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5.1.2　瞬时变化率——导数
第1课时　瞬时变化率
A级　必备知识基础练
1.抛物线y=x2在点M处的切线的倾斜角是(　　)
A.30°　　 B.45°　　
C.60°　　 D.90°
2.已知曲线y=x3在点(2，8)处的切线的斜率为12a，则实数a的值是(　　)
A．－1　　 B.1　　
C．－2　　 D.2
3.一质点做直线运动，其位移S与时间t的关系为S=t2＋2t，设其在t∈[2，3]内的平均速度为v1，在t=2时的瞬时速度为v2，则等于(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
4.一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S(t)=3t－t2(S的单位：m，t的单位：s)，则此物体在t=2 s时的瞬时速度为(　　)m/s．
A．－1　　 B．1　　
C．－2　　 D．2
5.已知f(x)=x2－4x，曲线y=f(x)上点P处的切线斜率为6，则点P的横坐标为(　　)
A．3　　 B．4　　
C．5　　 D．6
6.已知汽车行驶的路程S和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为　　　　．(由小到大排列)
7.已知曲线y=x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为　　　　．
B级　关键能力提升练
8.火车开出车站一段时间内，速度v(单位：米/秒)与行驶时间t(单位：秒)之间的关系是v(t)=0.6t2＋0.4t，则火车加速度为2.8米/秒2时，刚好开出了(　　)
A．秒　　 B．2秒　　
C．秒　　 D．秒
9.若曲线y=ax2在x=a处的切线与直线2x－y－1=0平行，则a=　　　　．
10.已知直线l1为曲线y=x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，则直线l2的方程为　　　　　　　　．
11.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，其运动方程为S=at2，如果它的加速度a=5×105 m/s2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
C级　学科素养创新练
12.在曲线y=x3＋3x2＋6x－10的所有切线中，斜率最小的切线方程为(　　)
A．3x－y－11=0　　 B．3x＋y＋11=0
C．3x＋y－11=0　　 D．3x－y＋11=0
13.若一物体运动方程如下(位移单位：m，时间单位：s)：S=f=
求：(1)物体在t∈内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t=1时的瞬时速度．
答案：
1.B　解析 ∵点M(，)在抛物线y=x2上，==1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，∴在点M(，)处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°．
2.B　解析 ==3x2＋3Δx x＋(Δx)2，因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3x2，所以曲线在点(2，8)处的切线斜率k=12，所以12a=12，即a=1.
3.A　解析 v1==7，因为==6＋Δt，所以=(6＋Δt)=6，所以v2=6，则=．
4.A　解析 ==－Δt－1.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，故选A．
5.C　解析 设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ==2x0－4＋Δx．当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0－4，因此2x0－4=6，即x0=5.
6.1＜2＜3　解析 ∵1==kOA，2==kAB，3==kBC，
又由图象得kOA＜kAB＜kBC，
∴1＜2＜3.
7.(2，－2)　解析 设切点坐标为(x0，y0)，===Δx＋2x0－3，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0－3，
即k=2x0－3=1，
解得x0=2，y0=－3x0=4－6=－2.
故切点坐标为(2，－2)．
8.B　解析 由题意可知，==0.4＋1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t=2.8，得t=2(秒)．
9.－1　解析 根据题意，得==2a2＋aΔ x，当Δ x无限接近于0时，2a2=2，所以a=±1，
当a=1时，y=x2，切点是(1，1)，切线的斜率k=2，故切线方程是y－1=2(x－1)，即2x－y－1=0，和直线2x－y－1=0重合，故a=－1.
10.3x＋9y＋22=0　解析　==2x＋1＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1=3，∴直线l1的方程为y=3(x－1)，即y=3x－3.
设直线l2与曲线y=x2＋x－2相切于点P(x0，＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(＋x0－2)=(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)=－1，解得x0=－．
∴直线l2的方程为y=－x－，即3x＋9y＋22=0.
11.解　运动方程为S=at2.
因为ΔS=a(t0＋Δt)2－a=at0Δt＋a(Δt)2，所以=at0＋aΔt，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
由题意知，a=5×105 m/s2，t0=1.6×10－3 s，所以at0=8×102=800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s．
12.A　解析　设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，=
=3＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx．
因为当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3＋6x0＋6=3(x0＋1)2＋3，
所以k=3(x0＋1)2＋3.
当x0=－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，
其切线方程为3x－y－11=0.
13.解　(1)在t∈[3，5]时，其时间变化量为Δt=2，其位移变化量为ΔS=f(5)－f(3)=3×25＋2－(3×9＋2)=48，故所求平均速度为==24(m/s)．
(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t=0时的瞬时速度．
因为物体在t=0附近位移的平均变化率为===3Δt－18，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－18，所以物体在t=0处位移的瞬时变化率为－18，即物体的初速度v 0=－18 m/s．
(3)因为物体在t=1附近位移的平均变化率为===3Δt－12，所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－12，所以物体在t=1时位移的瞬时变化率为－12，即物体在t=1时的瞬时速度为－12 m/s．

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