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第二章·实数·期中综合复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 掌握平方根、算术平方根与立方根的概念及求法
· 掌握二次根式的性质，能熟练化简二次根式
· 掌握二次根式的乘除、加减与混合运算
· 理解实数的概念与分类，能估算无理数的大小
· 能借助数轴理解实数与数轴上的点一一对应
知识梳理
☆ 1.平方根与立方根
如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，正数a有两个平方根±，0的平方根是0，负数没有平方根
a的非负平方根叫算术平方根，记作（≥0，具有双重非负性）
如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作 a；任何实数都有唯一的立方根，且 a与a同号
概念辨析例题：求49的平方根与算术平方根。
答案：平方根为±7，算术平方根为7
解析：因为(±7)2=49，所以49的平方根为±7；其中非负的那个平方根7就是算术平方根。
☆ 2.二次根式
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，被开方数必须非负
性质：=|a|（a≥0时为a，a<0时为-a）；(=a（a≥0）
最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式；几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同即为同类二次根式
概念辨析例题：化简。
答案：3
解析：===3，其中9能开得尽方，开方后得3。
☆ 3.实数与数轴
有理数和无理数统称为实数；无理数是无限不循环小数，如、π
实数与数轴上的点一一对应，数轴上右边的点表示的数总比左边的大
无理数的大小估算用夹逼法：找出相邻的两个整数平方，如22<7<32，则2<<3
概念辨析例题：估算的大小（精确到整数）。
答案：2<<3
解析：因为22=4<7<9=32，所以2<<3，即在2和3之间。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根 若x2=a（a≥0），则x=± 正数有两个，负数没有平方根
算术平方根 非负平方根记作 ≥0，双重非负性
立方根 若x3=a，则x= a 任何实数都有唯一立方根
二次根式 （a≥0）；=|a| 化简到最简二次根式
实数 有理数与无理数的统称 与数轴上的点一一对应
核心考点
【考点1】平方根与算术平方根（第1-15题）
· 正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根取非负的一个
· 利用算术平方根的非负性：非负数之和为0，则各项分别为0
· 已知一个数的平方根求这个数：平方根的值平方即可（注意符号）
1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性．
【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误．
推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确．
推断③：设，则．因，故，得，③正确．
推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确．
综上，合理推断为②③④，
故选D．
2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
【答案】D
【知识点】估计算术平方根的取值范围、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵正整数a、b分别满足，，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）计算：___________
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、负整数指数幂
【分析】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据算术平方根，负整数指数幂等知识计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若没有平方根，则_____．
【答案】/
【知识点】平方根概念理解、实数的性质
【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据负数没有平方根得出，即可求出m的取值范围，再判断的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵没有平方根，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，其中均为整数，则___________．
【答案】0或2或4
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解．
【详解】解：因为，其中均为整数，．
所以与都是非负整数，
①当时，
，
所以；
②当时，
或，
所以或；
③当时，
或，
所以或．
综上所述，的值为0或2或4．
6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为___．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查非负性，完全平方公式的变形，根据非负性求出，再根据完全平方公式的变形进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为______．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积，
故答案为：．
8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是______．
【答案】16
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查已知一个数的平方根，求这个数，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再根据平方根的定义，求出这个数即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：，
∴，
∴，
故答案为：16．
9．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】利用平方根解方程
【分析】本题考查利用平方根定义解方程，理解平方根的定义是解答的关键．
（1）根据平方根的定义求解即可．；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：由得，
∵，
∴；
（2）解：由得，
∵，
∴，
解得或．
10．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)（精确到0.01）
【答案】(1)1.7
(2)-21
(3)3.05
【知识点】计算器——平方根和立方根
【分析】本题考查了计算器计算数的立方根，近似数，解题的关键要掌握计算器的使用方法．
（1）（2）利用计算器计算数的立方根即可；
（3）利用计算器计算数的立方根，再把结果精确到即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
11．（24-25七年级下·广东广州·阶段检测）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是．
(1)求的值．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】（）利用平方根的性质求出的值即可求解；
（）利用算术平方根和立方根的意义求出，再根据算术平方根的意义解答即可；
本题考查了平方根，算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵的立方根是，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即的算术平方根为．
12．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【知识点】算术平方根的实际应用、求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌握这些定义和估算方法是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解、、的值．对于，利用算术平方根的定义建立方程；对于，依据立方根的定义构建方程；对于，通过估算的范围确定其整数部分．
（2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根．
【详解】（1）解：的算术平方根是（算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根 ）
的立方根是（立方根的定义：若一个数的立方等于，即，则叫做的立方根 ）
把代入得：
（比较与完全平方数、的大小 ）
即
的整数部分
综上，，，
（2）解：把，，代入得：
（平方根的定义：若（），则叫做的平方根， ）
的平方根是
即的平方根是
【考点2】立方根（第16-22题）
· 立方根与底数同号： a3=a，任何实数都有唯一立方根
· 立方根的实际应用：体积问题中通过开立方求棱长
· 区分平方根与立方根的取值范围（负数有立方根无平方根）
13．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）要使成立，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
【答案】D
【知识点】立方根概念理解
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数，
故选：D．
14．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为 _______．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．本题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·山东滨州·阶段检测）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算
【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可．
【详解】解：输入x的值是64时，
则，
那么，
因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值，
故答案为：．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中：
，
（相邻的两个2之间依次多一个0）．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【答案】
有理数集合：；
无理数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}；
正实数集合：{（相邻的两个2之间依次多一个0）}；
负实数集合：．
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、实数的分类
【分析】本题考查实数的分类，平方根与立方根，先化简，，再根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【详解】略
【考点3】二次根式的性质与化简（第23-35题）
· =|a|：化简时先判断a的正负再脱绝对值符号
· 带字母的绝对值化简：结合字母取值范围确定正负
· 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式
17．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．
由完全平方公式可得，再代入计算即可．
【详解】解：当时
．
故选C．
18．（22-23八年级上·四川眉山·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的化简、相反数的定义、立方根、绝对值等知识点，掌握相关化简方法是解题的关键．
先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴与3互为相反数，符合题意；
B、∵，
∴与不互为相反数，不符合题意；
C、由与互为倒数，不互为相反数，不符合题意；
D、∵，
∴与不互为相反数，不符合题意．
故选：A．
19．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数以及二次根式的性质与化简，各项中的式子与相乘，利用二次根式乘法法则计算得到结果，判断即可．解题的关键掌握二次根式的乘法法则：．
【详解】解：A．，积为有理数，故此选项不符合题意；
B．，积为有理数，故此选项不符合题意；
C．，积为有理数，故此选项不符合题意；
D．，积为无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
20．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是()
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质，，再结合的范围，化简表达式．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
，
∴原式．
故选：D．
21．（23-24八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：由实数在数轴上的位置，如图所示：
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式化简，涉及利用数轴判断代数式符号、二次根式性质化简、去绝对值及整式加减运算等知识，根据实数在数轴上的位置判断代数式符号去绝对值是解决问题的关键．
22．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为___________．
【答案】1
【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．根据题意列得算式为，再结合已知条件确定x的最小正整数值即可．
【详解】解：由题意得，
要使该式为有理数，则要为平方数，
当取最小正整数时，，在此范围内的最小平方数为，
∴，
解得：．
故答案为： ．
23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则代数式的值为________．
【答案】
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】利用完全平方公式将原式变形为，然后代入求解．
【详解】解：∵
∴
．
24．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________．
【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴、利用二次根式的性质化简
【分析】由数轴可得，，根据进行化简即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
．
25．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段检测）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
【详解】解： ，且为整数，
最小为3，
是大于1的整数，
越小，越小，则越大，
当时，，
，即最大为75，
故的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
26．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求二次根式的值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的；
（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：，
当时，；
（3）解：∵，
∴，
∴原式．
【考点4】二次根式的运算（第36-46题）
· 乘法：=（a、b≥0）；除法：=（a≥0，b>0）
· 加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减）
· 混合运算按先乘除后加减、先括号后括号外的顺序进行
27．（23-24九年级上·四川内江·期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【分析】此题主要考查了同类二次根式和最简二次根式．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，
解得：，
故选：A．
28．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）估计的值在（ ）
A．6.5和7之间 B．7.5和8之间 C．8.5和9之间 D．9.5和10之间
【答案】D
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先进行二次根式的加减计算，然后再估算出的值的范围即可解答．
【详解】解：
而，
∵，
∴，
∴估计的值在9.5和10之间，
故选：D．
29．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法
【分析】本题主要考查了无理数的估算，把化为，再估算出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
即．
故选：C
30．（24-25八年级上·江苏南通·期末）一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________．
【答案】/
【知识点】二次根式的除法
【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽．
【详解】解：一个长方形的面积为，长为，
则该长方形的宽为，
故答案为．
31．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个长方形的面积是，它的长是，那么这个长方形的宽是________．
【答案】
【知识点】二次根式的除法
【分析】本题主要考查了二次根式的除法的应用，根据二次根式的除法运算，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
32．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
【答案】(1)5
(2)
(3)
(4)
(5)3
(6)4
(7)
(8)
(9)
(10)3
【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可得解；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算除法即可得解；
（3）根据二次根式的乘法法则计算即可得解；
（4）根据二次根式的除法法则计算即可得解；
（5）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得解；
（6）先计算二次根式的乘法，再计算减法即可得解；
（7）利用二次根式的乘除法则计算即可得解；
（8）利用平方差公式计算即可得解；
（9）利用完全平方公式计算即可得解；
（10）先根据二次根式的性质进行化简，再计算除法即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：；
（9）解：；
（10）解：．
33．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．
(1)求玻璃容器的容积；
(2)求玻璃容器的底面半径（π取）．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】二次根式的乘除混合运算、 圆柱的体积、正方体、长方体的体积与容积
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、长方体体积公式、圆柱体体积公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据长方体体积公式计算即可；
（2）根据（1）算出的体积，再运用圆柱体体积公式计算即可解答．
【详解】（1）解：，
答：玻璃容器的容积为；
（2）设玻璃容器的底面半径为，
则，
因为π取，则，
解得：（取正值），
答：玻璃容器的底面半径为．
34．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【考点5】二次根式的求值（第47-53题）
· 直接代入字母值求二次根式的值，注意被开方数非负
· 已知字母的值化简求值：先化简再代入
· 注意运算结果写成最简二次根式
35．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为______．
【答案】2
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：2．
36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________．
【答案】 0 1
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键，
当最小时，的值最大，求出答案即可．
【详解】解：因为的值最大，
所以最小时，符合题意，
即当时，，此时的值最大，
所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1．
故答案为：0，1．
37．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，进行求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
38．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【知识点】求二次根式的值
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
【考点6】无理数的大小估算与实数比较（第54-60题）
· 夹逼法估算：找相邻整数的平方，确定无理数的取值范围
· 实数比较大小：正数>0>负数；同号比较绝对值
· 新定义运算：按题目给出的运算法则代入计算
39．（23-24七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
【答案】A
【知识点】计算器——平方根和立方根、与实数运算相关的规律题
【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．找到规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得各步显示的数如下：
第一步：，第二步：，第三步：；
第四步： ，第五步：，第六步：；
第七步：，第八步：，第九步：；
……
所以显示的数是六步一个循环，
∵，
∴按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01．
故选：A．
40．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（ ）
A．
B．对100连续求根整数，3次之后结果为1
C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5
D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255．
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键．
根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意．
第一次：；
第二次：；
第三次：，
∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意．
设第3次运算的数为x，则，
∴，即；
第2次运算的数为y，则，
∴，
∵，
∴取，则；
第1次运算的数为a，则，
∴，取，则，
∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
41．（25-26八年级上·全国·课后作业）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是________．
【答案】2
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查无理数的估算，利用放缩法估算出的取值范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
n的值是2，
故答案为：2．
42．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】③④
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数的性质、实数的大小比较
【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论．
【详解】解：已知，且，
因此．移项得，
两边取绝对值得，故④正确．
等式两边同时除以，得，
整理得，故③正确．
由得，
假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾，
故假设不成立，必为同号．
又因为，
所以的符号与，的符号相反，
分两种情况讨论：
当时，，，此时，，同号；
当时，，，此时，，同号，
因此不一定成立，故①错误；
，一定同号，故②错误．
综上，正确结论的序号是③④．
43．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制,霖霖同学准备在边长为50dm的正方形规定区域铺设一块面积是2200dm2且长与宽之比为3：2的长方形地毯，请通过计算比较地毯的长与正方形规定区域的边长之间的大小关系．
【答案】地毯的长大于正方形规定区域的边长．
【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算
【分析】本题考查算术平方根，关键是求出长方形地毯的长．
设长方形地毯的长与宽分别为，，得到，于是求出长方形地毯的长，即可得到答案．
【详解】解：设长方形地毯的长与宽分别为，，
由题意得：，
，
，
∴长方形地毯的长是，
，
∴地毯的长大于正方形规定区域的边长．
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来：
，，，，．
【答案】
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【考点7】实数与数轴、实数的运算（第61-70题）
· 实数与数轴上的点一一对应，可借助数轴比较大小与化简
· 数轴上两点间的距离=|a-b|，注意结合相反数、绝对值
· 实数的混合运算：绝对值、乘方、根式、负整数指数幂按运算顺序求解
45．（2025八年级上·河北·专题练习）计算结果为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算
【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键．
原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根．
【详解】解：
=，
．
故选：B．
46．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
【答案】C
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可．
【详解】解：由题意可知：，
，
点E表示的数为．
故选：C．
47．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______．
【答案】/
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长．
先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∵点A表示的数为，
∴点E表示的数为，
故答案为：．
48．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______．
【答案】
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，，
∴，
∵与数轴垂直，且，
∴，
∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点所表示的数为，
故答案为：．
49．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________．
【答案】
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
∴点所表示的数为：．
故答案为：．
50．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；
(2)
(3)．
【答案】(1)的相反数是，倒数是，绝对值是．
(2)＝－，它的相反数是，倒数是－，绝对值是
(3)的相反数是，倒数是，绝对值是
【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数、实数的性质
【分析】本题考查实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质定义． 根据相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，进行解答即可．
【详解】（1）解：的相反数是，倒数是，绝对值是；
（2）解：，
它的相反数是，倒数是，绝对值是；
（3）解：的相反数是，倒数是，
∵，
∴绝对值是．
51．（24-25七年级下·全国·课后作业）近似计算（精确到）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先估算出的结果，再根据实数的运算法则求解即可；
（2）先去绝对值，再把对应的数取近似数，最后计算乘除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
52．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：．
(1)若，，求的值；
(2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值．
【答案】(1)12
(2)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义、绝对值的几何意义、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义运算、实数加减运算、数轴、相反数的定义．掌握新定义运算规则及实数加减法运算法则是解题的关键，同时，需注意“分类讨论”思想的运用．
（1）根据新定义运算公式将，代入定义公式进行加减运算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离及相反数的定义求解出，的值，然后，根据定义公式及“分类讨论”思想的运用，依次计算出运算结果即可．
【详解】（1）解：，，，
；
（2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，
，
或．
是的相反数，且，
．
当时，，
，
当时，，
．
综上所述，的值为或．
课后巩固
复习建议
· 熟记平方根、算术平方根、立方根的定义与符号，注意负数无平方根
· 二次根式化简以最简二次根式为标准，注意绝对值符号的处理
· 根式运算先化简后运算，混合运算注意运算顺序与符号
· 无理数大小估算用夹逼法，结合数轴理解实数与点的对应
· 非负性（绝对值、平方、算术平方根）是求值题的重要突破口
【作业1】．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
【答案】B
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键．根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【作业2】．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是 B．是27的负的立方根
C．的立方根是2 D．的立方根是
【答案】C
【知识点】立方根概念理解
【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键．
根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可．
【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意；
B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意；
C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意；
D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意．
故选：C．
【作业3】．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可．
【详解】解：根据根式的性质可得可得，
因此．
故选：C．
【作业4】．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段检测）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的除法
【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，
故选：D．
【作业5】．（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）若最简二次根式与能合并，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】先化简，结合最简二次根式可合并的条件列方程求解.
【详解】解：，
∵最简二次根式与能合并，
∴与的被开方数相同，
∴，
解得．
【作业6】．（18-19八年级·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的算术平方根是，则的算术平方根为________．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查算术平方根，求代数式的值．解题的关键是根据算术平方根的定义确定、的值，然后代入进行计算，最后求出它的算术平方根即可．
【详解】解：∵的算术平方根是，的算术平方根是，
∴，，
解得：，，
∴，
∵的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故答案为：．
【作业7】．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
【作业8】．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）已知，化简：______．
【答案】6
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简，求解即可，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：6．
【作业9】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___．
【答案】
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可．
【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即，
∴，
故答案为：．
【作业10】．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为______．
【答案】
【知识点】求二次根式的值
【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果．
【详解】解：把代入，
得．
【作业11】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______
【答案】
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，为两个连续整数，
∴，，
∴．
故答案为：．
【作业12】．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是______．
【答案】/
【知识点】实数与数轴
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案．
【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是，
故答案为：．
【作业13】．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题考查利用平方根解方程、利用立方根解方程，理解平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
两边都除以得，，
由平方根的定义得，．
（2）解：，
由立方根的定义得，，
解得：．
【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的立方根
【分析】（1）找出多少的3次方等于，即可求出其立方根；
（2）找出哪两个数的3次方分别等于343和512，即可求出该分数的立方根．
本题考查立方根，掌握立方根的概念是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴的立方根为，
即．
（2）解：∵，
∴的立方根为，
即．
【作业15】．（2025·内蒙古·一模）计算：；
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简
【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算负指数幂、二次根式和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：原式
；
【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)______．
(2)______．
【答案】(1)0
(2)
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算的步骤是解题的关键．
（1）要计算，根据二次根式加减运算的规则，需先将非最简二次根式 化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式，若为同类二次根式则合并系数，从而得出结果．
（2）要计算，同样遵循二次根式加减运算的步骤，先将化为最简二次根式，再确认与是否为同类二次根式，若为同类二次根式则合并系数，进而求出结果．
【详解】（1）计算:
=
=0
（2）计算:
=
=
【作业17】．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算分子和乘法，再算除法．
【详解】解：
．
【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：．
(1)求的值；
(2)，请根据上述运算，求x的值．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】新定义下的实数运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查新定义运算，同底数幂相乘，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义的运算计算得 ，再由同底数幂相乘运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算得，再由同底数幂相乘运算法则计算得，则可得方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴
；
（2）解：∵
∴
∴
解得：．
∴x的值为．
试卷第1页（共3页）
1第二章·实数·期中综合复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· 掌握平方根、算术平方根与立方根的概念及求法
· 掌握二次根式的性质，能熟练化简二次根式
· 掌握二次根式的乘除、加减与混合运算
· 理解实数的概念与分类，能估算无理数的大小
· 能借助数轴理解实数与数轴上的点一一对应
知识梳理
☆ 1.平方根与立方根
如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，正数a有两个平方根±，0的平方根是0，负数没有平方根
a的非负平方根叫算术平方根，记作（≥0，具有双重非负性）
如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作 a；任何实数都有唯一的立方根，且 a与a同号
概念辨析例题：求49的平方根与算术平方根。
答案：平方根为±7，算术平方根为7
解析：因为(±7)2=49，所以49的平方根为±7；其中非负的那个平方根7就是算术平方根。
☆ 2.二次根式
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，被开方数必须非负
性质：=|a|（a≥0时为a，a<0时为-a）；(=a（a≥0）
最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式；几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同即为同类二次根式
概念辨析例题：化简。
答案：3
解析：===3，其中9能开得尽方，开方后得3。
☆ 3.实数与数轴
有理数和无理数统称为实数；无理数是无限不循环小数，如、π
实数与数轴上的点一一对应，数轴上右边的点表示的数总比左边的大
无理数的大小估算用夹逼法：找出相邻的两个整数平方，如22<7<32，则2<<3
概念辨析例题：估算的大小（精确到整数）。
答案：2<<3
解析：因为22=4<7<9=32，所以2<<3，即在2和3之间。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
平方根 若x2=a（a≥0），则x=± 正数有两个，负数没有平方根
算术平方根 非负平方根记作 ≥0，双重非负性
立方根 若x3=a，则x= a 任何实数都有唯一立方根
二次根式 （a≥0）；=|a| 化简到最简二次根式
实数 有理数与无理数的统称 与数轴上的点一一对应
核心考点
【考点1】平方根与算术平方根（第1-15题）
· 正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根取非负的一个
· 利用算术平方根的非负性：非负数之和为0，则各项分别为0
· 已知一个数的平方根求这个数：平方根的值平方即可（注意符号）
1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（ ）
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A．② B．②③ C．①②③ D．②③④
2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）计算：___________
4．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若没有平方根，则_____．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，其中均为整数，则___________．
6．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为___．
7．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为______．
8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是______．
9．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)；
(2)．
10．（25-26七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)（精确到0.01）
11．（24-25七年级下·广东广州·阶段检测）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是．
(1)求的值．
(2)求的算术平方根．
12．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【考点2】立方根（第16-22题）
· 立方根与底数同号： a3=a，任何实数都有唯一立方根
· 立方根的实际应用：体积问题中通过开立方求棱长
· 区分平方根与立方根的取值范围（负数有立方根无平方根）
13．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）要使成立，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
14．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为 _______．
15．（24-25七年级下·山东滨州·阶段检测）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中：
，
（相邻的两个2之间依次多一个0）．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
【考点3】二次根式的性质与化简（第23-35题）
· =|a|：化简时先判断a的正负再脱绝对值符号
· 带字母的绝对值化简：结合字母取值范围确定正负
· 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式
17．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
18．（22-23八年级上·四川眉山·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
19．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
20．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是()
A． B．1 C． D．
21．（23-24八年级下·浙江金华·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算，例如，若是有理数，则x的最小正整数值为___________．
23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则代数式的值为________．
24．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________．
25．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段检测）【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________．
26．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【考点4】二次根式的运算（第36-46题）
· 乘法：=（a、b≥0）；除法：=（a≥0，b>0）
· 加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减）
· 混合运算按先乘除后加减、先括号后括号外的顺序进行
27．（23-24九年级上·四川内江·期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
28．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）估计的值在（ ）
A．6.5和7之间 B．7.5和8之间 C．8.5和9之间 D．9.5和10之间
29．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知实数，则a所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25八年级上·江苏南通·期末）一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为__________．
31．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个长方形的面积是，它的长是，那么这个长方形的宽是________．
32．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
33．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．
(1)求玻璃容器的容积；
(2)求玻璃容器的底面半径（π取）．
34．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）计算：（）．
【考点5】二次根式的求值（第47-53题）
· 直接代入字母值求二次根式的值，注意被开方数非负
· 已知字母的值化简求值：先化简再代入
· 注意运算结果写成最简二次根式
35．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为______．
36．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________．
37．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________．
38．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
【考点6】无理数的大小估算与实数比较（第54-60题）
· 夹逼法估算：找相邻整数的平方，确定无理数的取值范围
· 实数比较大小：正数>0>负数；同号比较绝对值
· 新定义运算：按题目给出的运算法则代入计算
39．（23-24七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
40．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（ ）
A．
B．对100连续求根整数，3次之后结果为1
C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5
D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255．
41．（25-26八年级上·全国·课后作业）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是________．
42．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________．
43．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）为了丰富学生的课余生活，霖霖同学计划在活动室举行才艺展示活动，由于场地等条件的限制,霖霖同学准备在边长为50dm的正方形规定区域铺设一块面积是2200dm2且长与宽之比为3：2的长方形地毯，请通过计算比较地毯的长与正方形规定区域的边长之间的大小关系．
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来：
，，，，．
【考点7】实数与数轴、实数的运算（第61-70题）
· 实数与数轴上的点一一对应，可借助数轴比较大小与化简
· 数轴上两点间的距离=|a-b|，注意结合相反数、绝对值
· 实数的混合运算：绝对值、乘方、根式、负整数指数幂按运算顺序求解
45．（2025八年级上·河北·专题练习）计算结果为（）
A． B． C． D．
46．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
47．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______．
48．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为_______．
49．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，数轴上点表示的数为1，点，，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上．以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为____________．
50．（23-24七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；
(2)
(3)．
51．（24-25七年级下·全国·课后作业）近似计算（精确到）：
(1)；
(2)．
52．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：．
(1)若，，求的值；
(2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值．
课后巩固
复习建议
· 熟记平方根、算术平方根、立方根的定义与符号，注意负数无平方根
· 二次根式化简以最简二次根式为标准，注意绝对值符号的处理
· 根式运算先化简后运算，混合运算注意运算顺序与符号
· 无理数大小估算用夹逼法，结合数轴理解实数与点的对应
· 非负性（绝对值、平方、算术平方根）是求值题的重要突破口
【作业1】．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．4 B． C．36 D．
【作业2】．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是 B．是27的负的立方根
C．的立方根是2 D．的立方根是
【作业3】．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段检测）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（25-26八年级上·山西大同·阶段检测）若最简二次根式与能合并，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【作业6】．（18-19八年级·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的算术平方根是，则的算术平方根为________．
【作业7】．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【作业8】．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）已知，化简：______．
【作业9】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___．
【作业10】．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为______．
【作业11】．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）若，且、为连续正整数，则= _______
【作业12】．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是______．
【作业13】．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）求下列各式中的值：
(1)
(2)
【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根：
(1)；
(2)．
【作业15】．（2025·内蒙古·一模）计算：；
【作业16】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)______．
(2)______．
【作业17】．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：
【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义一种新运算“*”：，如：．
(1)求的值；
(2)，请根据上述运算，求x的值．
试卷第1页（共3页）
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