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第一章·勾股定理·期中综合复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 掌握勾股定理的内容与常见证明方法，理解其几何意义
· 会运用勾股定理求解直角三角形中的边长问题
· 掌握勾股定理的逆定理，能判定三角形是否为直角三角形
· 能运用勾股定理解决实际应用与最短路径问题
· 能结合网格、弦图等图形背景灵活运用勾股定理
知识梳理
☆ 1.勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
勾股定理只适用于直角三角形，c为斜边（最大边）
变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，可用于已知两边求第三边
概念辨析例题：在直角三角形中，两直角边分别为3和4，求斜边长。
答案：斜边长为5
解析：由勾股定理得c2=32+42=9+16=25，故c==5。
☆ 2.勾股定理的逆定理
如果三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
判断方法：先找最长边，再检验最长边的平方是否等于另两边平方和
常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10等
概念辨析例题：判断三边长分别为6、8、10的三角形是否为直角三角形。
答案：是直角三角形
解析：最长边为10，62+82=36+64=100=102，由勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形，10所对角为直角。
☆ 3.勾股定理的应用
实际应用：航海、梯子滑动、河宽、旗杆高度等问题，抽象为直角三角形模型求解
最短路径：通过展开立体图形或作对称构造直角三角形求解
图形背景：网格中求线段长、弦图与勾股树中的面积关系
概念辨析例题：从旗杆顶端拉下一根绳子，绳子长13米，绳子底端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度。
答案：旗杆高12米
解析：旗杆、地面和绳子构成直角三角形，斜边为13米，一条直角边为5米，由勾股定理得旗杆高===12米。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
勾股定理 直角三角形中，a2+b2=c2（c为斜边） 只适用于直角三角形
勾股定理的逆定理 若三边满足a2+b2=c2，则为直角三角形 最长边所对角为直角
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数 如3、4、5；5、12、13
30°直角三角形 30°角所对直角边等于斜边的一半 常与勾股定理结合求边长
核心考点
【考点1】勾股定理的证明与弦图、勾股树（第1-10题）
· 弦图通过面积法证明勾股定理，注意正方形面积的分解与组合
· 勾股树中相邻正方形面积满足S1+S2=S3（斜边所对正方形面积最大）
· 以直角三角形三边为边长的正多边形面积同样满足两直角边图形面积之和等于斜边图形面积
1．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．13
【答案】B
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据，结合正方形的面积公式和勾股定理进行求解，即可解题．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵，
∴；
故选：B．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（ ）
A．a， B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义，若原数满足，则各选项需验证是否满足类似关系．
【详解】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则：
，
等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意；
A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立；
B：．以代入得，但，不成立；
D：．以代入得，但，不成立；
故选：C．
3．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段检测）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．
【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示：
，
，
∴，
即，故图1符合题意；
图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示：
则大正方形的面积为：，
将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：，
∴，
∴，
∴，故图2符合题意；
图3：，，
∴，
整理得，故图3满足题意；
图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意；
综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个．
故选：C．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为______ （写出一个符合题意的数即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】勾股树（数）问题
【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键．
【详解】解：当时，，
解得：，
∴，，是勾股数，符合题意；
当时，，
则，
∴，，是勾股数，符合题意；
当时，，则，
∴，
此时，不是正整数，不符合题意；
综上所述：对应的数为或，
故答案为：（答案不唯一）．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________
【答案】①②③
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可．
【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，
斜边大正方形的面积，
故正确；
小正方形的边长为，
，
故正确；
小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积，
，
，
故正确；
综上可得正确．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________．
【答案】25
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，三角形的面积，圆的面积，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积再加上的面积减去以为直径的半圆的面积．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得：，
以为直径半圆的面积；
以为直径半圆的面积；
以为直径半圆的面积；
的面积，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．
(1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ；
(2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ；
(3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ．
【答案】(1)；；
(2)；；
(3)；．
【知识点】勾股定理的证明方法
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．
（1）通过观察图，确定大、小正方形的边长；
（2）分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；
（3）根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．
【详解】（1）解：图中大正方形的边长为，里面小正方形的边长为；
故答案为：，；
（2）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为；
故答案为：，；
（3）解：对比这两种表示方法，可得出，整理，得．
故答案为：，．
【考点2】勾股定理与网格（第11-21题）
· 在网格中借助格点构造直角三角形，用勾股定理求线段长度
· 判断网格中三角形是否为直角三角形：计算三边平方，检验是否满足勾股定理逆定理
· 网格中求图形面积常用割补法
8．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出．
【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
即中边上的高为．
故选：D．
9．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有______条．
【答案】
【知识点】无理数、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理，无理数，利用勾股定理求出三角形的三边长，再根据无理数的定义即可判断求解，利用勾股定理求出求出三角形的三边长是解题的关键．
【详解】解：由图可得，，，，
∴边长是无理数的边有条，
故答案为：．
10．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，每个小正方形边长都为1， ____， ____， _____
【答案】 /45度
【知识点】求一个数的算术平方根、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，首先借助网格分别求出、、的长度，可得：，根据勾股定理的逆定理可以判断是等腰直角三角形，是斜边，从而可得．
【详解】解：连接，如图所示：
由图可知：，
，
，
∴，
，，，
又，
，
是直角三角形，是斜边，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：；；．
11．（2024·河南周口·模拟预测）如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为______．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、求特殊三角形外接圆的半径、求弓形面积
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点，，恰好在格点（网格线的交点）上．判断的形状，并求的面积．
【答案】5
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】先利用勾股定理计算三边的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后用割补法或直角三角形面积公式计算面积．
【详解】解：设每个小正方形的边长为，根据勾股定理：
；
；
；
∴，，．
∵，
∴为直角三角形，．
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题关键是利用网格特点结合勾股定理求出边长，再通过边长关系判断三角形形状，最后选择合适的面积公式进行计算．
13．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形的面积________；
(2)四边形的周长________；
(3)与有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)12
(2)
(3)相等，且垂直
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题、勾股定理逆定理的实际应用、网格中多边形面积比较
【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案．
【详解】（1）四边形的面积；
故答案为：12；
（2）四边形的周长为
；
故答案为：；
（3）相等，且垂直．
理由：如图所示，连接．
根据勾股定理，得，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，且．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键．
14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上．
(1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数；
(2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数．
【答案】(1)
如图，即为所作：
(2)
如图，即为所作：
【知识点】无理数、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，涉及无理数，勾股定理及其逆定理：
（1）结合有理数的定义即可作图；
（2）根据无理数的定义，结合勾股定理及其逆定理即可作图．
【详解】（1）略
（2）略
15．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图1，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．

(1)的值为____________；的度数为____________；
(2)请在图2的两个的正方形方格中分别画出与不全等的和，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且．
【答案】(1)，
(2)
解：如图，和即为所求．

【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、相似三角形的判定综合
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可；
（2）构造直角边的比是的直角三角形即可．
【详解】（1）解：，，，
，，
．
故答案为：，；
（2）略
【考点3】直角三角形的判定（第22-31题）
· 先确定最长边，再检验最长边的平方是否等于其余两边平方和
· 绝对值、平方等非负式之和为0时，各项分别为0，常与三边关系结合判定
· 注意单位统一后再代入计算
16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题的关键；
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可．
【详解】解：A．由于，故能构成直角三角形，符合题意；
B．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，是的三边，则．
B．若，，是的三边，则．
C．若，，是的三边，，则．
D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键．
运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意；
B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意；
C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意；
D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意．
故选D．
18．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，

∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴．
故选：C．
19．（23-24八年级下·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西
【答案】A
【知识点】方向角的表示、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，
，
分两种情况：
如图1，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东，
如图2，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西，
故选：A．
20．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则______
【答案】B
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，．
故答案为：
21．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c是的三边长，且满足，则是________三角形．
【答案】直角
【知识点】绝对值非负性、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：，
，，，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出的长，在中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：，，，
，
（负值已舍）；
在中，，，，
，，
，
是直角三角形，且，
四边形的面积．
【考点4】用勾股定理解三角形（第32-47题）
· 已知直角三角形任意两边，用a2+b2=c2或其变式求第三边
· 题目未指明哪条边为斜边时需分类讨论，注意多解
· 遇到等腰、等边三角形时先作高构造直角三角形再求解
23．（24-25八年级下·吉林·期末）在中，，，，则a的值是（　　）
A．8 B．6 C．10 D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，此题需先确定斜边，然后再根据勾股定理进行计算，确定斜边是解本题的关键．
利用勾股定理即可求出．
【详解】解：∵，
∴斜边为a，
∵，，
∴．
故选：D．
24．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）勾股定理适用的条件是 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
由勾股定理可得答案．
【详解】解：勾股定理适用的条件是直角三角形．
故选：A．
25．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：，，，
．
如图所示，在上截取，连接，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴此时有，
，
即的最小值为．
故选：A．
26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形
【分析】依据题意，作点关于的对称点，连接EF′．作于H．根据垂线段最短可知，当共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，作于点．
，，
，直线是等腰三角形的对称轴，
点在上，
．
根据垂线段最短可知，当点，，共线，且点与点重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
在中，．
，
，
的最小值为．
故选：C.
【点睛】本题考查轴对称 最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
27．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求．
【详解】解：由题意得：米，米，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则旗杆的长为米．
故答案为：．
28．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ________．
【答案】289或161
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论．
分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①当第三边为斜边时，
由勾股定理得，；
②当第三边为直角边时，
由勾股定理得，；
综上，的值为289或161，
故答案为：289或161．
29．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，则菱形的边长是 ________________．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到、、、，根据，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可．本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：四边形是菱形，且绕着点旋转得到，，
，，，
，，
，
，
，
，
即菱形的边长是，
故答案为：．
30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 _____．
【答案】4
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
先求出，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：由正方形的性质得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：4．
31．（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________．
【答案】15
【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案．
【详解】解：由“赵爽弦图”可知，
∴设，则，
∵，的长为5，
∴，解得：，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：15．
32．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）小丽在物理实验课上利用如图1所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．如图2，她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处（也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，）．小丽在实验中还记录下了．依据记录的数据，求量角器的半径长．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，则，
根据题意，得，
解得，
∴量角器的半径长．
33．（24-25八年级下·全国·课堂例题）已知直角三角形中两边的长分别为6和8，求第三边的长的平方．
【答案】100或28
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，分第三边为直角边和斜边，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当第三边为斜边时，6和8分别是两直角边的长，由勾股定理，得第三边的长的平方为：．
当第三边为直角边时，斜边长为8，由勾股定理，得第三边的长的平方为：．
∴第三边的长的平方为100或28．
34．（26-27八年级上·全国·课后作业）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到）
【答案】这个三角形的周长为或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】分两种情况，结合勾股定理解答即可．
【详解】解：当长为直角边时，斜边长为，
此时这个三角形的周长是；
当长为斜边时，另一条直角边长为，
此时这个三角形的周长是；
综上所述，这个三角形的周长为或．
35．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，求．
【答案】或
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】已知直角三角形的两边求第三边时，分两种情况，利用勾股定理求解解答．
【详解】解：当长为和的线段为直角边时， ；
当长为的线段为直角三角形的斜边时， ．
【考点5】勾股定理与折叠、动点问题（第48-54题）
· 折叠问题：折叠前后对应线段相等，设未知数列方程用勾股定理求解
· 动点问题：用含参数的式子表示线段长，利用勾股定理建立方程
· 注意题目中的多解情况（点可能在直线上运动的两侧）
36．（22-23七年级上·全国·期中）如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为______．
【答案】5
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形判定以及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
先根据角平分线的性质可得，再证明，结合全等三角形性质和勾股定理求出，最后利用勾股定理建立等式求解，即可解题．
【详解】解：，
，
平分交于点D，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
37．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段检测）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．

【答案】或
【知识点】与线段有关的动点问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得，，
当点在上时，且，

∴，
即，
解得；
当点在上时，且，

则点为的中点，
此时，
即．
∴当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或．
故答案为：或．
38．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形．
【答案】或或
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作于，如图：
则四边形为长方形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，，
，
当时，，
即，
，
解得，；
当时，如图：作于，
由勾股定理得，，，
，
在中，，
即，
，
解得：；
当时，在中，
则，
解得：，
综上：的长为：或或．
故答案为：或或．
39．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形等面积公式的运用，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据题干条件和勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，再利用等面积公式即可求出答案；
【详解】解：设三角形的最长边上的高的长度是h，
三角形的三边分别为，
∴，
∴三角形是直角三角形（斜边长是），
∵，
∴解得，
∴最长边上的高等于；
故答案为：；
40．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于______．
【答案】45
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵是由翻折而来，
∴，，．
设，
在中，∵，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：45．
【考点6】勾股定理的实际应用（第55-63题）
· 把实际问题转化为直角三角形模型，找准直角边与斜边
· 航海、台风、河宽等问题常需结合方向角与速度时间关系
· 最短路径问题通过展开或作对称构造直角三角形求解
41．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（ ）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
【答案】D
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变．
先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离．
【详解】解：在中，根据勾股定理
分米，
当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米，
在中根据勾股定理
分米，
则梯子的底部将向外平滑距离：分米．
故选：D
42．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵C、D两村庄到E站的距离相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
43．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与方向角有关的计算题、解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得： ， ，，
，
，
在中，，，
，
∴A，C两港之间的距离为．
故选：A．
44．（25-26八年级上·全国·期末）在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形．
【答案】2
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形，根据勾股定理，建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，O为观测站，
设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形，
由题意得：，，，
∴，
在中，，
在中，；
在中，；
∴，
解得（舍去负值）；
故答案为2．
45．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是________厘米．
【答案】39
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，根据勾股定理计算出最短路程．（勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
【详解】解：过B作于E点，如图：
则厘米，厘米，（厘米）
在直角三角形中，
因为
所以厘米
所以蚂蚁爬行是最短路程是39厘米．
46．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
(1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】(1)农场会受到台风的影响，
理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
(2)小时．
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解；
（2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
47．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米
(2)工作人员手中的绳子被收上来米
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案；
（2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案
【详解】（1）解：如图所示：
则，，
若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
答：此时游轮距离岸边还有米；
（2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
工作人员手中的绳子被收上来米．
【考点7】构造图形与勾股定理综合（第64-70题）
· 通过作辅助线（作高、作垂线）构造直角三角形再应用勾股定理
· 与全等三角形结合求线段长度或证明线段关系
· 证线段和差问题可考虑截长补短或利用勾股定理的代数变形
48．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺．
因此方程为：，
整理得：，
故选：C．
49．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺．
【答案】29
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可．
本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)，
因此葛藤长 (尺)．
故答案为：29．
50．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：）
（2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明．
【答案】
（1）能，理由是：
如下图，连接，则与、构成直角三角形，
根据勾股定理得，．
∵ ，
∴该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着斜着进去）；.
（2）能，理由是：
过点作，则△是等腰直角三角形，即，
，
，即,
∴
，
∴这个立柜能通过过道．
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键．
（1）连接，则与、构成直角三角形，由勾股定理得到，进行比较即可求解；
（2）过点作，则△是等腰直角三角形，即，由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：（1）略
（2）略
51．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】5米
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解．
【详解】解：由题意可知，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，，
∴，
解得，
答：绳索的长度米．
52．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题．
(1)连接，并求的长；
(2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积．
【答案】(1)
(2)应镀氧化膜的面积为
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）如图：连接，直接根据勾股定理求解即可；
（2）先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据以及三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵在中，，，，
．
（2）解：，
是直角三角形，
，
应镀氧化膜的面积为．
课后巩固
复习建议
· 熟记勾股定理及其逆定理的表达式，注意适用条件（直角三角形/判定三角形）
· 掌握常见勾股数（3、4、5；5、12、13；6、8、10）与变形形式
· 折叠、动点问题中善于设未知数、找等量关系列方程求解
· 网格、弦图等图形背景问题，先提取其中的直角三角形再计算
· 实际应用问题先抽象为直角三角形数学模型，再代入定理求解
【作业1】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案．
【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征；
B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符；
C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征；
D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征；
故选：A．
【作业2】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
故选项A、B不符合题意，选项D符合题意，
，，
，
是直角三角形，且，
故选项C不符合题意；
故选：D
【作业3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键．
根据勾股定理逆定理分别计算并判断．
【详解】解：A、∵，
∴能组成直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能组成直角三角形，不符合题意，
故选：A．
【作业4】．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或169 D．144或194
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查勾股定理，根据直角三角形的两条边长为5和13，结合勾股定理分情况讨论①当5和13都为直角三角形直角边时，②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时求解，即可解题．
【详解】解：①当5和13都为直角三角形直角边时，
则第三边的平方是，
②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时，
则第三边的平方是，
所以第三边的平方是144或194．
故选：D．
【作业5】．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（ ）.
A． B． C．30 D．70
【答案】A
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键．
根据题意直接运用勾股定理进行解答即可．
【详解】解：在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
【作业6】．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________．
【答案】16
【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查勾股定理定理，根据正方形的边长相等，等腰直角三角形的直角边相等，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知，③号正方形的边长为1，
由勾股定理，得：4号正方形的面积为：，
②号正方形的面积为：，
5号正方形的面积为：，
①号正方形的面积为：；
故答案为：16．
【作业7】．（24-25八年级下·全国·课堂例题）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____．
【答案】
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：点、 ，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、 ，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
点、，，，
，
是直角三角形，故点符合题意；
点、 ，，，
，
不是直角三角形，故点不符合题意；
故答案为：．
【作业8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在中，，则的长为_______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
先根据勾股定理的逆定理，推导出是直角三角形，得到，继而推导出，则，得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【作业9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行_________千米．
【答案】540
【知识点】用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可．
【详解】解：飞机飞行的距离为：米，
∴飞行的速度为千米/时，
故答案为：540．
【作业10】．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______．
【答案】3
【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
【作业11】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺．
【答案】
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：，
解得：，
答：水深尺；
故答案为：．
【作业12】．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．

【答案】21
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
【作业13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知．
(1)求公路的长度．
(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
【答案】(1)
(2)（万元）
【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用．
（1）利用直角三角形中勾股定理求；
（2）先通过与的长度差得到，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出，最后计算费用．
【详解】解：（1）由题意，得，
所以由勾股定理，得，所以．
（2）因为，
所以，
所以，
所以修建公路的费用为（万元）．
【作业14】．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
(1)直接写出下列线段的长度： ， ；
(2)连接，判断形状，并证明你的结论．
【答案】(1)；5
(2)
解：是直角三角形；
证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式．
（1）根据勾股定理计算即可；
（2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
【详解】（1）解：，
；
（2）略
【作业15】．（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)是直角三角形，边所对的角是直角
(2)是直角三角形，边所对的角是直角
(3)不是直角三角形
(4)是直角三角形，边所对的角是直角
【知识点】判断三边能否构成直角三角形
【分析】（1）先确定最长边，计算两条较短边的平方和与最长边的平方，根据二者是否相等判断是否为直角三角形；若为直角三角形，最长边所对的角为直角.是直角三角形；
（2）类比（1）求解即可；
（3）类比（1）求解即可；
（4）类比（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，最长边为，
又，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角；
（2）解：∵，最长边为，
又，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角；
（3）解：∵，最长边为和（长度均为），
又，，
∴，
∴最长边所对的角不是直角，该三角形不是直角三角形；
（4）解：设三边长的每份长度为（），则，，，最长边为，
又，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，边所对的角是直角．
【作业16】．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
,
在中，，
，
即,
,
的面积为,
的面积为,
阴影部分面积为，
故阴影部分面积为24．
【作业17】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ．
【答案】(1)
解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
解：（）中的结论仍然成立．
证明：如图中，延长至，使，连接，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)24
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键的通过截长补短，构造特殊三角形和全等三角形．
（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解；
（）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证；
（3）过点C作，垂足为点C，截取．连接、，证明，再证明，得到，，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、．
∵，
∴
∵，
∴，
在和中
∵
∴
∴，
∴，
∴，
在和中
∵ ，
∴
∴，，
∴．
故答案为：24．
【作业18】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，．
(1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？
(2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值．
【答案】(1)基地E距A为
(2)如图所示；基地E距A为，的最小值为
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、线段问题(轴对称综合题)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可；
（2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等，
∴，
在和中，，
∴．
设，则，
∴，
解得：，
答：基地E距A为；
（2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长，
∴，
过点作于点，交于点，过点作于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，即基地E距A为，
过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形，
∴，，
∴，
在中，．
∴的最小值为．
试卷第1页（共3页）
1第一章·勾股定理·期中综合复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册
思维导图
课程目标
· 掌握勾股定理的内容与常见证明方法，理解其几何意义
· 会运用勾股定理求解直角三角形中的边长问题
· 掌握勾股定理的逆定理，能判定三角形是否为直角三角形
· 能运用勾股定理解决实际应用与最短路径问题
· 能结合网格、弦图等图形背景灵活运用勾股定理
知识梳理
☆ 1.勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
勾股定理只适用于直角三角形，c为斜边（最大边）
变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，可用于已知两边求第三边
概念辨析例题：在直角三角形中，两直角边分别为3和4，求斜边长。
答案：斜边长为5
解析：由勾股定理得c2=32+42=9+16=25，故c==5。
☆ 2.勾股定理的逆定理
如果三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
判断方法：先找最长边，再检验最长边的平方是否等于另两边平方和
常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10等
概念辨析例题：判断三边长分别为6、8、10的三角形是否为直角三角形。
答案：是直角三角形
解析：最长边为10，62+82=36+64=100=102，由勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形，10所对角为直角。
☆ 3.勾股定理的应用
实际应用：航海、梯子滑动、河宽、旗杆高度等问题，抽象为直角三角形模型求解
最短路径：通过展开立体图形或作对称构造直角三角形求解
图形背景：网格中求线段长、弦图与勾股树中的面积关系
概念辨析例题：从旗杆顶端拉下一根绳子，绳子长13米，绳子底端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度。
答案：旗杆高12米
解析：旗杆、地面和绳子构成直角三角形，斜边为13米，一条直角边为5米，由勾股定理得旗杆高===12米。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
勾股定理 直角三角形中，a2+b2=c2（c为斜边） 只适用于直角三角形
勾股定理的逆定理 若三边满足a2+b2=c2，则为直角三角形 最长边所对角为直角
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数 如3、4、5；5、12、13
30°直角三角形 30°角所对直角边等于斜边的一半 常与勾股定理结合求边长
核心考点
【考点1】勾股定理的证明与弦图、勾股树（第1-10题）
· 弦图通过面积法证明勾股定理，注意正方形面积的分解与组合
· 勾股树中相邻正方形面积满足S1+S2=S3（斜边所对正方形面积最大）
· 以直角三角形三边为边长的正多边形面积同样满足两直角边图形面积之和等于斜边图形面积
1．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，，三个正方形的面积分别为，且，则S的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．13
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（ ）
A．a， B． C． D．
3．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段检测）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为______ （写出一个符合题意的数即可）．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是____________
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为__________．
7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理．
(1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ；
(2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ；
(3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ．
【考点2】勾股定理与网格（第11-21题）
· 在网格中借助格点构造直角三角形，用勾股定理求线段长度
· 判断网格中三角形是否为直角三角形：计算三边平方，检验是否满足勾股定理逆定理
· 网格中求图形面积常用割补法
8．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ）
A．3 B． C．5 D．
9．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，的顶点在格点上， 则 中，边长是无理数的边有______条．
10．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）如图，每个小正方形边长都为1， ____， ____， _____
11．（2024·河南周口·模拟预测）如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为______．
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点，，恰好在格点（网格线的交点）上．判断的形状，并求的面积．
13．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形的面积________；
(2)四边形的周长________；
(3)与有什么关系？请说明理由．
14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1和图2中按要求作三角形，且所画三角形的顶点都在格点上．
(1)在图①中以为斜边画一个直角三角形，且直角边均为有理数；
(2)在图②中以为斜边画一个直角三角形，使两条直角边均为无理数．
15．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图1，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．

(1)的值为____________；的度数为____________；
(2)请在图2的两个的正方形方格中分别画出与不全等的和，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且．
【考点3】直角三角形的判定（第22-31题）
· 先确定最长边，再检验最长边的平方是否等于其余两边平方和
· 绝对值、平方等非负式之和为0时，各项分别为0，常与三边关系结合判定
· 注意单位统一后再代入计算
16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8
17．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，是的三边，则．
B．若，，是的三边，则．
C．若，，是的三边，，则．
D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
18．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．
19．（23-24八年级下·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西
20．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则______
21．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c是的三边长，且满足，则是________三角形．
22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，，连接．求四边形的面积．
【考点4】用勾股定理解三角形（第32-47题）
· 已知直角三角形任意两边，用a2+b2=c2或其变式求第三边
· 题目未指明哪条边为斜边时需分类讨论，注意多解
· 遇到等腰、等边三角形时先作高构造直角三角形再求解
23．（24-25八年级下·吉林·期末）在中，，，，则a的值是（　　）
A．8 B．6 C．10 D．
24．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）勾股定理适用的条件是 （ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
25．（23-24八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．3
27．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米．
28．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ________．
29．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，菱形的对角线、交于点，若与关于点成中心对称，，，则菱形的边长是 ________________．
30．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 _____．
31．（2026·江西·模拟预测）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________．
32．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）小丽在物理实验课上利用如图1所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．如图2，她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处（也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，）．小丽在实验中还记录下了．依据记录的数据，求量角器的半径长．
33．（24-25八年级下·全国·课堂例题）已知直角三角形中两边的长分别为6和8，求第三边的长的平方．
34．（26-27八年级上·全国·课后作业）如果一个直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到）
35．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，求．
【考点5】勾股定理与折叠、动点问题（第48-54题）
· 折叠问题：折叠前后对应线段相等，设未知数列方程用勾股定理求解
· 动点问题：用含参数的式子表示线段长，利用勾股定理建立方程
· 注意题目中的多解情况（点可能在直线上运动的两侧）
36．（22-23七年级上·全国·期中）如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为______．
37．（25-26八年级上·江西萍乡·阶段检测）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为，当点P运动到与点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．

38．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形．
39．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于________．
40．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于______．
【考点6】勾股定理的实际应用（第55-63题）
· 把实际问题转化为直角三角形模型，找准直角边与斜边
· 航海、台风、河宽等问题常需结合方向角与速度时间关系
· 最短路径问题通过展开或作对称构造直角三角形求解
41．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（ ）
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
42．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．
43．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26八年级上·全国·期末）在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形．
45．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物．已知A点到桶口的距离厘米，B点到桶口的距离厘米，圆弧长15厘米．蚂蚁爬行的最短路程是________厘米．
46．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
(1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
47．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【考点7】构造图形与勾股定理综合（第64-70题）
· 通过作辅助线（作高、作垂线）构造直角三角形再应用勾股定理
· 与全等三角形结合求线段长度或证明线段关系
· 证线段和差问题可考虑截长补短或利用勾股定理的代数变形
48．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
49．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺．
50．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：）
（2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明．
51．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
52．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题．
(1)连接，并求的长；
(2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积．
课后巩固
复习建议
· 熟记勾股定理及其逆定理的表达式，注意适用条件（直角三角形/判定三角形）
· 掌握常见勾股数（3、4、5；5、12、13；6、8、10）与变形形式
· 折叠、动点问题中善于设未知数、找等量关系列方程求解
· 网格、弦图等图形背景问题，先提取其中的直角三角形再计算
· 实际应用问题先抽象为直角三角形数学模型，再代入定理求解
【作业1】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【作业3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【作业4】．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（ ）
A．12 B．169 C．144或169 D．144或194
【作业5】．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（ ）.
A． B． C．30 D．70
【作业6】．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示的是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是________．
【作业7】．（24-25八年级下·全国·课堂例题）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____．
【作业8】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在中，，则的长为_______．
【作业9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行_________千米．
【作业10】．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______．
【作业11】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深________尺．
【作业12】．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．

【作业13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知．
(1)求公路的长度．
(2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用．
【作业14】．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
(1)直接写出下列线段的长度： ， ；
(2)连接，判断形状，并证明你的结论．
【作业15】．（26-27八年级上·全国·课后作业）试判断下列各组以为三边长的三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业16】．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
【作业17】．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ．
【作业18】．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，．
(1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？
(2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值．
试卷第1页（共3页）
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