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2026-2027学年北京市某校高二上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知平行六面体，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，若三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线与平面平行，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
9.已知在平行六面体中，底面，，，点是棱上的动点，则平面与平面的夹角的正弦值的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为，为平面内动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是( )
A. 直线与直线是异面直线
B. 的最小值为
C. 存在点，使得直线与直线所成角为
D. 当为棱上的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.双曲线的实轴长为 ．
13.已知点到直线的距离为，则 ．
14.已知，点是圆上任意一点，则的最小值为 ，最大值为 ．
15.在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且平面，则满足条件的所有点构成的平面图形是 四边形、五边形、六边形，其面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，，，计算下列各式的值．
．
17.本小题分
已知的三个顶点分别为，求：
所在直线的方程；
过点与边平行的直线方程；
边的垂直平分线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知圆：，直线：．
若，求直线被圆所截得的弦长；
若直线与圆相交，求实数的取值范围；
若直线斜率为，且与圆相切，求直线的方程．
20.本小题分
如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．
求证：；
求平面与平面的夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为．
求椭圆的方程；
经过点的直线与椭圆相交于不同的两点不与点重合直线与直线相交于点，求证：三点共线．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】四边形
16.【答案】解：由题意， ，则 ．
解：由题意， ，则 ．
解：由题意， ．

17.【答案】解：如图，因为，所以直线的斜率为，
由点斜式可得直线的方程为，即．
因为所求直线与直线平行，
由知可设所求直线方程为，
又直线过点，
所以将的坐标代入可得，解得，
所以所求直线方程为．
因为，且其斜率都存在，
所以，解得．
又直线过线段的中点，
由点斜式可得直线的方程为，即．

18.【答案】解：连接．
在中，因为，分别是，的中点，所以分
又因为平面，且平面，
所以由线面平行的判定定理，得平面．
法一：底面是正方形，所以，
又，．
由底面，，
又，，
，平面，平面，
故直线与平面所成角的正弦值为．
法二：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图．
则，，，，．
因为是的中点，所以．
因为是的中点，所以．
因此．
设平面的法向量为．
，．
由
令，则，．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则，
则，
，．
因此．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.【答案】 或
20.【答案】证明：，是的中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，
．
解：平面，平面，
，
菱形中，，所以是正三角形，
．
、、两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，
轴与平面垂直，
是平面的一个法向量．
，
平面与平面所成角的余弦值为．
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为．
，，
设，，
则，
直线与平面所成的角为，
，
由，解得，
在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且．
21.【答案】解：由题意可得，解得，，所以，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，如下图所示：
联立，消去整理得，
则，，，
直线的方程为，令，得，故，
要证三点共线，只需证，
因为，，所以只需证，
即证，
将，代入上式得，
整理得，
而，
所以，即三点共线．


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