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北京市东直门中学2026-2027学年度上学期第一次独立作业
九年级数学
一、选择题
1.二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是( )
A. B. C. D.
2.已知一元二次方程的两根为、，且，则( )
A. B. C. D.
3.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. B. C. D.
5.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是 ．
A. B. C. D.
7.已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于( )
A. B. C. D.
8.“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是( )
A. B. C. D.
9.对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的勾股圆方图注中记载的方法是：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图所示的图形．若图中大正方形的面积为，则方程的正数解是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间包含端点，下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
11.已知方程的一个根是，则 ．
12.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为 ．
13.已知、是抛物线上的两点，则 ．
14.如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，则 ．
15.如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，若四边形为正方形，则 ．
三、解答题
16.解方程：
；
．
17.先化简，再求值：，其中为的根．
18.关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根．
已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
19.已知抛物线与轴交于，，与轴交于，直线的解析式为．
求抛物线的解析式；
若直线与抛物线只有一个公共点，试求的面积．
20.如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
已知关于的一元二次方程是常数是“倍根方程”，请求出的值．
21.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的表达式．
点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值．
22.年，在四川省城市足球联赛简称“川超”比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动
某食品厂原计划每月生产芝麻糕件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率
该食品厂原来每天可销售件芝麻糕，每件盈利元．参与优惠活动后，该食品厂每降价元，就可多售出件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
23.问题情境
如图，在四边形中，，，点为中点，连接记，探究的值．
问题探究先将问题特殊化，如图，当，时，直接写出的值；
再将问题一般化，如图，证明中的结论仍然成立；
问题拓展如图，在问题探究的条件下，点在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值．
24.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
为抛物线上一点，且满足，求点的坐标；
如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标．
如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：移项，得，
因式分解，得，
或，
，；
【小题】
解：移项，得，
因式分解，得，
或，
，．

17.【答案】解：原式
，
为的根，
解得，，
又，，
且且，
，
原式．

18.【答案】【小题】证明：原方程为，


，
方程有两个不相等的实数根．
【小题】解：由条件可知，，
，
，
，
，
代入得：，
整理得，
解得或．

19.【答案】【小题】
解：把，，代入，得：
，解得
抛物线的解析式为；
【小题】
解：令，
整理，得，
直线与抛物线只有一个公共点，
，解得，
方程化为，直线的解析式为．
解得，
当时，，
，
令，解得，
，
，
的面积．

20.【答案】【小题】
解：解方程得或，
关于的方程是“倍根方程”，
或，即，
当时，，
当时，，
综上所述，代数式的值为或；
【小题】
解：关于的一元二次方程是常数是“倍根方程”，
可设该方程的两个实数根为，
由根与系数的关系可得，，
解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
经检验：或时，，
综上所述，的值为或．

21.【答案】【小题】
解：把、代入，得：
，解得
抛物线的表达式为；
【小题】
解：当时，，
，
连接，设，
则
，
当时，的面积最大为．

22.【答案】【小题】由题意，设每月产量的增长率是，
，
或负值不合题意，舍去．
答：每月产量的增长率为
【小题】设该食品厂获利为元，应降价元，
．
，
当时，取得最大值，最大值为．
答：应降价元，且最大利润为元

23.【答案】【小题】
解：，
，，
为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，即，
，
，
，
，
，即；
【小题】
证明：延长交延长线于
，
，，
又点为中点，
，
，
，，
，，
，
，
因此，即中的结论仍然成立；
【小题】
连接，以为边在左侧作等边三角形，过作于点，，交延长线于点，
，，
是等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，，
同理，，
由知，
，
在中，，
；
，
，
在中，，

24.【答案】【小题】
解：与轴交于、两点，
，解得
该抛物线的解析式为；
【小题】
解：连接，当时，，则，
，
，
，
，
点在轴的上方，如图，，过作交于，过作轴于，则，
，，
，
，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
直线的函数表达式为，
解方程组得
点的坐标为；
【小题】
解：设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
直线的函数表达式为，
设，，
，
直线的函数表达式为，
将坐标代入，得，解得，
，
为线段的中点时，
，即，
设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
直线的函数表达式为，
点在直线上，
，
解得，，
点坐标为；
【小题】
解：过、分别作轴的平行线，过、分别作轴的平行线，分别交两条平行线于、、、，则，
四边形是矩形，
，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．
设，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，又，
，
，
，，，
同理，，
，，
，
，
，
，则，
，
四边形为的面积为，
由得
整理，得，
解得，舍去，
，，
点坐标为．

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