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5.1　导数的概念
5.1.1　平均变化率
A级　必备知识基础练
1.已知函数y=2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于(　　)
A．　　 B．－　　
C．1　　 D．－1
2.已知函数f(x)=x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为(　　)
A．4　　 B．3　　
C．2　　 D．1
3.一根金属棒的质量y(单位：kg)与长度x(单位：m)的函数关系为y=f(x)=3，则金属棒从4 m到9 m时，质量的平均变化率是(　　)
A． kg/m　　 B． kg/m
C． kg/m　　 D． kg/m
4.(多选题)如图所示的是表示物体甲、乙在时间 0 到 t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
5.(多选题)已知函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　)
A．在区间[1，2]上的平均变化率最小
B．在区间[2，3]上的平均变化率大于0
C．在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大
D．在区间[4，7]上的平均变化率最大
6.函数y=f=－2x2＋5在区间上的平均变化率为　　　　　．
7.若函数f(x)=x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为 2，则t=　　　　　．
8.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
9.已知函数f(x)=x2＋3x 在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)=2x＋1在[1，4]上的平均变化率的 3 倍，求实数m的值．
B级　关键能力提升练
10.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　)
A．[5，10]　　 B．[5，15]
C．[5，20]　　 D．[5，35]
11.一个物体做直线运动，位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为S(t)=6t2＋mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为(　　)
A.2　　 B.1　　
C．－1　　 D．－2
12.将半径为R的球加热，若半径从R=1到R=m时，球的体积膨胀率为，则m的值为　　　　．
13.已知函数y=sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为　　　　　．
14.有一圆柱形容器，其底面直径为2 m，深度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率．
C级　学科素养创新练
15.如图，设有圆和定点O，当l从l0开始在平面内绕点O匀速旋转时(角速度不变且旋转角度不超过90°)，直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图象只可能是(　　)
16.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h=2t2＋2t，则：
(1)前3 s内球的平均速度为　　　　　m/s；
(2)在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为　 　　m/s．
答案：
1.B　解析 Δy=(2＋)－(2＋1)=－．
2.A　解析 ∵f(3)=11，f(1)=3，
∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为==4.
3.B　解析 金属棒从4 m到9 m的质量的平均变化率是==(kg/m)．
4.BC　解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为．因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以＞，故C正确，D错误．
5.BC　解析 函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，＜0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．故选BC．
6.－8－2Δx　解析 ∵y=f(x)=－2x2＋5，∴Δy=f(2＋Δx)－f(2)=[－2(2＋Δx)2＋5]－(－2×22＋5)=－8Δx－2(Δx)2，∴该函数在区间[2，2＋Δx]内的平均变化率为==－8－2Δx．
7.5　解析 因为函数f(x)=x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以==2，
即t2－t－6=2t＋4，从而t2－3t－10=0，解得t=5或t=－2(舍去)．
8.解 甲车速度的平均变化率为=－5(m/s2)，
乙车速度的平均变化率为=－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减小，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
9.解　函数g(x)在[1，4]上的平均变化率为==2，
函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为==m＋3，则m＋3=2×3，解得m=3.
10.C　解析　如图，分别令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所对应的点为A，B，C，D，E．
由图可知0＞kAB＞kAC＞kAE＞kAD，所以[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快．
11.A　解析 ΔS=S(2)－S(1)=6×22＋2m－(6×12＋m)=18＋m，Δt=2－1=1，
因为物体在[1，2]这段时间内的平均速度为20 m/s，所以==18＋m=20，解得m=2.
12.2　解析 体积的增加量ΔV=m3－=(m3－1)，所以==，所以m2＋m＋1=7，解得m=2或m=－3(舍去)．
13.k1＞k2　解析 当x∈[0，]时，平均变化率k1==，当x∈[，]时，平均变化率k2==，所以k1＞k2.
14.解　设液体放出t s后液面高度为y m，则π×12×y=π×12×1－0.01t，所以y=1－t，液面高度的平均变化率为==－．
15.D　解析　由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．
对A，图象表示面积的增速是常数，与实际不符；对B，图象表示最后时段增速较快，与实际不符；对C，图象表示开始和最后时段的增速比中间时段的增速快，与实际不符；对D，图象表示开始和最后时段增速缓慢，中间时段增速较快，与实际相符．
16.(1)8　解析　由题设知，Δt=3 s，Δh=h(3)－h(0)=24(m)，即平均速度为===8(m/s)．
(2)12　解析　由题设知，Δt=3－2=1(s)，Δh=h(3)－h(2)=12(m)，即平均速度为==12(m/s)．

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