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2026-2027学年福建省厦门市湖滨中学九年级（上）学情自测
数学试卷（10月份）
一、选择题
1.如图，数轴上的点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2.对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是( )
A. B. C. D.
3.下列关于抛物线的说法，正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 时，随的增大而减小
4.为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，与交于点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.第十五届中国国际航空博览会于年月日至日在珠海举办，歼图甲是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离与时间的函数关系如图乙所示图为抛物线的一部分，其中点是该抛物线的顶点，则下列说法正确的是( )
A. 歼滑行秒停止 B. 歼滑行秒停止
C. 歼向前滑行的速度不变 D. 歼向前滑行的速度越来越大
7.若一个函数的自变量每增加，函数值就减少，则其解析式可以是( )
A. B. C. D.
8.二次函数的最小值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是( )
A. 这两点一定是和 B. 这两点一定是和
C. 这两点可能是和 D. 这两点可能是和
二、填空题
9.写一个使二次根式有意义的的值 ．
10.已知是方程的一个根，则的值是 ．
11.将抛物线，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ．
12.某地区七年级共有名男生为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据单位：如表所示．
等级 低体重 正常 超重 肥胖
人数
根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是 ．
13.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：
根据以上信息，当时的取值范围为 ．
14.如图，正方形的顶点、在轴上，、恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为 ．
15.设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
16.在平面直角坐标系中，已知抛物线．
抛物线的顶点坐标为 用含的式子表示；
和是抛物线上的两点，若对于，有，则的取值范围是 ．
三、解答题
17.解方程：
18.如图，在平行四边形中，，为对角线上的两点，且求证：．
19.先化简，再求值：，其中．
20.已知抛物线的顶点为，且与轴交于点
求抛物线的解析式，并画出函数图象
点为抛物线上的点且在第四象限，抛物线与轴交于，两点，点在点的左边，若，求出此时点的坐标
21.已知关于的方程有两个实数根
求的取值范围
设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值
22.某网店月份经营一种热销商品，每件成本元，发现三周内售价在持续提升，销售单价元件与时间天之间的函数关系为其中，为整数，且其日销售量件与时间天的关系如下表

时间天
日销售量件
已知与之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出件与时间天的函数关系式；
在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
在实际销售的天中，该网店每销售一件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，求的取值范围．
23.关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于我们就称和都是这个代数式的正值，正域值为
代数式的正值是
判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由
若关于的代数式的正域值为，求的值；
若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值
24.综合与实践：
素材 福州地铁某站在工作日早高峰：：期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在：：这两小时内，出口的人流量人次与时间分钟存在如下关系：以：为起始时间点．
分钟人次
任务 请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出与的关系式，并进行验证；
素材 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩三坊七巷内人潮涌动，游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致：后出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加人例如：的人流量比原来增加人，：的人流量比原来增加人，以此类推
任务 求：：时段与的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；
素材 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“”形铁马阵．
任务 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过人次分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度根据任务中与的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长．
25.已知抛物线
求证：该抛物线与轴总有交点
若抛物线与轴交于、两点在的左侧，且，对于该抛物线上的任意两点，，当时，总有．
求该抛物线的函数解析式；
若直线与抛物线交于，两点都不与，重合，直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】答案不唯一．
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
或

17.【答案】【小题】原方程移项得，
开方得，
，
【小题】，，，
，
，
，

18.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，
≌，
．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
20.【答案】【小题】抛物线的顶点为，且与轴交于点，则：
可设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
列表：
【小题】当时，，
解得，，
由题意可得：，，
，
，且在第四象限，
，
，
，舍去，

21.【答案】【小题】由条件可知，
且，
且
【小题】由条件可知，，
，
，
，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合要求，

22.【答案】解：设件与时间天的函数关系式是，
，得，
即件与时间天的函数关系式是；
设日销售利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
答：第天的销售利润最大，最大利润是元；
设捐赠后的每日的销售利润为元，
，
的对称轴是，
这天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，
，
解得，，
又，
，
即的取值范围是．
23.【答案】【小题】
或
【小题】
无正值，理由如下：
令，则，
，
方程无实数根，
代数式无正值
【小题】
正域值为，说明“正值”只有个最大、最小正值相等．
令，
整理得，
，
化简得，
解得；
令，
则，
解得，
当时，即为正整数，
为正整数，
．
当时，即为正整数，
为小于等于的负整数，
此时不存在．
综上所述，的值为

24.【答案】解：任务描点，连线．
观察函数图象猜测该函数为二次函数，
设该函数解析式为：，
，
解得：，
，
验证：当时，；
任务由题意得：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
时，最大，
上午：达到最大值；
任务当时，，
，
，
解得：，不合题意，舍去，
分．
答：启动一级客流管控的持续时长为分钟．

25.【答案】【小题】，
，
该抛物线与轴总有交点
【小题】当时，，
解得或．
，
，
或，
该抛物线上的任意两点，，当时，总有．
，，，
该抛物线的解析式为；
证明：该抛物线的解析式为．
直线与抛物线交于，两点，
可设，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
，，
．
令，
整理得，
，．

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