ⊥AB交BC于Q，求△BPQ与△BAC相似时AP的长
答案：AP=或AP=
解析：分两种情况：∠BQP=∠BAC或∠BQP=∠BCA，由相似列比例方程求解，注意检验点P在AB上的运动范围。
☆ 3.一元二次方程与动态几何
动态几何问题：设时间或路程为未知数，由面积、距离等条件列方程
台风影响、追击相遇等实际问题：建立一元二次方程模型
解的取舍：检验解是否符合运动范围与实际问题
函数解析式与一元二次方程结合求最值
概念辨析例题：一个直角三角形的面积为24，两直角边之差为2，求两直角边的长
答案：两直角边分别为6和8
解析：设较短直角边为x，则较长边为x+2，x(x+2)=24，解得x=6（x=-8舍去）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
折叠问题 翻折前后图形全等 折痕垂直平分对应点连线
线段最值 对称点+三边关系 动点位置需分类讨论
动点相似 相似比列比例方程 检验解的运动范围
动态面积 面积公式列一元二次方程 注意解的实际意义
台风问题 距离=速度×时间 代入勾股定理列方程
黄金分割 较长:全长=较短:较长
核心考点
【考点1】矩形、菱形、正方形的性质与判定（第1-19题）
· 折叠问题找对称轴与全等，构造直角三角形用勾股定理
· 线段最值问题利用对称点与三角形三边关系
· 坐标系中利用矩形、菱形性质求坐标
1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接，，，M是的中点，连接，若，设与交于点N，与交于点G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（20-21八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论：
①，；
②；
③四边形是菱形；
其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，以三边向外分别作等边、、，下列结论
①
②若，则四边形为平行四边形
③若，则四边形是菱形
④若四边形是正方形，则．
⑤若，，，则四边形的面积是60
其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若将沿折叠，点恰好与点重合．
结论Ⅰ：平行四边形为菱形；
结论Ⅱ：的度数为度．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．
（1）若，，则的长为____________．
（2）在（1）的条件下，已知是线段上的一点，且，则的长为____________．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，．当满足条件_______________时，四边形是正方形．
10．（24-25九年级上·广东阳江·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，是的平分线，过点P作，交延长线于点Q．若，则________．
11．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____．
12．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，连接、，，点是的中点，于点．若．则的面积为___________．
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为______．
14．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在四边形中，有以下四个条件：①； ②； ③； ④．从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是________________________________．（请写出全部正确答案）
15．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为________．
16．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，连接，则的最小值是______．
17．（21-22八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒．
(1)的长为________．
(2)求的长（用含t的代数式表示）．
(3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值．
18．（22-23九年级上·山东青岛·阶段检测）已知，如图①，在矩形中， ，，将沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，，，解答下列问题：
(1)当t为何值时，点C在的垂直平分线上？
(2)当t为何值时，是直角三角形；
(3)设的面积为，求y与t之间的函数关系式．
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线：与直线：相交于点，，分别交轴于点、，矩形顶点、分别在直线，，顶点、都在轴上，且点与点重合．
(1)求点的坐标和的度数；
(2)求矩形的边与的长；
(3)若矩形从原地出发，沿轴正方向以每秒个单位长度的速度平移，设移动时间为（）秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
【考点2】相似三角形的判定与性质（第20-32题）
· 动点问题设未知数，由相似列比例方程
· 相似与勾股定理、二次根式结合运算
· 两角对应相等是最常用判定
20．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中位线，与交于点．则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是30，则四边形的面积为（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
22．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
23．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，每相邻两条直线之间的距离均相等，点，，分别在直线，，上，交于点，交于点，分别交直线，于点，，若四边形的面积为2，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．
24．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
25．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
26．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都对
27．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______．
28．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____．
29．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________．
30．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）矩形中，，，点是边上三等分点，连接、交于点，则线段的长为________．
31．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．并求的值．
32．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．
(1)【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示）
(2)【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G．
证明：点G为边的中点；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，
①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系；
②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值．
【考点3】一元二次方程与动态几何问题（第33-41题）
· 设时间或路程为未知数列方程
· 面积、距离条件转化为方程
· 检验解是否符合运动范围与实际问题
33．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________．
34．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为．
（2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．
35．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考
下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
“相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， ……
任务：
(1)问题1中，“▲”应填写_____．
(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．
(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．
36．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是．
(1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”．
(2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根．
(3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由．
37．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）一人站在地面点O处朝正前方抛出一小球P，以点O为原点，正前方为x轴正方向，以为单位长建立如图所示的平面直角坐标系，小球P（当成一动点）从距离地面的点A处向右上方被抛出后沿抛物线运动，点D为抛物线的顶点，当点P落在地面上距离点O正前方的点B处后立即弹起，又形成一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，最终点P落到x轴上的点C后停止．
(1)求小球落地点C距离点O的距离；
(2)点P从点A出发运动到点C停止所形成的曲线段，称为“m”型曲线，试探究：
①在“m”型曲线上是否存在一点Q，使得平分，若存在，求出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由；
②已知直线与“m”型曲线有3个公共点，从左到右依次为点E，F，G，直线与“m”型曲线有2个公共点，从左到右依次为点M，N，若四边形是平行四边形，则 ．
38．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）根据以下素材，完成项目式探索任务：
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
型号 ① ② ③
规格（门宽） 1米 1.2米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式．
任务2 探究自变量的取值范围．
任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米．
39．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离．如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果精确到）
40．（25-26九年级上·全国·课后作业）分类讨论思想如图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，点在到达点后返回点，点在到达点后返回点，一个点停止，另一个点也随之停止．设运动时间为，当为何值时，的面积等于？
41．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是等腰三角形？
(2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由．
【考点4】位似、投影、三视图与黄金分割综合（第42-45题）
· 位似比与相似比、面积比的关系
· 由三视图还原几何体并计算表面积体积
· 黄金分割比值的综合应用
42．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
43．（2025九年级·全国·专题练习）某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①．
(1)密封纸盒的形状为_______．
(2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图．
(3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）．
44．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”．
【问题探究】求“黄金比率”：
设，，则，
∵，∴，即．
∴．
∴，（负数不合题意，舍去）．
∴黄金比率为：．
(1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”．
(2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长．
45．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．
如图，在中，，．
(1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法；
(2)在（1）的基础上，求的值．
课后巩固
复习建议
· 压轴题先画图再列式，避免凭空想象
· 折叠与最值问题用对称与勾股定理
· 动点问题列方程并检验运动范围
· 相似与方程结合，灵活转换条件
· 多解问题注意分类讨论，避免漏解
【作业1】．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【作业2】．（2023八年级下·全国·竞赛）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？
A． B． C． D．
【作业3】．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（）
A． B． C． D．
【作业4】．（25-26七年级上·广东东莞·期末）由若干个（大于个）大小相同的正方体组成一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，则从左面看到的这个几何体的形状图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，线段，点是线段的黄金分割点（且，即，点是线段的黄金分割点，点是线段的黄金分割点，，以此类推，则线段的长度是（ ）
A． B．
C． D．
【作业6】．（25-26八年级下·重庆开州·期末）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则_______，_________．
【作业7】．（21-22九年级下·青海西宁·开学考试）在中，点、分别在、上，，如果，的面积为，四边形的面积为，那么的长为______．
【作业8】．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是____．
【作业9】．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________．
【作业10】．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____．
【作业11】．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，将沿折叠，使点C落在F处，直线与交于点G．
(1)如图1，若点E与点B重合，求证：；
(2)如图2，若，求的长；
(3)若，则的长为__________．
【作业12】．（25-26九年级上·全国·课后作业）黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______；
②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m．
(2)如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数．
(3)如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点．
【作业13】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，．
(1)求证：．
(2)若，，点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．当为何值时，四边形的面积等于？
【作业14】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，．
(1)若，则的长为____________．
(2)当的值最小时，的长度为____________．
【作业15】．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点．
(1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明；
问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值．
试卷第1页（共3页）
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