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第三章·整式及其加减·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解用字母表示数的意义，能列代数式表示实际问题中的数量关系并解释其实际意义
· 掌握单项式、多项式、整式的有关概念，能准确确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数
· 理解同类项的概念，能熟练合并同类项，会由同类项条件求字母指数的值
· 掌握去括号法则，能进行整式的加减运算与化简求值，能解决含参数的无关型问题
· 会求代数式的值，能结合绝对值非负性与数轴综合求值，并能探索图形与数字中的规律
知识梳理
☆ 1.字母表示数与代数式
用字母表示数可以把数量关系一般地、简明地表示出来，字母与数一样参与运算
代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独一个数或字母也是代数式
列代数式要抓住关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少），注意书写规范：数与字母相乘乘号省略、数写在字母前、除法写成分数形式
代数式求值：用数值代替代数式里的字母，按运算顺序计算出结果；能利用整体代入简化计算
概念辨析例题：某商场搞促销，一台空调原价a元，先涨价20%后又打八折出售，则现价为____元
答案：0.96a
解析：涨价20%后为(1+20%)a=1.2a元，再打八折即乘0.8，现价为1.2a×0.8=0.96a元。
☆ 2.整式（单项式与多项式）
单项式：数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式
单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和（π视为常数）
多项式：几个单项式的和；多项式的项：每个单项式，不含字母的项叫常数项；多项式的次数：次数最高项的次数
整式：单项式与多项式统称整式；分母中含有字母的式子不是整式
概念辨析例题：单项式-x2y的系数是____，次数是____
答案：系数是-，次数是3
解析：数字因数为-即系数；字母x的指数是2、y的指数是1，次数为2+1=3。
☆ 3.同类项与合并同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项；几个常数项也是同类项，与系数和字母顺序无关
合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
已知两个单项式是同类项，可按「字母相同、相同字母指数相等」列方程求字母的值
合并同类项后若某项系数为0，则该项消失；结果一般按某字母降幂排列
概念辨析例题：若3x2my3与-5x4yn是同类项，则m+n=____
答案：m+n=5
解析：同类项要求相同字母指数相等：2m=4得m=2，n=3，所以m+n=2+3=5。
☆ 4.去括号与整式的加减
去括号法则：括号前是「+」，去括号后括号内各项符号不变；括号前是「-」，去括号后括号内各项都变号
整式加减的一般步骤：先去括号，再合并同类项；有多层括号时由内向外或由外向内逐层去掉
化简求值：先把整式化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算，能使运算简便
无关型问题：整式的值与某字母无关，即合并同类项后该字母的系数为0，据此列方程求参数
概念辨析例题：化简并求值：2(a2-2ab)-3(a2-ab)，其中a=-1，b=2
答案：-a2-ab，值为-1
解析：去括号：2a2-4ab-3a2+3ab；合并同类项得-a2-ab；代入a=-1、b=2：-(-1)2-(-1)×2=-1+2=-1。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
代数式 用运算符号连接数与字母的式子 单独一个数或字母也是代数式
单项式 数与字母的积 系数含符号，次数为字母指数和
多项式 几个单项式的和 次数取最高次项次数
同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、字母顺序无关
合并同类项 系数相加，字母及指数不变 系数为0则该项消失
去括号 「-」号后各项都变号 勿漏乘括号内任一项
整式加减 先去括号，再合并同类项 求值先化简再代入
核心考点
【考点1】单项式与整式的有关概念（第1-5题）
· 判断单项式只看是否为数与字母的积，单独的数或字母也是单项式；分母含字母的不是整式
· 系数要连同前面的符号一起看，π是常数不是字母
· 次数是所有字母指数之和，常数项次数为0，勿漏算指数为1的字母
· 多项式次数由最高次项决定，项数看合并前的单项式个数
1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）单项式的系数、次数分别是（ ）
A．，5次 B．1，5次 C．，4次 D．1，4次
【答案】A
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查单项式的相关知识，掌握系数是指单项式中的数字因数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数是解题关键．注意是数字因数．
【详解】解：单项式的系数为，次数为5次．
故选：A．
2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）单项式的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式次数的定义．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式次数的定义来求解．
【详解】解：根据单项式定义得：的次数为：．
故选：C．
3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法中，正确的个数：（ ）
①单项式与多项式统称为整式；②符号相反的两个数互为相反数；③是最小的整数；④没有系数；⑤两个负数比较大小，绝对值小的反而大；
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的判断、有理数大小比较、单项式的系数、次数、有理数的分类、相反数的定义
【详解】解：单项式与多项式统称为整式，选项①符合题意；
只有符号不同的两个数互为相反数，选项②不符合题意；
没有最小的整数，选项③不符合题意；
的系数是，选项④不符合题意；
两个负数比较大小绝对值大的反而小，绝对值小的反而大，选项⑤符合题意；
∴符合条件的有①⑤．
4．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）观察下列一串单项式：，，，，…，则第10个单项式为______．
【答案】
【知识点】单项式的系数、次数、单项式规律题
【分析】本题考查了整式的规律计算，理解单项式中系数，指数的规律是关键，根据题意，系数依次为，字母的指数依次为（为正整数），由此即可求解．
【详解】解：单项式：，，，，…，
∴系数依次为，字母的指数依次为（为正整数），
∴第10个单项式的系数为，字母的指数为，即，
故答案为： ．
5．（23-24七年级上·重庆南川·期末）单项式的系数是，次数是，则______．
【答案】
【知识点】单项式的系数、次数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式次数和系数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，再代值计算即可．
【详解】解：∵单项式的系数是，次数是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【考点2】同类项与合并同类项（第6-8题）
· 同类项两相同：所含字母相同、相同字母指数相同，与系数和顺序无关
· 合并同类项只把系数相加，字母与指数保持不变
· 由同类项求字母值：令相同字母的指数相等列方程求解
· 常数项之间也是同类项，合并时不要遗漏
6．（25-26七年级上·广东梅州·期中）若单项式与是同类项，则______．
【答案】
9
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查同类项的定义，根据所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项求解即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（24-25七年级上·全国·期末）（1）计算：．
（2）若单项式与是同类项，求的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】有理数加法运算律、已知同类项求指数中字母或代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了有理数的加法，同类项，有理数乘方，
（1）根据有理数的加法交换律、交换律计算即可；
（2）直接根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫作同类项，据此求出m、n的值，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）因为单项式与是同类项，
所以，，
所以，
所以.
8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）合并同类项：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】合并同类项
【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
（1）根据合并同类项的运算法则计算即可；
（2）根据合并同类项的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点3】去括号与整式的加减运算（第9-17题）
· 括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，这是最易错点
· 括号前有数字因数时，用分配律把数乘进括号内每一项，勿漏乘
· 整式加减先去括号再合并同类项，结果按某字母降幂排列更规范
· 化简求值先化简后代入，代入负数或分数时要加括号
9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减，先去括，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】去括号
【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式不成立，不符合题意；
B、，原式不成立，不符合题意；
C、，原式不成立，不符合题意；
D、，原式成立，符合题意；
故选D．
11．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【知识点】去括号、合并同类项、整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式加减运算的化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算法则，正确进行化简，再代入求解即可．
【详解】解：
；
将，代入可得
原式．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式，．
(1)化简：；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式的加减运算
【分析】本题主要考查整式的加减：
（1）根据整式加减的运算法则计算即可；
（2）将代入即可求得答案．
【详解】（1）
（2）当时
原式
13．（24-25七年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值． 其中
（2）已知求 的值．
【答案】（1），；（2）
【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值
【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，将，代入计算即可求出值．
（2）原式去括号合并同类项得到最简结果，根据绝对值和偶次方的非负性求出将，再代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）原式 ，
当 时，原式 .
（2）原式 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因此，原式 ．
14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项的方法及整式的加减混合运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项，得出最简结果，最后代入、的值，计算即可得答案．
【详解】解：
．
当，时，原式．
15．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，0
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
16．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，．
【答案】，
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值
【分析】本题考查了整式的化简求值，先对整式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴，
原式
，
，
．
17．（23-24七年级上·山东日照·期中）先化简，再求值
(1)，其中与互为相反数．
(2)已知，求整式的值．
【答案】(1)3
(2)30
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、相反数的定义
【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解的关键．
（1）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将的值代入即可求解；
（2）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将的值代入即可求解．
【详解】（1）解：原式
∵x与y互为相反数，
∴，
∴原式；
（2）解：原式
把代入得：原式
【考点4】代数式求值与绝对值综合（第18-31题）
· 求代数式的值直接代入计算；能整体代入时把已知式子看作整体，避免求单个字母
· 利用|a|≥0与几个非负数（绝对值、偶次幂）之和为0，则每个非负数都为0
· 含字母的绝对值化简先判断绝对值内式子的正负，再按定义去掉绝对值符号
· 程序流程图与新定义运算按流程逐步代入，每步注意符号与运算顺序
18．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）若，，，，则的值为（　　）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】根据题意得，，将其值带入即可求解．
【详解】解：由题意得：
，，
则，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值、代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
19．（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列判断正确的是（ ）
A． B．是有理数，它的相反数是
C．若，则 D．单项式的系数是
【答案】A
【知识点】绝对值的几何意义、有理数大小比较、单项式的系数、次数、相反数的定义
【分析】本题考查了单项式，相反数，绝对值，有理数大小比较，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据单项式，相反数，绝对值，有理数大小比较，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A符合题意；
B、是有理数，它的相反数是，故B不符合题意；
C、若，则或，故C不符合题意；
D、单项式的系数是，故D不符合题意；
故选：A．
20．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）已知，y的相反数是1，则（ ）
A．2或 B．或4 C．2 D．
【答案】A
【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义
【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、加法的运算法则，熟练掌握以上运算法则是解题的根据．根据绝对值和相反数的运算法则求出的值，再根据加法法则进行计算即可．
【详解】解： ，
，
y是1的相反数，
，
∴当时，，
当时，；
综上分析可知，的值为2或．
故选：A．
21．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查程序图与代数式求值，数字规律，将的值代入按照指定的运算进行多次计算后，由每次运算的结果所呈现的规律：从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现，再结合第2024次进行解答即可．
【详解】解：根据所提供运算程序可得，
第1次输入，则第1次输出的结果为，
第2次输入，则第2次输出的结果为，
第3次输入，则第3次输出的结果为，
第4次输入，则第4次输出的结果为，
第5次输入，则第5次输出的结果为，
第6次输入，则第6次输出的结果为，
第7次输入，则第7次输出的结果为，
第8次输入，则第8次输出的结果为，
，
∴从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现，
，
第2024次输出的结果为．
故选：B．
22．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】从不同方向看几何体、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，代数求值．
根据题意求出的值，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意可得，最多需要的方块为，最少需要的方块为，
∴，
故选：B．
23．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）图①中每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”．运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动的过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“〇”中，将a，b，c，d，e连接起来，构成一个算式．如：“+”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式．根据如图②所示的“天梯”计算当，，，，时所写算式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】此题考查了求代数式的值，根据题意可得到算式，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：由题意确定各符号的位置，
此时的算式为，
当，，，，时，
故选：A
24．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、数字类规律探索
【分析】本题考查了绝对值的化简，数字类规律探索，解一元一次方程，正确理解题意，探究数字类规律是解题的关键．
对于①，根据题意，先求，再求即可；
对于②，根据题意，分别求，，，，，，的值，再求和即可；
对于③，根据题意列方程即可求解；
对于④，分别求，，，，，的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案．
【详解】当，时，
，
，
①错误；
当，时，
，
，
，
，
，
，
②正确；
当，，时，
，
，
解得或，
③错误；
当，，（，m为整数）时，
，
，
，
，
依次规律，可得，
④正确；
正确的结论个数有2个．
故选：B．
25．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，且，则_____．
【答案】或
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了绝对值的化简，已知字母的值求代数式的值，先化简得，因为，故或，然后代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
26．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值是__________．
【答案】
或
【知识点】绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，代数式求值，解题的关键是根据绝对值的意义求出或，再分别代入计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴当时，；
当时，；
综上，的值是或．
故答案为：或．
27．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若，，且，则的值是______．
【答案】
【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的乘法运算，已知字母的值求代数式的值，根据绝对值的性质确定a的值，结合b的符号和的条件，选择符合条件的a值，再计算．
【详解】解：因为，
所以或，
又因为，且，
所以a与b同号，
故，
则，
故答案为．
28．（25-26七年级上·北京·单元测试）将1，2，3， 100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最大值为 _________．
【答案】2500
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，每组中的两个数记为a，b，分当时和当时，两种情况化简，推出将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数，则如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，据此计算求解即可．
【详解】解：每组中的两个数记为a，b，
当时，，
当时，，
∴将每组中的两个数a，b，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较小的数．
∴如果求这50个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，
∴这样，这50个值的和的最大值为：，
答案：2500．
29．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动4个单位长度到达点，第二次将点向右移动8个单位长度到达点，第三次将点向左移动12个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，对应的数为___________，如果点与原点的距离大于2028，那么n的值至少是___________．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了数字的变化规律探究，根据点的移动规律，通过计算，由所表示的数找到规律，把代入即可解答第一空；根据点与原点的距离大于，分是奇数和偶数两种情况列出对应的不等式，解之即可解答第二空；通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题可得：表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，，
第次移动表示的数为，当是奇数时，表示的数是；当是偶数时，表示的数是；
∴时，，
当时，解得，此时的最小值 为；
当时，解得，此时的最小值 为；
∴的最小值 为，
故答案为：；．
30．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数．求的值．
【答案】
【知识点】正方体相对两面上的字、已知字母的值 ，求代数式的值、相反数的定义
【分析】由正方体展开图可得，与1是相对面，与3是相对面，则， 代入求值即可．
【详解】解：由正方体展开图可得，与1是相对面，与3是相对面
∴
∴．
31．（23-24七年级上·重庆永川·阶段检测）已知：、互为相反数，互为倒数，的绝对值为3，求：的值．
【答案】或2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一个数的绝对值、倒数、相反数的定义
【分析】本题主要考查相反数、倒数与绝对值的意义及代数式的值，熟练掌握相反数、倒数与绝对值的意义及代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴当时，则；
当时，则；
综上所述：的值为或2．
【考点5】整式加减的应用与无关型问题（第32-39题）
· 列代数式解应用题：先理清数量关系，用字母表示未知量再列式
· 解释代数式实际意义要结合具体情境，表述合理即可
· 无关型问题：合并同类项后令与该字母相关项的系数为0，列方程求参数
· 与某字母取值无关即该字母系数为0，而不是式子为0
32．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2024年12月的月历表，将工形任意的放入表格数字区，恰能盖住七个数字，则“工”形覆盖的七个数字之和可能是（ ）
A．64 B．69 C．78 D．84
【答案】D
【知识点】列代数式、整式加减的应用
【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用等知识点，根据日历中的数字规律正确列出代数式是解题的关键．
先根据日历中的数字规律列出代数式化简得到，即能够被7整除的数满足题意，据此即可得出答案．
【详解】解：设“H”形框最中间的数为n，则上边三个数和下边三个数依次为：，
∴“H”形框中的七个数字之和为：，
在四个选项中，只有D选项84能被7整除，符合题意，
故选：D．
33．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）要使多项式中不含项，则m的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题主要考查了多项式，利用多项式中不含项，进而得出的系数和为0，进而求出即可．
【详解】解：∵多项式中不含xy项，
∴，
∴．
故选：D．
34．（23-24七年级上·广东东莞·期中）关于x的式子结果中不含x的一次项，则_________．
【答案】
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是理解．
先合并同类项，再由多项式中不含一次项，可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵关于x的式子结果中不含x的一次项，
∴，
解得：，
故答案为：．
35．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知代数式，．若的值与的取值无关，则______．
【答案】
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查整式的加减，理解“无关性”是解答的关键．
根据整式的运算法则化简，然后令含的项的系数为0即可求出的值．
【详解】解：
，
又∵的值与的取值无关，
∴，
∴，
故答案为：．
36．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）如图，将9个数放入“”内，分别记作，，，，，，，，，若每条边上3个“”内数字之和相等，即，则，，，四个数之间的数量关系是_______；，，三个数之间的数量关系是_______．

【答案】
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意列等式计算即可得到答案．正确理解题意，利用题目中出现的字母的所在边寻找数量关系式解题关键．
【详解】解析：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
37．（21-22七年级上·四川泸州·期中）已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【答案】
【知识点】整式加减中的无关型问题
【分析】本题考查整式的化简求值，根据题意列式计算后求得的值后代入中计算即可．
【详解】解：，，
，
的值与的取值无关，
，
解得：，
则．
38．（26-27七年级上·全国·期中）如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”．
(1)和为数________的“关联整式”；
(2)若和为数1的“关联整式”，，求整式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式加减的应用
【分析】（1）两代数式相加即可求解题目；
（2）因为和为数1的“关联整式”，由题意，则，代入求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵和为数1的“关联整式”，
∴
∴
．
39．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则．
(1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值；
(2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t．
【答案】(1)984，1；121，
(2)342，284，684，742
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题考查新定义下的运算和整式加减的应用，解题的关键是掌握“好数”的特征．
（1）根据“好数”的定义确定各个数位上的数字，然后根据的定义计算其值；
（2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F的定义表示出和，再根据能被8整除来确定满足条件的数．
【详解】（1）解：∵是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大，
∴百位最大是9．
根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8，
∴最大的好数，
交换m的百位数字和十位数字后得到，
∵，
∴；
要使“好数”最小，百位数字应尽量小，
∴百位最小是1，个位数字最小是1，
∴十位数字是2，
∴最小的好数，
交换m的百位数字和十位数字后得到，
∵，
∴；
（2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为，
∴，
交换t的百位数字和十位数字后得到，
∵，
∴，
∵t的各个数位上的数字和，
∴，
∵k能被8整除，即能被8整除，
当时：
若，则，解得，此时；
若，则，解得，此时；
当时：
若，则，解得，此时；
若，则，解得，此时．
综上所述，所有满足条件的三位自然数t为342，284，684，742．
【考点6】规律探索（图形与数字）（第40-52题）
· 数字规律题先列出前几项，观察相邻项的差、比或与序号n的关系
· 图形规律题数出前几个图形中目标图形的个数，再归纳出第n个的代数式
· 规律一般写成含n的代数式，再代回前几项验证
· 复杂规律可分解为不变部分与随n变化部分分别表示
40．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图8中有（ ）个棋子．
A．61 B．60 C．59 D．58
【答案】A
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
根据题意得出第个图形中棋子数为，据此可得．
【详解】解：图1中棋子有（个），
图2中棋子有（个），
图3中棋子有（个），
……，
一般地，第个图形中棋子数为，
图8中棋子有
（个），
故选A．
41．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）电子跳蚤游戏盘（如图）为，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可以求出前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，本题得以解决．
【详解】,
，
，
，
，
∵,
，
，
，
，
，
此时与重合，即经过次跳跃，电子跳蚤回到起跳点，
，
与重合，
∴与C之间的距离是
故选：B.
42．（衔接点02式与方程-2024年小升初数学无忧衔接（通用版））如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有 个点．
【答案】
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为，，，，，分析这些数我们可以得到，，，据此总结规律求解即可．
【详解】观察题图可知：
图①中点的个数为；
图②中点的个数为；
图③中点的个数为；
图④中点的个数为；
图n中点的个数为；
当时，图中点的个数有（个）点，
故答案为：．
43．（25-26七年级上·全国·期末）某同学学籍号为，表示他是年入学的班号男生（男生用“”表示,女生用“”表示），那么年入学的班号女生的学籍号是___________．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
故答案为：202511232．
44．（22-23七年级下·四川成都·期中）观察下列各式，分析并猜想：
，，，．
计算，第24个式子的结果为__________（用数字作答）．
【答案】/
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，据此代入计算求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
……，
以此类推，可知，
∴当时，，
故答案为：．
45．（25-26七年级上·北京·期末）如图，用棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，摆第4个图形，需要______个棋子，摆第n个图形需要______个棋子（用含n的式子表示）．
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．根据图形得出摆第n个图形需要个棋子，即可求解．
【详解】解：由图形可知，摆第1个图形，需要8个棋子，
摆第2个图形，需要11个棋子，
摆第3个图形，需要14个棋子，
则摆第4个图形，需要个棋子，
观察发现，摆第n个图形需要个棋子，
故答案为：，．
46．（23-24七年级上·广西河池·期中）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第⑩个图案中圆点的个数是________．
【答案】
【知识点】用代数式表示数、图形的规律
【分析】本题考查了图形的变化规律，找出圆点在数量上变化的规律，推导出一般性结论，利用规律解决问题是解答本题的关键．
根据观察图形可知，第一个图形总共有个圆点，第二个图形总共有个圆点，第三个图形总共有个圆点，以此类推，第个图形应该有个圆点，第十个图形就有个圆点．
【详解】解：根据图中原点摆放找出规律：
当时，圆点个数为，
当时，圆点个数为，
当时，圆点个数为，
当时，圆点个数为，
当时，圆点个数为．
故答案为．
47．（25-26七年级上·浙江台州·期中）现有2，5，8三个自然数组成的数组．第1次操作：在相邻两数之间插入“后一个数减去前一个数的差”，得到新数组2，3，5，3，8；第2次操作：继续在相邻两数之间插入“后一个减去前一个数的差”，得到新数组，以此类推，经过100次操作后，该数组内所有数的和为_______．
【答案】615
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出第次操作后，该数组内所有数的和，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由题意得：初始数组内所有数的和为，
第1次操作后，该数组内所有数的和为，
第2次操作后，该数组内所有数的和为，
第3次操作后，得到新数组为，则该数组内所有数的和为，
归纳类推得：第次操作后，该数组内所有数的和为，其中为正整数，
则经过100次操作后，该数组内所有数的和为，
故答案为：．
48．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）将字母“”“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是__________．
【答案】
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为，
第3个图中H的个数为，
……
∴第n个图中H的个数为，
故答案为：．
49．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）观察数列：第2026个数是___________．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】观察数列得到符号和绝对值的变化规律，根据规律计算第2026个数．
【详解】解：观察数列可得：符号规律：第奇数个数为正，第偶数个数为负；绝对值规律：第个数的绝对值为；
∵2026是偶数，
∴第2026个数的符号为负，
计算绝对值：，
∴第2026个数是．
50．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（找规律）小丽1月份在储蓄罐存放2元，2月份存放3元，3月份存放5元，4月份存放8元，5月份存放13元，……，按照这样的规律，到12月份小丽将在储蓄罐共存放了____元．
【答案】984
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数列中的规律， 关键是从3月份开始发现规律，通过观察发现， 从3月份开始， 每月存放的钱数是前两个月钱数的总和，据此解答即可；
【详解】解：6月份∶ (元)
7月份∶ (元)
8月份∶ (元)
9月份∶ (元)
10月份∶ (元)
11月份∶ (元)
12月份∶ (元)
到12月份小丽将在储蓄罐共存放，
故答案为：984；
51．（25-26六年级上·山东济宁·期末）如图：
(1)2026在第 行，第 列；
(2)由五个数组成的中，如果将中间位置的数字用a表示，那么这5个数的和可以表示为 ．
(3)这五个数的和能否是2025，若能请求出这5个数：若不能请说明理由．
【答案】(1)226；1
(2)5a
(3)
解：不能，理由如下：
当时，
解得，，
∵，
∴位于第45行，第9列，不符合题意．解：不能，理由如下：
当时，
解得，，
∵，
∴位于第45行，第9列，不符合题意．
【知识点】列代数式、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的混合运算，数字规律的探索，解题的关键是找出数字分布的规律．
（1）根据数字分别规律进行求解即可；
（2）列出代数式，然后求和即可；
（3）代数求值，然后进行验证即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴2026在第226行，第1列，
故答案为：226，1；
（2）解：将中间位置的数字用a表示，则其余4个数表示为：，
∴这5个数的和可以表示为，
故答案为：；
（3）略
52．（23-24七年级上·广东佛山·期末）探究活动：
(1)探究规律：
；
；
；
___________________________；
…
(2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）；
(3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）由（1）中的发现即可解决问题．
（3）对发现的等式进行证明即可．
本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键．
【详解】（1）解：；
；
；
故答案为：．
（2）解：根据前面的规律，得，
故答案为：．
（3）解：有类似规律，；理由如下，
，
由，
故．
课后巩固
复习建议
· 单项式系数带符号、次数算所有字母指数和，π当常数处理
· 同类项看字母和指数，与系数、顺序无关；合并只加系数
· 去括号遇负号全变号，括号前有数要分配到每一项
· 求值先化简再代入，非负数之和为0则各部分都为0
· 规律题先算前几项再归纳第n个的代数式并回代验证
【作业1】．（24-25七年级上·海南海口·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项
【分析】本题主要考查了合并同类项，根据合并合并同类项法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变一一计算并判断即可．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【作业2】．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】单项式的判断
【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可．
【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个．
故选：C．
【作业3】．（4.1 整式-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024））关于单项式，下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是
B．系数是，次数是
C．系数是，次数是
D．系数是，次数是
【答案】B
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式的相关定义，熟练掌握单项式系数与次数的定义是解题的关键．利用单项式系数（单项式前面的数字因数）和次数的定义（所有字母的指数的和）求解即可．
【详解】解：∵单项式的数字因式是，
∴系数是，
∵单项式的所有字母的指数的和是，
∴次数是，
故选：B．
【作业4】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，把两个正方形放置在周长为的长方形内，两个正方形的周长和为（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式加减的应用
【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分竖直方向的边长为a，水平方向的边长为b，
∵两个正方形的周长和为，
∴，
∴，
∴，，
∵长方形的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长为，
故选：．
【作业5】．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，，，…，是2024个表示2或的一列数，且满足，则的最小值为（ ）
A．3240 B．1720 C．1722 D．3444
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字变化的规律，能由2024个数的和得出这列数中2和的个数是解题的关键．可根据这2024个数的和，得出这列数中2和的个数，再结合绝对值和完全平方的非负性即可解决问题．
【详解】令这2024个数中2的个数为个，则的个数为个，
则，
解得，
所以，
即表示这列数中有个，1163个．
因为要使原式计算结果最小，
则令都为,所以
的值都为0；
则中有861个结果为4，其余为0，
所以原式的最小值为：．
故选：D ．
【作业6】．（25-26七年级上·湖南娄底·期中）若与是同类项，则________．
【答案】6
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；因此，两个项中的指数和的指数必须分别相等，然后问题可求解．
【详解】解：由同类项的定义，得和，
解得，；
所以；
故答案为：6．
【作业7】．（23-24七年级上·山西运城·期中）如果单项式与是同类项，则________．
【答案】8
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查了同类项的定义“字母和字母指数相同的单项式是同类项”，据此解答即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
【作业8】．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一个长方形周长为24，若该长方形一边用x表示，则长方形的面积可以表示为________．
【答案】
【知识点】列代数式
【分析】本题考查列代数式，根据长方形周长公式求出长与宽的和，再利用面积公式表示
【详解】解：∵长方形一边长为，周长为24，
∴另一边长为，
∴长方形面积为．
故答案为：．
【作业9】．（23-24六年级上·北京石景山·期中）单项式的系数是_________，次数是___________．
【答案】
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此求解即可．
【详解】单项式的系数是，次数是，
故答案为：；．
【作业10】．（19-20七年级上·陕西西安·期中）若，那么______．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查代数式求值，绝对值和偶次幂的非负性，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
根据绝对值的非负性，得到关于a，b的方程，从而求出a，b的值，进而即可求解．
【详解】∵，
又，
，
，
，
故答案是：．
【作业11】．（25-26七年级上·四川成都·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是__________．
【答案】6
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】本题考查同类项的定义，两个单项式的和仍为单项式，则这两个单项式是同类项，根据同类项中相同字母的指数相等，求出m、n的值，再计算的值即可．
【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式，
∴与是同类项，
∴由同类项的定义可知，相同字母的指数相等，即，，
解得，，
则，
故答案为：6．
【作业12】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）在一列数中，已知，且当时，（取整符号表示不超过有理数的最大整数，如则等于_____．
【答案】4
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了规律问题，有理数的混合运算．通过计算前几项发现序列呈周期性变化，周期为5，即每5项重复1，2，3，4，5．计算2024在周期中的位置即可得结果．
【详解】解：∵，且当时，，
，
，
，
，
，
，
以此类推，后面的数为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…，周期为5．
∵，
∴．
故答案为：4．
【作业13】．（25-26七年级上·广西南宁·期末）已知代数式的值为，则代数式的值为 __________.
【答案】3
【知识点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，正确应用已知条件整体代入是解题的关键．利用已知可得出，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由已知，
移项，两边同时除以3，得，
，
故答案为3．
【作业14】．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个六边形和两个三角形．
(1)求第5个图案中三角形的个数；
(2)求第n个图案中三角形的个数．（用含n的代数式表示）
【答案】(1)第5个图案中三角形的个数是12个；
(2)第n个图案中三角形的个数是个．
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加2是解题的关键．
（1）根据前三个图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题；
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
第1个图案中三角形的个数为：；
第2个图案中三角形的个数为：；
第3个图案中三角形的个数为：；
，
所以第个图案中三角形的个数为：．
当时，
（个，
即第5个图案中三角形的个数为12个；
（2）解：由（1）知，
第个图案中三角形的个数为个．
【作业15】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数．
(1)______，______，______；
(2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值．
【答案】(1)1；3；2
(2)2022
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值
【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键；
（1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值；
（2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可．
【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项，
，
解得，
c是多项式的次数，
，
（2）解：由（1）可得：，
，
，
代数式的值为．
【作业16】．（25-26七年级上·天津西青·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【知识点】整式的加减中的化简求值
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式
．
【作业17】．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆．
(1)单项式表示的实际意义为________；
(2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示）
【答案】(1)a辆小型汽车的停车费
(2)这一天停车场共可收缴停车费为元．
【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义
【分析】本题考查了列代数式．
（1）根据题意，得出单项式4a表示的实际意义为a辆小型汽车的停车费；
（2）根据停车总费用中型汽车辆数小型汽车辆数，即可得出关于a的代数式．
【详解】（1）解：单项式表示的实际意义为a辆小型汽车的收费，
故答案为：a辆小型汽车的停车费；
（2）解：根据题意得：，
答：这一天停车场共可收缴停车费为元．
【作业18】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与的差是________．
（2）与的和为________．
【答案】（1） （2）
【知识点】整式的加减运算
【分析】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
（1）（2）列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2） .
试卷第1页（共3页）
1第三章·整式及其加减·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解用字母表示数的意义，能列代数式表示实际问题中的数量关系并解释其实际意义
· 掌握单项式、多项式、整式的有关概念，能准确确定单项式的系数与次数、多项式的项与次数
· 理解同类项的概念，能熟练合并同类项，会由同类项条件求字母指数的值
· 掌握去括号法则，能进行整式的加减运算与化简求值，能解决含参数的无关型问题
· 会求代数式的值，能结合绝对值非负性与数轴综合求值，并能探索图形与数字中的规律
知识梳理
☆ 1.字母表示数与代数式
用字母表示数可以把数量关系一般地、简明地表示出来，字母与数一样参与运算
代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，单独一个数或字母也是代数式
列代数式要抓住关键词（和、差、积、商、倍、分、多、少），注意书写规范：数与字母相乘乘号省略、数写在字母前、除法写成分数形式
代数式求值：用数值代替代数式里的字母，按运算顺序计算出结果；能利用整体代入简化计算
概念辨析例题：某商场搞促销，一台空调原价a元，先涨价20%后又打八折出售，则现价为____元
答案：0.96a
解析：涨价20%后为(1+20%)a=1.2a元，再打八折即乘0.8，现价为1.2a×0.8=0.96a元。
☆ 2.整式（单项式与多项式）
单项式：数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式
单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和（π视为常数）
多项式：几个单项式的和；多项式的项：每个单项式，不含字母的项叫常数项；多项式的次数：次数最高项的次数
整式：单项式与多项式统称整式；分母中含有字母的式子不是整式
概念辨析例题：单项式-x2y的系数是____，次数是____
答案：系数是-，次数是3
解析：数字因数为-即系数；字母x的指数是2、y的指数是1，次数为2+1=3。
☆ 3.同类项与合并同类项
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项；几个常数项也是同类项，与系数和字母顺序无关
合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变
已知两个单项式是同类项，可按「字母相同、相同字母指数相等」列方程求字母的值
合并同类项后若某项系数为0，则该项消失；结果一般按某字母降幂排列
概念辨析例题：若3x2my3与-5x4yn是同类项，则m+n=____
答案：m+n=5
解析：同类项要求相同字母指数相等：2m=4得m=2，n=3，所以m+n=2+3=5。
☆ 4.去括号与整式的加减
去括号法则：括号前是「+」，去括号后括号内各项符号不变；括号前是「-」，去括号后括号内各项都变号
整式加减的一般步骤：先去括号，再合并同类项；有多层括号时由内向外或由外向内逐层去掉
化简求值：先把整式化简（去括号、合并同类项），再代入数值计算，能使运算简便
无关型问题：整式的值与某字母无关，即合并同类项后该字母的系数为0，据此列方程求参数
概念辨析例题：化简并求值：2(a2-2ab)-3(a2-ab)，其中a=-1，b=2
答案：-a2-ab，值为-1
解析：去括号：2a2-4ab-3a2+3ab；合并同类项得-a2-ab；代入a=-1、b=2：-(-1)2-(-1)×2=-1+2=-1。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
代数式 用运算符号连接数与字母的式子 单独一个数或字母也是代数式
单项式 数与字母的积 系数含符号，次数为字母指数和
多项式 几个单项式的和 次数取最高次项次数
同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、字母顺序无关
合并同类项 系数相加，字母及指数不变 系数为0则该项消失
去括号 「-」号后各项都变号 勿漏乘括号内任一项
整式加减 先去括号，再合并同类项 求值先化简再代入
核心考点
【考点1】单项式与整式的有关概念（第1-5题）
· 判断单项式只看是否为数与字母的积，单独的数或字母也是单项式；分母含字母的不是整式
· 系数要连同前面的符号一起看，π是常数不是字母
· 次数是所有字母指数之和，常数项次数为0，勿漏算指数为1的字母
· 多项式次数由最高次项决定，项数看合并前的单项式个数
1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）单项式的系数、次数分别是（ ）
A．，5次 B．1，5次 C．，4次 D．1，4次
2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）单项式的次数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法中，正确的个数：（ ）
①单项式与多项式统称为整式；②符号相反的两个数互为相反数；③是最小的整数；④没有系数；⑤两个负数比较大小，绝对值小的反而大；
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）观察下列一串单项式：，，，，…，则第10个单项式为______．
5．（23-24七年级上·重庆南川·期末）单项式的系数是，次数是，则______．
【考点2】同类项与合并同类项（第6-8题）
· 同类项两相同：所含字母相同、相同字母指数相同，与系数和顺序无关
· 合并同类项只把系数相加，字母与指数保持不变
· 由同类项求字母值：令相同字母的指数相等列方程求解
· 常数项之间也是同类项，合并时不要遗漏
6．（25-26七年级上·广东梅州·期中）若单项式与是同类项，则______．
7．（24-25七年级上·全国·期末）（1）计算：．
（2）若单项式与是同类项，求的值．
8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）合并同类项：
(1)；
(2)．
【考点3】去括号与整式的加减运算（第9-17题）
· 括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，这是最易错点
· 括号前有数字因数时，用分配律把数乘进括号内每一项，勿漏乘
· 整式加减先去括号再合并同类项，结果按某字母降幂排列更规范
· 化简求值先化简后代入，代入负数或分数时要加括号
9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）化简得到（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）先化简，再求值：，其中，．
12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式，．
(1)化简：；
(2)当时，求的值．
13．（24-25七年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值． 其中
（2）已知求 的值．
14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，．
15．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，．
17．（23-24七年级上·山东日照·期中）先化简，再求值
(1)，其中与互为相反数．
(2)已知，求整式的值．
【考点4】代数式求值与绝对值综合（第18-31题）
· 求代数式的值直接代入计算；能整体代入时把已知式子看作整体，避免求单个字母
· 利用|a|≥0与几个非负数（绝对值、偶次幂）之和为0，则每个非负数都为0
· 含字母的绝对值化简先判断绝对值内式子的正负，再按定义去掉绝对值符号
· 程序流程图与新定义运算按流程逐步代入，每步注意符号与运算顺序
18．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）若，，，，则的值为（　　）
A．9 B．1 C． D．
19．（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列判断正确的是（ ）
A． B．是有理数，它的相反数是
C．若，则 D．单项式的系数是
20．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）已知，y的相反数是1，则（ ）
A．2或 B．或4 C．2 D．
21．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）在如图所示的运算程序中，若第1次输入x的值为2，则第2024次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．1
22．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）用若干个大小相同的小立方块搭成一个立体图形，从左面和上面看到的平面图形如图所示，搭成的这个立体图形最多需要个小立方块，最少需要个小立方块，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）图①中每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”．运算符号“+、﹣、×、÷”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动的过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“〇”中，将a，b，c，d，e连接起来，构成一个算式．如：“+”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“〇”中，其余3个运算符号分别按规则运动到“〇”中后，就得到算式．根据如图②所示的“天梯”计算当，，，，时所写算式的结果为（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，且，则_____．
26．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值是__________．
27．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若，，且，则的值是______．
28．（25-26七年级上·北京·单元测试）将1，2，3， 100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最大值为 _________．
29．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示2，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动4个单位长度到达点，第二次将点向右移动8个单位长度到达点，第三次将点向左移动12个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，对应的数为___________，如果点与原点的距离大于2028，那么n的值至少是___________．
30．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数．求的值．
31．（23-24七年级上·重庆永川·阶段检测）已知：、互为相反数，互为倒数，的绝对值为3，求：的值．
【考点5】整式加减的应用与无关型问题（第32-39题）
· 列代数式解应用题：先理清数量关系，用字母表示未知量再列式
· 解释代数式实际意义要结合具体情境，表述合理即可
· 无关型问题：合并同类项后令与该字母相关项的系数为0，列方程求参数
· 与某字母取值无关即该字母系数为0，而不是式子为0
32．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2024年12月的月历表，将工形任意的放入表格数字区，恰能盖住七个数字，则“工”形覆盖的七个数字之和可能是（ ）
A．64 B．69 C．78 D．84
33．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）要使多项式中不含项，则m的值是（ ）
A． B．3 C．2 D．1
34．（23-24七年级上·广东东莞·期中）关于x的式子结果中不含x的一次项，则_________．
35．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）已知代数式，．若的值与的取值无关，则______．
36．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）如图，将9个数放入“”内，分别记作，，，，，，，，，若每条边上3个“”内数字之和相等，即，则，，，四个数之间的数量关系是_______；，，三个数之间的数量关系是_______．

37．（21-22七年级上·四川泸州·期中）已知，，且的值与的取值无关，求的值．
38．（26-27七年级上·全国·期中）如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”．
(1)和为数________的“关联整式”；
(2)若和为数1的“关联整式”，，求整式．
39．（24-25七年级上·福建泉州·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当时，因为，所以是“好数”，此时，则．
(1)写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的值；
(2)已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t．
【考点6】规律探索（图形与数字）（第40-52题）
· 数字规律题先列出前几项，观察相邻项的差、比或与序号n的关系
· 图形规律题数出前几个图形中目标图形的个数，再归纳出第n个的代数式
· 规律一般写成含n的代数式，再代回前几项验证
· 复杂规律可分解为不变部分与随n变化部分分别表示
40．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，……，则图8中有（ ）个棋子．
A．61 B．60 C．59 D．58
41．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）电子跳蚤游戏盘（如图）为，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
42．（衔接点02式与方程-2024年小升初数学无忧衔接（通用版））如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有 个点．
43．（25-26七年级上·全国·期末）某同学学籍号为，表示他是年入学的班号男生（男生用“”表示,女生用“”表示），那么年入学的班号女生的学籍号是___________．
44．（22-23七年级下·四川成都·期中）观察下列各式，分析并猜想：
，，，．
计算，第24个式子的结果为__________（用数字作答）．
45．（25-26七年级上·北京·期末）如图，用棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，摆第4个图形，需要______个棋子，摆第n个图形需要______个棋子（用含n的式子表示）．
46．（23-24七年级上·广西河池·期中）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第⑩个图案中圆点的个数是________．
47．（25-26七年级上·浙江台州·期中）现有2，5，8三个自然数组成的数组．第1次操作：在相邻两数之间插入“后一个数减去前一个数的差”，得到新数组2，3，5，3，8；第2次操作：继续在相邻两数之间插入“后一个减去前一个数的差”，得到新数组，以此类推，经过100次操作后，该数组内所有数的和为_______．
48．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）将字母“”“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是__________．
49．（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）观察数列：第2026个数是___________．
50．（2024七年级下·四川成都·专题练习）（找规律）小丽1月份在储蓄罐存放2元，2月份存放3元，3月份存放5元，4月份存放8元，5月份存放13元，……，按照这样的规律，到12月份小丽将在储蓄罐共存放了____元．
51．（25-26六年级上·山东济宁·期末）如图：
(1)2026在第 行，第 列；
(2)由五个数组成的中，如果将中间位置的数字用a表示，那么这5个数的和可以表示为 ．
(3)这五个数的和能否是2025，若能请求出这5个数：若不能请说明理由．
52．（23-24七年级上·广东佛山·期末）探究活动：
(1)探究规律：
；
；
；
___________________________；
…
(2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）；
(3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明．
课后巩固
复习建议
· 单项式系数带符号、次数算所有字母指数和，π当常数处理
· 同类项看字母和指数，与系数、顺序无关；合并只加系数
· 去括号遇负号全变号，括号前有数要分配到每一项
· 求值先化简再代入，非负数之和为0则各部分都为0
· 规律题先算前几项再归纳第n个的代数式并回代验证
【作业1】．（24-25七年级上·海南海口·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业2】．（23-24七年级上·河南郑州·期末）下列代数式：，，，，，中，单项式共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【作业3】．（4.1 整式-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（人教版2024））关于单项式，下列说法正确的是（ ）
A．系数是，次数是
B．系数是，次数是
C．系数是，次数是
D．系数是，次数是
【作业4】．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，把两个正方形放置在周长为的长方形内，两个正方形的周长和为（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（　　）

A． B． C． D．
【作业5】．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）已知，，，…，是2024个表示2或的一列数，且满足，则的最小值为（ ）
A．3240 B．1720 C．1722 D．3444
【作业6】．（25-26七年级上·湖南娄底·期中）若与是同类项，则________．
【作业7】．（23-24七年级上·山西运城·期中）如果单项式与是同类项，则________．
【作业8】．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）一个长方形周长为24，若该长方形一边用x表示，则长方形的面积可以表示为________．
【作业9】．（23-24六年级上·北京石景山·期中）单项式的系数是_________，次数是___________．
【作业10】．（19-20七年级上·陕西西安·期中）若，那么______．
【作业11】．（25-26七年级上·四川成都·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是__________．
【作业12】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）在一列数中，已知，且当时，（取整符号表示不超过有理数的最大整数，如则等于_____．
【作业13】．（25-26七年级上·广西南宁·期末）已知代数式的值为，则代数式的值为 __________.
【作业14】．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案．从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个六边形和两个三角形．
(1)求第5个图案中三角形的个数；
(2)求第n个图案中三角形的个数．（用含n的代数式表示）
【作业15】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数．
(1)______，______，______；
(2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值．
【作业16】．（25-26七年级上·天津西青·期末）先化简，再求值：，其中．
【作业17】．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天停车场内共有45辆中小型汽车，其中小型汽车有a辆．
(1)单项式表示的实际意义为________；
(2)这一天停车场共可收缴停车费多少元？（用含a的代数式表示）
【作业18】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与的差是________．
（2）与的和为________．
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