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北京市北京学校、中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年第一学期十月考自主命题高二数学
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则 ( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
4.如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为( )
A. B. C. D.
7.设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点与，不重合，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
9.已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知是正方体内切球球在正方体内且与正方体的六个面都相切的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知直线：，：，若，则实数 ．
12.已知正方体中，点为的中点，若，则 ．
13.已知向量，单位向量满足，则，的夹角为 ．
14.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为 ，直线与平面所成角的正弦值为 ．
15.在平面直角坐标系中，为坐标原点定义、两点之间的“直角距离”为若点，则 ；已知点，点是直线上的动点，的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知空间四点，，，，．
Ⅰ求和的值；
Ⅱ若点在平面内，请直接写出的值．
17.本小题分
已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．
求中线的方程；
求经过点且与直线平行的直线方程．
求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，直线平面．，，，，，平面平面，为线段的中点，为线段上一点．

证明：；
证明：；
是否存在点，使得点到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由．
19.本小题分
已知直线：，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为．
证明：直线过定点；
若直线在轴上截距小于，在轴上截距大于设的面积为，求的最小值及此时直线的方程；
直接写出的面积在不同取值范围下直线的条数．
20.本小题分
如图，已知直三棱柱，，，，，分别为，的中点。
Ⅰ证明：平面
Ⅱ点在平面内，且，再从条件、条件、条件
这几个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值。
平面。
注：如果选择条件、条件、条件分别解答，按第一个解答计分。
21.本小题分
已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集。若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集：
集合的任意两个不同子集的元素之和不相等；
对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
若，判断是否为集合的完美子集；
若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为；
若集合为集合的完美子集，证明：。
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】解：Ⅰ，
，
，，且，
，解得；
Ⅱ，，且点在平面内，
存在，使，即，
，解得．
17.【答案】解：因为为边的中点，所以，所以直线的方程为，即．
直线的斜率，且不在直线上，
故求经过点且与直线平行的直线方程为，即．
由可得知，，则直线的方程为，
即：，则点到直线的距离为，
的长度为，则．

18.【答案】解：证明：因为平面，平面，平面平面，
所以；
证明：因为，为线段的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
取的中点，连接，过作，交于，
因为为线段的中点，，所以，
因为，所以，所以，
由可知平面，平面，
所以，
所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，
所以四边形为矩形，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，，所以为等边三角形，
所以，，
设，则，
因为，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
若点到平面的距离是，则，
所以，解得，
所以，
所以．


19.【答案】解：证明：直线：，整理得：，
故该直线恒过点．
若直线在轴上截距小于，在轴上截距大于．
则，
令，解得，则，
令，解得，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时直线的方程为．
由可知，，
若，，当且仅当时，等号成立，
若，，当且仅当时，等号成立，
故若，直线有条，
若，则直线有条，
若，直线有条．
20.【答案】证明：Ⅰ取的中点，连接，因为，分别为，的中点，
所以，，又，平面，，，平面，，
所以平面平面，
又平面，
所以平面C.
解：Ⅱ由Ⅰ知，因为，所以以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，设，则
若选择条件
由，且，，得，
解得，所以，点唯一确定．
所以，，
设平面的法向量为，
则令，则，，所以
设平面的法向量为，
则令，则，，所以．
设平面与平面的夹角为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为．
若选择条件由，且，，得，解得，
所以，点唯一确定．
以下步骤同选择条件时
若选择条件因为，所以平面与平面是同一平面，
因为，且平面，平面，所以平面，即平面，
所以此时无法确定点的位置，
故不能选择条件．
21.【答案】解：中任意子集之和可以是，，，，
，，，，均互不相等，满足性质，
是再添一个不在中但在中的元素，
取，，
的不同子集元素和分别为：，，，，，
，，，，，，
，，，，，
没有和相等的子集，所以不满足性质，不是的完美子集
的任意子集之和可以是，，，，，
，，，，，，
，，，，均互不相等，满足性质，
对于性质，对任意，，任意子集之和组成的集合为，
当，存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为、，即可满足条件，
而当，，取子集和即可，所以是的完美子集
反证法：设的元素和为，
若，考察包含的元子集．
由于的任意两个子集元素之和不等，且的任意一个包含的子集元素和比的任意一个不包含的子集元素和大，从而的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，
从而又满足条件，
此时，从而的最小值为．
，假设若，则的非空子集有个，
而其中每个子集元素和不超过，但，
必有两个子集的和相等，矛盾假设若，
考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，
其元素和都在区间内因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于，
若，则由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于．
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若A.则由知，不同时属于，
由知，，不同时属于，
由知，，不同时属于，
所以此时最大的和不大于．
而，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和．
而，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，
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