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第二章·有理数及其计算·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数的意义，能对有理数进行分类并化简多重符号
· 掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，能进行含乘方的混合运算并灵活运用运算律
· 会利用数轴比较有理数的大小，理解|a-b|的几何意义，能解决数轴上两点距离与动点问题
· 掌握近似数与精确度的取法，会用有理数运算解决正负数表示、行程、计费等实际问题
· 能读懂程序框图并按流程计算，会观察等式中的数字规律并进行归纳猜想
知识梳理
☆ 1.有理数的意义与相关概念
正负数：具有相反意义的量可用正数和负数表示，0既不是正数也不是负数
有理数分类：按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；多重符号化简：奇数个负号得负，偶数个负号得正
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，|a|≥0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；倒数等于本身的数是1和-1
概念辨析例题：下列各数：-3，+，0，-(-2)，-|-5|，其中负数有____个
答案：2个
解析：-(-2)=2是正数；-|-5|=-5是负数；-3是负数；+是正数；0既不是正数也不是负数，故负数为-3和-|-5|共2个。
☆ 2.数轴与有理数大小比较
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数
两个负数比较大小：绝对值大的反而小
两点距离：数轴上表示数a、b的两点之间的距离为|a-b|
动点平移：点向右平移加、向左平移减；数轴翻折问题中，对折重合的两点到折点的距离相等
概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示2，则A、B两点之间的距离为____
答案：5
解析：两点距离=|a-b|=|-3-2|=|-5|=5，也可由2-(-3)=5得到。
☆ 3.有理数的运算
加法：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值
减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)
乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；多个非零因数相乘，积的符号由负因数个数决定
除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an
混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；灵活运用加法交换律、结合律与乘法分配律进行简便运算
概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2]
答案：
解析：-14=-1；(-3)2=9；括号内2-9=-7；×(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。
☆ 4.近似数与实际应用
近似数：与实际接近的数，四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位
正负数表示实际问题：用正数和负数表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、东与西）
实际应用列式：先根据题意列出有理数运算的算式，再按混合运算顺序计算
分段计费问题：找准每一段的单价与数量，分段计算后求和
概念辨析例题：用四舍五入法把3.14159精确到百分位的结果是____
答案：3.14
解析：百分位是小数点后第二位，看千分位数字为1，小于5舍去，故结果为3.14。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数
相反数 只有符号不同的两个数，a的相反数是-a 0的相反数是0
绝对值 |a|表示数轴上a到原点的距离，|a|≥0 负数的绝对值是它的相反数
倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数
乘方 an表示n个a相乘 区分(-2)2=4与-22=-4
混合运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内
近似数 四舍五入到哪一位即精确到哪一位 精确位数决定取舍规则
核心考点
【考点1】有理数的意义与相关概念（第1-9题）
· 判断正负数先化简：多重符号先化简，含绝对值、乘方的先算出结果再判断
· 相反数、倒数紧扣定义：只有符号不同互为相反数，乘积为1互为倒数
· 绝对值化简先判断被取绝对值式子的正负，再去掉绝对值符号
· 有理数分类先定标准（按定义或按符号），0单独考虑不遗漏
· 概念辨析题把每个选项举反例验证
1．（23-24七年级上·山西太原·阶段检测）的倒数是( )
A． B． C． D．
2．（20-21七年级上·河北保定·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______，倒数等于它本身的数是________．
4．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）若互为倒数，则____________．
5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）若与互为倒数，则_____________．
6．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________．
7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）若，互为相反数，，互为倒数，则式子的值为____________．
8．（24-25七年级上·山东临沂·期中）若互为倒数，互为相反数，那么_____．
9．（23-24七年级上·广东深圳·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里：
．
负有理数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }．
【考点2】数轴、绝对值与有理数大小比较（第10-21题）
· 数轴比较大小：右边的数总大于左边的数；两个负数绝对值大的反而小
· 两点距离公式：|a-b|，逆用距离相等列方程
· 数轴上判断式子正负：先看点在原点哪一侧，再判断每部分符号
· 含字母的绝对值化简：先定正负再去绝对值符号，注意分类讨论
· 动点与翻折问题：右移加左移减，对折点为重合两点的中点
10．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26七年级上·广东清远·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，B表示的数为4，则两点之间的距离为（ ）
A．7 B． C． D．1
12．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（ ）
A． B． C． D．0
14．（24-25七年级上·山东临沂·期末）已知，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
16．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为_______．
17．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）①任何数的绝对值一定是正数或0；②在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；③绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大；④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．上述说法不正确的是______．
18．（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为__________．
19．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ；
（2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？
（3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？
20．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：

(1)化简：；
(2)结合上面数轴回答问题：若a 的相反数是，b是最大的负整数，，求的值．
21．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图1，在数轴上有一条线段，A，B表示的数分别是和．
(1)若将线段的一端平移到原点处，则平移的距离为_________；
(2)如图2，C为线段上一点，以点C为折叠点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的左边且，求C点对应的数；
【考点3】有理数的混合运算与运算律（第22-41题）
· 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内
· 乘方符号：先定符号再算绝对值，区分(-a)n与-an
· 简便运算：互为相反数先加、同分母先加、能凑整先凑整，乘法分配律正用逆用
· 减法统一成加法、除法统一成乘法后再计算
· 新定义运算：严格按题目给出的规则代入，注意括号顺序
22．（24-25七年级上·云南昭通·阶段检测），括号里应该填（ ）
A． B． C．25 D．40
23．（25-26七年级上·重庆巫山·阶段检测）有4个数：，，，3，任意取其中两个数求差记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a与b的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：，，即为一种“连差操作”．给出下列说法：
①不存在“连差操作”，使其结果为0
②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10
③所有的“连差操作”，共有5种不同的结果
以上说法正确的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．（25-26七年级上·云南大理·期中）下列说法正确的有（ ）
①绝对值等于它本身的数一定是正数；
②0不是单项式；
③几个非零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；
④的次数是7；
⑤的系数是．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
25．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是，李明轮到计算，根据规则，现在轮到王伟计算，请你帮忙算一算，______．
26．（24-25八年级上·北京延庆·期中）如果，那么的值为______．
27．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与1的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是_______．
28．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则______；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为______．
29．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）关于进位制的认识，下列表述：
（1）二进制是逢二进一，如有理数14，可以转换为二进制，表示为；
（2）；
（3）在《说文解字·序》中提及有一位神龙氏时代的村民，用结绳来记录猎物的数量．方法是“从右往左，满五进一”，如图，可以判定他的猎物数量为17只；
（4）法国生物学家布封提倡使用十二进制，他除了用的数字，还用X代表10，Z代表11，构成了十二进制表示方法，如第24届国际数学家大会于2002年在中国举办，用十二进制表示2002为．
（5）易经八卦中阴爻用中断线“——”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“一”表示或数字“1”表示，八卦就可以用二进制来解释．如图，“乾”对应的十进制数字是7．其中表述正确的序号是___________．
30．（24-25七年级上·山东济南·期中）若，则___________．
31．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数不是“可拆分”整数，因此；而正整数有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，__________．
32．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
33．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知a、b是有理数，定义新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
34．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
35．（24-25七年级上·江西上饶·期中）计算：．
36．（25-26七年级上·北京房山·期中）计算：．
37．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：
解：原式=
=
==
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
38．（26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
39．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知，互为倒数，，互为相反数，．
(1)求的值；
(2)求式子的值．
40．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)；
(2)．
41．（山东省淄博市淄川区2023-2024学年六年级上学期期中数学试题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点4】有理数的实际应用（第42-46题）
· 正负数表示相反意义的量，先规定正负方向再列式
· 行程问题：求位置用累计和，求路程用绝对值之和
· 分段计费：分段列出算式，分别计算后求和
· 解应用题最后要回到实际意义作答，带单位
42．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）【情境】某校举行晚会有甲、乙、丙、丁四个节目需要彩排，学校规定演员全部到场后节目彩排开始，每个节目彩排完毕，下个节目立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如表所示：
节目 甲 乙 丙 丁
演员人数 5 2 5 1
彩排时长 20 10 15 10
【问题】这13位演员的候场时间之和最小为（ ）
A．180分钟 B．190分钟 C．200分钟 D．210分钟
44．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块______个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统．
45．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴）
用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度）
第一阶梯 3 （含）以下
第二阶梯 5 （不含）～（含）
第三阶梯 10 （不含）以上
根据表中的内容，解答下列问题：
(1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？
(2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费．
46．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下： （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？
【考点5】近似数与精确度（第47-49题）
· 四舍五入到哪一位就精确到哪一位，看下一位数字取舍
· 精确到十分位、百分位要先看清保留的位数
· 带单位的近似数要还原后判断精确位数
47．（23-24七年级上·福建泉州·期末）用四舍五入法将有理数精确到，所得到的近似数是（ ）
A． B． C． D．
48．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）温州轨道交通线全长约千米，四舍五入到整数约为________千米．
49．（23-24七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将17.0946精确到百分位的结果是_________．
【考点6】程序框图与数字规律探索（第50-52题）
· 程序框图：把输入值从上到下逐步代入，注意判断框的分支
· 循环结构：先算前几次输出，找周期规律再推广
· 数字规律：对比等式两边与序号n的关系，用含n的式子表示
50．（23-24八年级上·重庆·期中）根据图中的程序，若输入，则输出结果y为（ ）

A． B．0 C．1 D．2
51．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．9
52．（23-24七年级上·河南漯河·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室，门上安装了密码锁．凡是参加兴趣小组活动的同学，需通过观察门上的小提示，输入正确的密码后方可进入活动室，小明同学要参加兴趣小组活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入了活动室．他输入的密码是______．

课后巩固
复习建议
· 有理数概念先化简再判断，相反数、倒数、绝对值的定义不能混淆
· 数轴是比较大小和求距离的核心工具，|a-b|的几何意义要活用
· 混合运算严格按顺序，先乘方再乘除后加减，能简算的先简算
· 实际应用先规定正负方向，分段计费要分段列式最后求和
· 规律探索题先算前几项，再归纳与序号n的关系
【作业1】．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）下列各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）数轴上表示与6的两点之间的距离是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【作业3】．（23-24七年级上·广东广州·期末）白云山最高峰是摩星岭，高度比海平面高382米，记为+382米，吐鲁番盆地某处比海平面低154米，那么比海平面低154米可记为（ ）米．
A． B．154 C． D．228
【作业4】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（ ）
A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数
【作业6】．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）若一个有理数的绝对值等于它的相反数，则符合条件的最大有理数是______．
【作业7】．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）检修小组从A地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位：千米）：．求收工时在A地_____边_____千米．
【作业8】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上，点A位于原点左侧，且与原点的距离大于4，则点A表示的数可以是______（只要写一个即可）．
【作业9】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式的结果为负数，若x与y同号，则z__________0．（填“>”或“<”）
【作业10】．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）小红写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值计算被墨迹盖住部分的整数的和是________．

【作业11】．（23-24七年级上·云南红河·期中）2的相反数的倒数为__________
【作业12】．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上表示1，的点为A，B，且C，B两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是___________．

【作业13】．（23-24七年级上·天津河西·期中）计算的结果为_______________.
【作业14】．（24-25七年级上·四川广安·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【作业15】．（23-24七年级上·河南许昌·期中）进入初中我们首先学习有理数，有理数由符号和绝对值两部分组成，例如是由“”和两部分组成，通常正号省略不写，是有“”和两部分组成，因此有理数的有关运算我们先确定结果的符号再确定结果的绝对值．
(1)的结果的符号是 　　，绝对值是 　　．
的结果的符号是 　　，绝对值是 　　．
(2)仿照例题写出详细的解题过程：
例计算：
解：异号两数相乘
　　得负
并把绝对值相乘
仿照例题完成计算：
【作业16】．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）下表是某中学七年级5名学生的体重情况，试完成下表
姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁
体重（千克） 34 45
体重与平均体重的差 0
(1)谁最重？谁最轻？
(2)最重的与最轻的相差多少？
【作业17】．（21-22七年级上·广东东莞·阶段检测）计算：
【作业18】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：
我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，_____；
(3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____．
(4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____．
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1第二章·有理数及其计算·期中复习·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数的意义，能对有理数进行分类并化简多重符号
· 掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，能进行含乘方的混合运算并灵活运用运算律
· 会利用数轴比较有理数的大小，理解|a-b|的几何意义，能解决数轴上两点距离与动点问题
· 掌握近似数与精确度的取法，会用有理数运算解决正负数表示、行程、计费等实际问题
· 能读懂程序框图并按流程计算，会观察等式中的数字规律并进行归纳猜想
知识梳理
☆ 1.有理数的意义与相关概念
正负数：具有相反意义的量可用正数和负数表示，0既不是正数也不是负数
有理数分类：按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；多重符号化简：奇数个负号得负，偶数个负号得正
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，|a|≥0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；倒数等于本身的数是1和-1
概念辨析例题：下列各数：-3，+，0，-(-2)，-|-5|，其中负数有____个
答案：2个
解析：-(-2)=2是正数；-|-5|=-5是负数；-3是负数；+是正数；0既不是正数也不是负数，故负数为-3和-|-5|共2个。
☆ 2.数轴与有理数大小比较
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大；正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数
两个负数比较大小：绝对值大的反而小
两点距离：数轴上表示数a、b的两点之间的距离为|a-b|
动点平移：点向右平移加、向左平移减；数轴翻折问题中，对折重合的两点到折点的距离相等
概念辨析例题：数轴上点A表示-3，点B表示2，则A、B两点之间的距离为____
答案：5
解析：两点距离=|a-b|=|-3-2|=|-5|=5，也可由2-(-3)=5得到。
☆ 3.有理数的运算
加法：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值
减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)
乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；多个非零因数相乘，积的符号由负因数个数决定
除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an
混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；灵活运用加法交换律、结合律与乘法分配律进行简便运算
概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2]
答案：
解析：-14=-1；(-3)2=9；括号内2-9=-7；×(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。
☆ 4.近似数与实际应用
近似数：与实际接近的数，四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位
正负数表示实际问题：用正数和负数表示具有相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、东与西）
实际应用列式：先根据题意列出有理数运算的算式，再按混合运算顺序计算
分段计费问题：找准每一段的单价与数量，分段计算后求和
概念辨析例题：用四舍五入法把3.14159精确到百分位的结果是____
答案：3.14
解析：百分位是小数点后第二位，看千分位数字为1，小于5舍去，故结果为3.14。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数
相反数 只有符号不同的两个数，a的相反数是-a 0的相反数是0
绝对值 |a|表示数轴上a到原点的距离，|a|≥0 负数的绝对值是它的相反数
倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数
乘方 an表示n个a相乘 区分(-2)2=4与-22=-4
混合运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内
近似数 四舍五入到哪一位即精确到哪一位 精确位数决定取舍规则
核心考点
【考点1】有理数的意义与相关概念（第1-9题）
· 判断正负数先化简：多重符号先化简，含绝对值、乘方的先算出结果再判断
· 相反数、倒数紧扣定义：只有符号不同互为相反数，乘积为1互为倒数
· 绝对值化简先判断被取绝对值式子的正负，再去掉绝对值符号
· 有理数分类先定标准（按定义或按符号），0单独考虑不遗漏
· 概念辨析题把每个选项举反例验证
1．（23-24七年级上·山西太原·阶段检测）的倒数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】倒数
【分析】本题考查倒数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，即可．
【详解】倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数，
∴的倒数为，
故选：C．
2．（20-21七年级上·河北保定·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】相反数的定义、有理数幂的概念理解、绝对值的几何意义、倒数
【分析】此题考查的是有理数的相关定义和性质，掌握幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键．
根据幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性逐一判断即可．
【详解】解：的底数是，故①正确；
若有理数，互为相反数，那么，故②正确；
绝对值等于本身的数是非负数，故③错误；
倒数等于本身的数是或，故④错误；
∵
∴
∴式子的最小值是，故⑤正确．
共有3个正确，
故选B．
3．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______，倒数等于它本身的数是________．
【答案】 0 非负数
【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案．
【详解】解：相反数等于它本身的数是0；
绝对值等于它本身的数是非负数；
倒数等于它本身的数是；
故答案为：0；非负数；．
4．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）若互为倒数，则____________．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、倒数
【分析】本题主要考查了倒数的定义、代数式求值等知识点，掌握倒数的定义成为解题的关键．
由倒数定义得，将化为，代入计算即可．
【详解】解：∵和互为倒数，
∴．
∴
．
故答案为：．
5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）若与互为倒数，则_____________．
【答案】
【知识点】绝对值的几何意义、倒数
【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的意义，根据互为倒数的两数之积为1求解即可．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴，即，
∴，
故答案为：．
6．（19-20七年级上·湖北孝感·期末）已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且，若，则_____________．
【答案】
【知识点】相反数的定义、倒数、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，求一个数的绝对值．
根据“b与c互为相反数，且”可知c是负数，进而根据求出，进而根据倒数的定义，相反数的定义求出b、a的值即可．
【详解】解：∵b与c互为相反数，且，
∴c是负数，
∵，
∴，
∴，
∵a与b互为倒数，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）若，互为相反数，，互为倒数，则式子的值为____________．
【答案】2
【知识点】相反数的定义、倒数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了相反数和倒数的知识，掌握了以上知识是解题的关键；
根据相反数的性质和倒数概念，可得、，、的数量关系，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值．
【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，
∴，，
∴．
故答案为：2；
8．（24-25七年级上·山东临沂·期中）若互为倒数，互为相反数，那么_____．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、相反数的定义、倒数
【分析】本题考查了相反数、倒数及代数式求值，根据相反数的定义、倒数的定义可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握相反数和倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵互为倒数，
，
∵互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（23-24七年级上·广东深圳·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里：
．
负有理数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
非负整数集合：{ }．
【答案】解： 负有理数集合：{，……}；
分数集合：{，……}；
整数集合：{……}；
负分数集合：{，……}
非负整数集合：{，……}；
【知识点】有理数的分类
【分析】由有理数的有关概念，即可分类．
【详解】略
【点睛】本题考查有理数的有关概念，关键是准确掌握有理数的分类．
【考点2】数轴、绝对值与有理数大小比较（第10-21题）
· 数轴比较大小：右边的数总大于左边的数；两个负数绝对值大的反而小
· 两点距离公式：|a-b|，逆用距离相等列方程
· 数轴上判断式子正负：先看点在原点哪一侧，再判断每部分符号
· 含字母的绝对值化简：先定正负再去绝对值符号，注意分类讨论
· 动点与翻折问题：右移加左移减，对折点为重合两点的中点
10．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的减法运算、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义
【分析】本题考查数轴、绝对值，有理数的加减运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据数轴可以判断a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而可以判断各个选项是否正确．
【详解】解：由数轴可得，，，，
，
故选项A、C错误；
∵，，
，
故选项B错误；
∵，，
∴，
故选项D正确；
故选：D ．
11．（25-26七年级上·广东清远·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，B表示的数为4，则两点之间的距离为（ ）
A．7 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据数轴上两点的距离公式可得，进而求解即可．
【详解】解：∵点A表示的数为，B表示的数为4，
∴，
故选：A．
12．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、利用数轴比较有理数的大小
【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，首先判断出，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷的优势．
【详解】由题意得，，
∴①；故原结论正确；
②；故原结论错误；
③，故原结论正确；
④∵表示x到a的距离加上x到b的距离加上x到c的距离，
∴当时，式子有最小值，故原结论错误；
故正确结论有①③共2个．
故选：B．
13．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列数或式子在数轴上所对应的点一定在原点右边的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方运算、绝对值非负性
【分析】本题考查了乘方运算，绝对值的非负性，数轴上的点，由乘方运算及小于零的数在数轴上所对应的点在原点左边，大于零的数在数轴上所对应的点在原点右边，在在原点，进行逐一判断，即可求解；能熟练进行乘法运算及绝对值的性质判断正负是解题的关键．
【详解】解：A.，对应的点在原点左边，故不符合题意；
B.，对应的点一定在原点右边，故符合题意；
C.，对应的点在原点左边，故不符合题意；
D. 0对应的点是原点，故不符合题意；
故选：B．
14．（24-25七年级上·山东临沂·期末）已知，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题
【分析】本题考查数轴，绝对值，整式的加减运算，由有理数，在数轴上的位置如图所示，得出，，，再根据绝对值的方法即可求解．解题的关键是掌握绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：由图可知：，|，
∴，，
∴
．
故选：C．
15．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）已知有理数满足，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括和），下面有三个结论：①a的值可以是；②；③，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】利用数轴比较有理数的大小
【分析】此题考查有理数与数轴上点的对应关系，比较有理数的大小，由条件且a与之间只有两个整数（不包括端点），推导出a的取值范围为，此时之间的整数必为0和1，从而验证各结论
【详解】∵，在数轴上，表示和的两点之间只有两整数、（不包括端点），
∴ （若，则之间整数多于两个），且（若，则之间整数少于两个），
即
当时，，之间整数为0和1，符合条件，故①正确；
∵ 之间整数恒为0和1，
∴ ，故②正确；
，故③正确；
∴ ①②③均正确，
故选：A
16．（24-25七年级上·广东珠海·期中）的最小值为_______．
【答案】3
【知识点】有理数的减法运算、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义
【分析】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解．
【详解】解： ，
表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，
当时，有最小值．
故答案为：3．
17．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）①任何数的绝对值一定是正数或0；②在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大；③绝对值大于1的两个数相乘，积比这两个数都大；④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数．上述说法不正确的是______．
【答案】②③⑤
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义、倒数、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了绝对值的意义、用数轴比较有理数的大小、有理数的乘法法则、倒数的意义等知识，根据相关概念逐项判断即可求解．
【详解】解：①任何数的绝对值一定是正数或0，正确，不合题意；
②当点表示负数时，在数轴上与原点距离越远的点表示的数越小，原说法错误，符合题意；
③绝对值大于1的两个异号的数相乘时，积会比正因数小，原说法错误，符合题意；
④一个数的倒数等于其本身，那么这个数是或1，正确，不合题意；
⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数，原说法错误，符合题意．
故答案为：②③⑤．
18．（25-26七年级上·福建莆田·期中）已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为__________．
【答案】
【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义
【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法．
根据绝对值的几何意义，表示数x表示的点到数a和数b表示的点的距离之和，其最小值为，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：由绝对值的几何意义，表示数x表示的点到数a表示的点之间的距离，表示数x表示的点到数b表示的点之间的距离，
∴表示数x表示的点到数a和数b表示的点的距离之和，
∴的最小值为，
的最小值为12，且，
，
即．
故答案为：．
19．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ；
（2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？
（3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？
【答案】（1）；（2）；（3）、运动或或 时，在同一条直线上
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）
【分析】本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系；
（1）利用绝对值与平方数的非负性求解和的值；
（2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间；
（3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解．
【详解】（1） ，由非负性可知且，
解得；
（2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8，
线段长为，
运动到完全离开时间为；
（3）点绕点O旋转用时，
点到点的距离为，用时为．
①点与点P第一次重合时，即共线,如图，
则，
解得：；
②当射线与射线第一次成一条直线时．如图，
则，
解得：；
当点与点P第二次重合时，即共线,如图，
，
解得：；
当射线与射线第二次成一条直线时．如图，
则，
解得：（舍去）；
综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上．
20．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：

(1)化简：；
(2)结合上面数轴回答问题：若a 的相反数是，b是最大的负整数，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查整式的加减-化简求值，数轴、相反数、绝对值等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）解：由图可知，，
所以，，，
所以
；
（2）解：根据a的相反数是，b是最大的负整数，，
结合图示得，，，
所以
．
21．（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图1，在数轴上有一条线段，A，B表示的数分别是和．
(1)若将线段的一端平移到原点处，则平移的距离为_________；
(2)如图2，C为线段上一点，以点C为折叠点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的左边且，求C点对应的数；
【答案】(1)2或7
(2)
【知识点】有理数的减法运算、数轴上的翻折、数轴上点的平移（动点问题）
【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，有理数的加法计算，熟知数轴上的两点的距离计算公式是解题的关键．
（1）分把点A平移到原点和把点B平移到原点两种情况，分别用原点表示的数减去点A或点B原来表示的数即可得到答案；
（2）设点C表示的数为x，则对折后点B表示的数为，据此表示出对折后的长，再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当把点A平移到原点时，平移的距离为；
当把点B平移到原点时，平移的距离为；
综上所述，平移的距离为2或7；
（2）解：设点C表示的数为x，则对折后点B表示的数为，
∴对折后，
∵，
∴，
解得，
∴点C表示的数为．
【考点3】有理数的混合运算与运算律（第22-41题）
· 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内
· 乘方符号：先定符号再算绝对值，区分(-a)n与-an
· 简便运算：互为相反数先加、同分母先加、能凑整先凑整，乘法分配律正用逆用
· 减法统一成加法、除法统一成乘法后再计算
· 新定义运算：严格按题目给出的规则代入，注意括号顺序
22．（24-25七年级上·云南昭通·阶段检测），括号里应该填（ ）
A． B． C．25 D．40
【答案】A
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴括号里应该填2.5，即，
故选：A．
23．（25-26七年级上·重庆巫山·阶段检测）有4个数：，，，3，任意取其中两个数求差记为a，剩下的两个数求差记为b，再求a与b的差，这样的过程称之为“连差操作”．例如：，，即为一种“连差操作”．给出下列说法：
①不存在“连差操作”，使其结果为0
②至少存在一种“连差操作”，使其结果为10
③所有的“连差操作”，共有5种不同的结果
以上说法正确的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题主要考查有理数减法，先确定所有可能的“连差操作”情况，计算每种情况的结果，再根据结果判断三个说法的正确性．
【详解】解：四个数中任取两个数作为第一组，剩下的两个作为第二组，共有3种分组方式（无序分组），每种分组方式中，组内两数顺序不同会导致差值不同，需分别计算第一组差值a和第二组差值b，再计算．
分组方式1：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
分组方式2：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
分组方式3：组，组或组，组
情况1：；
情况2：；
情况3：；
情况4：；
情况5：；
情况6：；
情况7：；
情况8：；
所有结果： (共5种不同结果)，
存在结果为0的情况，故说法①错误，
结果中包含10，故说法②正确，
不同结果为，共5种，故说法③正确，
所以说法正确的有2个，
故选：C．
24．（25-26七年级上·云南大理·期中）下列说法正确的有（ ）
①绝对值等于它本身的数一定是正数；
②0不是单项式；
③几个非零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；
④的次数是7；
⑤的系数是．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【知识点】单项式的系数、次数、多个有理数的乘法运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查数与式综合，绝对值性质、单项式定义、有理数乘法、单项式次数及系数等知识，掌握相关的知识是解决本题的关键．
根据数与式相关定义逐项验证即可得到答案，熟记数与式相关定义是解决问题的关键．
【详解】解：0的绝对值等于它本身，则绝对值等于它本身的数不一定是正数，故①错误；
0是单项式，故②错误；
几个非零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故③正确；
的次数是5，故④错误；
的系数是，故⑤错误，
综上所述，说法正确的为③，
故选C．
25．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）李明与王伟在玩一种计算的游戏，计算的规则是，李明轮到计算，根据规则，现在轮到王伟计算，请你帮忙算一算，______．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
根据新定义得到，再结合有理数的混合运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：根据题意可得，．
故答案为：．
26．（24-25八年级上·北京延庆·期中）如果，那么的值为______．
【答案】
【知识点】有理数的减法运算、绝对值非负性
【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数减法，根据几个非负数的和为，那么这几个非负数的值都为求出的值，再根据有理数的减法运算计算即可，熟练掌握非负数的性质和有理数减法法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
27．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与1的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是_______．
【答案】3
【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据表示与1的两个点恰好重合，求出对称点表示的数，再根据互相重合的点到对称点的距离相等，求解即可．
【详解】解：由题意，得：对称点表示的数为，
∴与表示的点重合的点表示的数为；
故答案为：3．
28．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则______；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为______．
【答案】
【知识点】列代数式、有理数四则混合运算
【分析】本题考查列代数式及新定义问题，根据新定义可求得，列出代数式，再根据题意进行计算求解满足条件的的最大值．
【详解】解：，
由题意得
是的倍数，
∵是偶数
∴是奇数，
∴时，， 不是的倍数，舍去；
时，，不是的倍数，舍去；
时，，不是的倍数，舍去；
时，，不是的倍数，舍去；
时，，不是的倍数，舍去；
时，，不是的倍数，舍去；
时，，是的倍数，
∴的最大值为．
故答案为：；．
29．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）关于进位制的认识，下列表述：
（1）二进制是逢二进一，如有理数14，可以转换为二进制，表示为；
（2）；
（3）在《说文解字·序》中提及有一位神龙氏时代的村民，用结绳来记录猎物的数量．方法是“从右往左，满五进一”，如图，可以判定他的猎物数量为17只；
（4）法国生物学家布封提倡使用十二进制，他除了用的数字，还用X代表10，Z代表11，构成了十二进制表示方法，如第24届国际数学家大会于2002年在中国举办，用十二进制表示2002为．
（5）易经八卦中阴爻用中断线“——”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“一”表示或数字“1”表示，八卦就可以用二进制来解释．如图，“乾”对应的十进制数字是7．其中表述正确的序号是___________．
【答案】（3）（4）（5）
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握不同进制之间的换算方法，是解题的关键．根据不同进制之间的换算方法，列式计算，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
∴14转化为二进制的数为；故（1）错误；
（2）；故（2）错误；
（3）由图可知，他的猎物数量为只；故（3）正确；
（4），
，
，
，
∴用十二进制表示2002为；故（4）正确；
（5）由题意，乾字表示的十进制的数字为；故（5）正确；
故答案为：（3）（4）（5）
30．（24-25七年级上·山东济南·期中）若，则___________．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性
【分析】本题考查了绝对值与偶次幂的非负性，代数式求值；根据非负数的性质得出值，再利用裂项法计算即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，，
∴
故答案为：．
31．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，那么称该正整数为“可拆分”整数，并记可拆分的种类为．例如：正整数不是“可拆分”整数，因此；而正整数有三种拆分方法，即、、，因此；按照上述定义，__________．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“可拆分”整数的定义，将 转化为 ，因此 等于 的因子对（因子均不小于 且不相等）的数量．
【详解】解：对于，
，是质数，
其因子只有和，无法满足因子均不小于 的条件，
，
对于，，
的因子对（均不小于 且不相等）有 、、、、，共 对，
，
．
故答案为：．
32．（23-24七年级上·新疆喀什·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)40
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；先转化为省略加号的和的形式，再做加法是解题的关键．
（1）根据加法的法则计算；
（2）从左到右依次计算；
（3）根据有理数加减混合运算法则计算；
（4）根据有理数加减混合运算法则计算；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
33．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）已知a、b是有理数，定义新运算：．例如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)2
(2)4
【知识点】有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是理解题中给出的新运算．
（1）根据求解即可；
（2）根据先计算，再计算后面的运算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，
，
∴
．
34．（24-25七年级上·福建厦门·期中）计算题：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)0
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先去括号，然后从左向右依次计算即可；
（2）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（3）先算乘除，后算减法；
（4）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
35．（24-25七年级上·江西上饶·期中）计算：．
【答案】4
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减．
【详解】解：
．
36．（25-26七年级上·北京房山·期中）计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先算乘方，同时计算括号内的，再算乘除，最后算加减即可解答．
【详解】解：原式
．
37．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：
解：原式=
=
==
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键．
【详解】解：
．
38．（26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律、求一个数的绝对值
【分析】（1）直接运用有理数加减运算法则和加法运算律运算即可；
（2）先运用绝对值化简，再运用有理数加法运算法则和加法运算律运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
39．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知，互为倒数，，互为相反数，．
(1)求的值；
(2)求式子的值．
【答案】(1)；
(2)或
【知识点】含乘方的有理数混合运算、相反数的定义、倒数
【分析】（）由互为相反数的两数之和为，得到，由互为倒数的两数之积为，得到，再代入计算即可求出值；
（）由互为相反数的两数之和为，得到，由互为倒数的两数之积为，得到，由平方的定义得出，再代入计算即可求出值．
【详解】（1）∵，互为倒数，，互为相反数，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴或．
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
【点睛】此题考查了倒数的定义，相反数的定义，有理数的乘方，代数式求值，掌握互为相反数的两数的和为，互为倒数的两数的积为，有理数的平方为非负数是解题的关键．
40．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)34
(2)0
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了分数的混合运算以及有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
（1）运用乘法分配律计算即可；
（2）先乘方，去括号，再根据有理数的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
41．（山东省淄博市淄川区2023-2024学年六年级上学期期中数学试题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)5
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）运用有理数的加减法法则计算即可；
（2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题；
（3）运用乘法分配律解题即可；
（4）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【考点4】有理数的实际应用（第42-46题）
· 正负数表示相反意义的量，先规定正负方向再列式
· 行程问题：求位置用累计和，求路程用绝对值之和
· 分段计费：分段列出算式，分别计算后求和
· 解应用题最后要回到实际意义作答，带单位
42．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】乘方的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了乘法与乘方的定义．解题关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算．根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案．
【详解】解：，
故选：B．
43．（24-25九年级上·浙江温州·期中）【情境】某校举行晚会有甲、乙、丙、丁四个节目需要彩排，学校规定演员全部到场后节目彩排开始，每个节目彩排完毕，下个节目立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如表所示：
节目 甲 乙 丙 丁
演员人数 5 2 5 1
彩排时长 20 10 15 10
【问题】这13位演员的候场时间之和最小为（ ）
A．180分钟 B．190分钟 C．200分钟 D．210分钟
【答案】B
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．先确定丙在甲的前面，乙在丁前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可．
【详解】解：由题意得节目甲和丙演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么丙在甲的前面，乙和丁彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么乙在丁前面，
∴①按照丙、乙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
②按照丙、乙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
③按照丙、甲、乙、丁顺序，则候场时间为：分钟；
④按照乙、丙、甲、丁顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照乙、丙、丁、甲顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照乙、丁、丙、甲顺序，则候场时间为：分钟．
∴按照丙、甲、乙、丁顺序彩排，候场时间之和最小，最小值为190分钟，
故选：B．
44．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块______个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装______套系统．
【答案】 196
【知识点】有理数加减混合运算的应用
【分析】①由题意列出算式即可；
②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可．
【详解】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个；
②一个科技系统需个模块和个模块，
天两模块同时开发出数量最多，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
∴每6天为一个循环，每6天组装套系统，
∵，
①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
∴天最多能组装模块套系统．
②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
天最多能组装模块套系统．
∵
∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统．
故答案为：①；②．
【点睛】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答．
45．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴）
用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度）
第一阶梯 3 （含）以下
第二阶梯 5 （不含）～（含）
第三阶梯 10 （不含）以上
根据表中的内容，解答下列问题：
(1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？
(2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费．
【答案】(1)4月份应缴水费120元
(2)
当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用
【分析】此题考查了整式加减的应用、有理数的混合运算，掌握其数量关系是解决此题的关键．
（1）根据数量×单价计算可得答案；
（2）分当，，时三种情况计算可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴4月份应缴水费元
（2）解：由（1）知，1至4月份已用水，
，，
当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元．
46．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下： （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？
【答案】(1)东，千米；
(2)度．
【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）计算刘师傅行驶路程的代数和即可得解；
（）计算出每段行驶路程的绝对值的和，再乘以即为刘师傅的汽车一共耗电量．
【详解】（1）解：所有里程的代数和为：（千米），
∵结果为正，
∴最终位置在出发点的东面，距离千米，
答：东，千米；
（2）解：由题意得，（千米），
∵每千米耗电度，
∴总耗电量为（度），
答：刘师傅的汽车一共耗电度．
【考点5】近似数与精确度（第47-49题）
· 四舍五入到哪一位就精确到哪一位，看下一位数字取舍
· 精确到十分位、百分位要先看清保留的位数
· 带单位的近似数要还原后判断精确位数
47．（23-24七年级上·福建泉州·期末）用四舍五入法将有理数精确到，所得到的近似数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题主要考查求近似数的方法，掌握“四舍五入”是解题的关键．把千分位上的数字按照“四舍五入”的方法即可求解．
【详解】解：用四舍五入法将精确到，
∴近似数是，
故选：C．
48．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）温州轨道交通线全长约千米，四舍五入到整数约为________千米．
【答案】89
【知识点】求一个数的近似数
【分析】本题考查了四舍五入．
四舍五入到整数，需看十分位上的数字，十分位为5，符合“五入”规则，因此向整数位进1．
【详解】四舍五入到整数，十分位是5，根据四舍五入法则，应向前一位（整数位）进1，因此．
故答案为：89．
49．（23-24七年级上·吉林长春·期中）用四舍五入法将17.0946精确到百分位的结果是_________．
【答案】17.09
【知识点】求一个数的近似数
【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】解：用四舍五入法将17.0946精确到百分位的结果是17.09．
故答案为：17.09．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
【考点6】程序框图与数字规律探索（第50-52题）
· 程序框图：把输入值从上到下逐步代入，注意判断框的分支
· 循环结构：先算前几次输出，找周期规律再推广
· 数字规律：对比等式两边与序号n的关系，用含n的式子表示
50．（23-24八年级上·重庆·期中）根据图中的程序，若输入，则输出结果y为（ ）

A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】程序流程图与代数式求值、程序流程图与有理数计算
【分析】把代入图中程序进行计算即可．
【详解】解：当时，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查代数式求值的知识，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．本题可根据有理数的混合运算解答，把代入运算程序，运用有理数的混合运算计算出结果即可．
51．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…，则的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】数字类规律探索、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察所给的结果的尾数，发现运算结果的末位数字循环出现，从而可确定的末位数字是，再求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，，，，…，
∴运算结果的末位数字循环出现，
∵，
∴的末位数字等于个周期的末位数字之和再加上第项的末位数字，
∵一个周期的末位数字之和为，其末位数字为，
∴个周期的末位数字之和的末位数字仍为，
∵的末位数字是，
∴原式的末位数字是，
故选：C．
52．（23-24七年级上·河南漯河·期中）如图，学校数学兴趣小组活动室，门上安装了密码锁．凡是参加兴趣小组活动的同学，需通过观察门上的小提示，输入正确的密码后方可进入活动室，小明同学要参加兴趣小组活动，走到门口思索了一会儿，输入密码后顺利进入了活动室．他输入的密码是______．

【答案】722496
【知识点】程序流程图与有理数计算
【分析】本题考查了数字中的规律问题，结果中的左边前两位数是等式左边右边两位数的积，中间两位数是等式左边两头的两个数的积；最后的两位数是等式左边的最左边两个数字的和与最右边数的积，计算得到即可．
【详解】根据题意，得结果中的左边前两位数是等式左边右边两位数的积，中间两位数是等式左边两头的两个数的积；最后的两位数是等式左边的最左边两个数字的和与最右边数的积，
∵，
∴，
故答案为：722496．
课后巩固
复习建议
· 有理数概念先化简再判断，相反数、倒数、绝对值的定义不能混淆
· 数轴是比较大小和求距离的核心工具，|a-b|的几何意义要活用
· 混合运算严格按顺序，先乘方再乘除后加减，能简算的先简算
· 实际应用先规定正负方向，分段计费要分段列式最后求和
· 规律探索题先算前几项，再归纳与序号n的关系
【作业1】．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）下列各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】化简多重符号、有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、正负数的定义
【分析】本题考查了正负数的识别，还涉及相反数，有理数的乘方，求一个数的绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据相反数的定义，有理数的乘方运算，和绝对值的意义判断各个选项即可．
【详解】解：A、，是正数，不符合题意；
B、，是负数，符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意，
故选：B．
【作业2】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）数轴上表示与6的两点之间的距离是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的计算方法．关键是能根据题意得出算式．
用较大的数减去较小的数即可得答案．
【详解】数轴上两点之间距离为两数差的绝对值，即，
故选 C．
【作业3】．（23-24七年级上·广东广州·期末）白云山最高峰是摩星岭，高度比海平面高382米，记为+382米，吐鲁番盆地某处比海平面低154米，那么比海平面低154米可记为（ ）米．
A． B．154 C． D．228
【答案】C
【知识点】正负数的实际应用
【分析】本题考查正负数的应用．根据题意利用正负数定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵高度比海平面高382米，记为米，
∴吐鲁番盆地某处比海平面低154米，那么比海平面低154米可记米，
故选：C．
【作业4】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反意义的量
【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，解题的关键是明确规定其中一个量为正，则另一个相反意义的量为负．
根据题设，上升的温度用正数表示，那么与上升相反的下降趋势就用负数表示，温度下降即对应负数形式．
【详解】解：由题意可知，上升记为“”，则下降记为“”，因此温度下降记作，
故选：B．
【作业5】．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）式子的结果不可能是（ ）
A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数
【答案】A
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解．
【详解】解：
．
则1012不可能是奇数．
故选：A．
【作业6】．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）若一个有理数的绝对值等于它的相反数，则符合条件的最大有理数是______．
【答案】0
【知识点】有理数大小比较、相反数的定义、求一个数的绝对值
【分析】根据有理数的绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0即可求解．
【详解】解：一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0，即非正数，
符合条件的最大有理数是0
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了有理数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【作业7】．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）检修小组从A地出发，在东西路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位：千米）：．求收工时在A地_____边_____千米．
【答案】 东 1
【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用
【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．将各数相加得到结果，即可做出判断．
【详解】解：根据题意得：（千米），
则收工时在A地东边1千米．
故答案为：东；1．
【作业8】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在数轴上，点A位于原点左侧，且与原点的距离大于4，则点A表示的数可以是______（只要写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【分析】本题主要考查了数轴上点的特点．根据数轴上点的特点“数轴上在原点左边的点为负数，在原点右边的数为正数”进行解答即可．
【详解】解：在数轴上位于原点左边且到原点的距离大于4的点表示的数都小于．
则点A表示的数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【作业9】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式的结果为负数，若x与y同号，则z__________0．（填“>”或“<”）
【答案】>
【知识点】多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
根据有理数的乘法法则，几个数相乘，积的符号看负因数的个数，当负因数个数为奇数时，积为负数，当负因数的个数为偶数时，积为正数．
【详解】解：∵与同号，
∴,
，
∴，
，
故答案为：．
【作业10】．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）小红写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值计算被墨迹盖住部分的整数的和是________．

【答案】
【知识点】有理数加法运算、用数轴上的点表示有理数
【分析】由题意可得：图中被墨迹盖住部分的整数是：，再求和即可．
【详解】解：由题意可得：图中被墨迹盖住部分的整数是：，
它们的和是：；
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴和有理数的加法运算，正确得出图中被墨迹盖住部分的整数是是解题关键．
【作业11】．（23-24七年级上·云南红河·期中）2的相反数的倒数为__________
【答案】/
【知识点】相反数的定义、倒数
【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数的定义可知2的相反数是，再求出的倒数是．
【详解】解：2的相反数，的倒数是．
故答案为：．
【作业12】．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上表示1，的点为A，B，且C，B两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是___________．

【答案】/
【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，设设点所表示的数是，由列方程来求点所表示的数，解题时，采用了“数形结合”的数学的思想．
【详解】解：设点所表示的数是，
∵点A，B所表示的数分别是，，
∴，
又∵两点到点的距离相等，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【作业13】．（23-24七年级上·天津河西·期中）计算的结果为_______________.
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】根据有理数的加减法运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【作业14】．（24-25七年级上·四川广安·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)4
(2)10
(3)
(4)15
【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，理解运算法则是解答关键．
（1）从左倒右依次进行计算求解；
（2）根据有理数乘除法的运算法则来计算求解；
（3）先计算小括号里面的，再计算乘法，最后计算加减法来求解；
（4）先算乘方，再计算乘除，最后计算加减法来求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
【作业15】．（23-24七年级上·河南许昌·期中）进入初中我们首先学习有理数，有理数由符号和绝对值两部分组成，例如是由“”和两部分组成，通常正号省略不写，是有“”和两部分组成，因此有理数的有关运算我们先确定结果的符号再确定结果的绝对值．
(1)的结果的符号是 　　，绝对值是 　　．
的结果的符号是 　　，绝对值是 　　．
(2)仿照例题写出详细的解题过程：
例计算：
解：异号两数相乘
　　得负
并把绝对值相乘
仿照例题完成计算：
【答案】(1)，；，
(2)
绝对值不相等的异号两数相加
　　 取绝对值较大加数的符号
并用较大的绝对值减去较小的绝对值
．
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的除法运算
【分析】本题考查了两个有理数的加法、乘法以及除法法则；
（1）根据同号两数相加取相同的符号，同号两数相除取相同的符号，再求绝对值，即可求解；
（2）仿照例题填上详细的解题过程，即可求解．
【详解】（1）解：的结果的符号是，绝对值是．
的结果的符号是，绝对值是．
故答案为：，；，；
（2）略
【作业16】．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）下表是某中学七年级5名学生的体重情况，试完成下表
姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁
体重（千克） 34 45
体重与平均体重的差 0
(1)谁最重？谁最轻？
(2)最重的与最轻的相差多少？
【答案】(1)小刚的体重最重，小颖的体重最轻
(2)最重的与最轻的相差千克
【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法的实际应用，正确理解正负数的意义是解题的关键．
（1）先根据小颖的体重以及与平均体重的差值求出平均体重，进而求出其他三人的体重即可得到答案；
（2）根据（1）所求用小刚的体重减去小颖的体重即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知平均体重为千克，
∴小明的体重为千克，小京的体重为千克，小宁的重量为千克，
∴小刚的体重最重，小颖的体重最轻；
（2）解：千克，
∴最重的与最轻的相差千克．
【作业17】．（21-22七年级上·广东东莞·阶段检测）计算：
【答案】
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算．首先根据加法交换律整理算式，然后利用有理数加减混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
【作业18】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：
我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，_____；
(3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____．
(4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____．
【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离
(2)或
(3)
(4)16；7
【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键．
（1）由题意直接求解即可得到答案；
（2）由绝对值的几何意义得到方程求解即可得到答案；
（3）分，，，和这几种情况，去绝对值，可推出取得最小值时x的取值范围，进而可得答案；
（4）同（3）可得，当时，有最小值，最小值为，进而可推出当时，和能同时取得最小值，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是；
式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；
故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离；
（2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是，
∴或；
故答案为：或；
（3）解：当时，，
则，
；
当时，，
则，
当时，，
则，
；
当时，，
则，
当时，，
则，
；
综上所述，的最小值是；此时满足的条件是；
∴当时，，
∴此时整数所有可取的值之和为；
（4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴当，即时，有最小值，最小值为0，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：16；7．
试卷第1页（共3页）
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