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北京市顺义区仁和中学2026-2027学年九年级上学期数学10月练习
一、选择题
1.中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 如意纹 B. 风车纹
C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹
2.如果，那么下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，三角尺的直角顶点在直线上．若，则的大小为( )
A. B. C. D.
5.再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应高品质再生水若一年按天计，则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
6.如图，是的边上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定与相似的是( )
A. B.
C. D.
7.大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是( )
A. B. C. D.
8.如图，分别为正六边形各边上的动点不与顶点重合，且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点当时，给出下面四个结论：
；
的最小值为；
；
的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.若，则的值为 ．
10.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
11.如图，已知，其中，，则与的面积比为 ．
12.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为 ．
13.数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处镜子的大小不计，旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为 ．
14.如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则 ．
15.如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 写出一个条件即可
16.如图，，，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为 时，与是相似三角形．
三、解答题
17.计算：．
18.解不等式组：．
19.网格图中每个方格都是边长为的正方形．若，，，，，都是格点，试说明∽．
20.已知，求代数式的值．
21.如图，，，．
求证：；
延长交于点，求的度数．
22.已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围．
23.如图，矩形中，点为边上一动点，交于点．
求证：；
当时，，求的长．
24.在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人以下称类机器人与遥控机器人以下称类机器人在同一赛道比赛，统一排名为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：
类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间包含途中维护时间；
类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间包含途中维护时间的倍．
已知比赛中，一台类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为求这台类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．
25.若干名学生参加编程比赛，比赛共轮，每轮有道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量得分为整数已知甲、乙两名学生轮得分的情况如下：
根据以上信息，回答下列问题：
甲轮得分的平均数为 ，乙轮得分的平均数为 ；
记甲、乙轮得分的方差分别为和，则 填“”“”或“”；
如果丙轮得分的中位数为，那么丙轮得分的平均数是不是一定大于乙轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
26.科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积单位：和装置提取的实验物质的体积单位：，部分数据如下：
补全表格结果保留小数点后一位；

通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
根据以上信息，解决问题：
若装置比装置早启动了，则装置启动 时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为 结果保留小数点后一位；
在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取 实验物质结果保留小数点后一位．
27.如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点．
求证：；
在上截取点在点右侧，连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，对于直线和图形给出如下定义：若图形上存在点，，，对于图形上任意满足的点，，都有，则称线段的长为图形的“直线”关联值．
如图，点，，．
的“轴”关联值为 ；
若的“直线”关联值为，则的值为 ；
已知边长为的菱形的两条对角线分别平行于，轴，，若存在直线记直线与轴的夹角为，使得且菱形的“直线”关联值为，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】答案不唯一
16.【答案】或或
17.【答案】解：．
18.【答案】解：原不等式组为
解不等式，得
解不等式，得．
所以原不等式组的解集为．

19.【答案】证明：，，
，，
，，
，
∽．
20.【答案】解：原式
，
，
，
原式．

21.【答案】【小题】
证明：，
，即，
，，
，
．
【小题】
解：如图，延长交于点，交于，
，
，
，
．

22.【答案】【小题】
证明：对于方程，
，
，
，
方程总有两个实数根；
【小题】
解：，
因式分解得，
即或，
，
方程有一个实数根为负数，且，
，
，
故的取值范围为．

23.【答案】【小题】
证明：四边形是矩形，
，
，
；
【小题】
解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
．

24.【答案】解：设这台类机器人的速度为，则此次比赛从起点到终点的路程为，
根据题意得：，
解得：，
．
答：这台类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为．
25.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
不是，当丙轮的得分分别为，，，，，，，时，丙轮得分的中位数为，但平均数为，小于乙轮得分的平均数．

26.【答案】【小题】
【小题】
解：如图，
【小题】
或
或

27.【答案】【小题】
证明：在中，，
，
由旋转性质得：，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小题】
解：依题意补全图形如图所示：
线段与的数量关系是：，证明如下：
过点作交于点，如图所示：
，
，
于点，延长，交于点，
，
由可知：，
，
在和中，
，
，
又，
，
，
．

28.【答案】【小题】

【小题】
解：如图所示，与相交于点，
设菱形的“直线”关联值为，
四边形是菱形，
，
又，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当轴时，此时可使时，“直线”关联值取最大值，
当时，
，
边与直线平行，
此时“直线”关联值取最小值，
当，菱形的“直线”关联值的范围为，
，即
．

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