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5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
A级　必备知识基础练
1.函数y=3x在x=2处的导数为(　　)
A.9　　 B.6　　
C.9ln 3　　 D.6ln 3
2.已知f=，且f′=－，则m的值等于(　　)
A．－4　　 B.2　　
C．－2　　 D．±2
3.(多选题)下列各式中正确的为(　　)
A．(x－1)′=x－2
B．()′=
C．(logax)′=(a＞0且a≠1)
D．(cos 2)′=－sin 2
4.已知f(x)=ax，g(x)=ex，且f′(0)=g′(0)，则a=(　　)
A．1　　 B．e　　
C．2　　 D．2e
5.(多选题)已知P为曲线上一点，若曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，则当k=3时，点P的坐标为(　　)
A．(－3，27)　　 B．(－1，－1)
C．(1，1)　　 D．(3，27)
6.若曲线y=在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　　　　．
7.求下列函数的导数：
(1)y=x12；(2)y=；(3)y=；(4)y=log5x．
B级　关键能力提升练
8.记函数y=f(2)(x)表示对函数y=f(x)连续两次求导，即先对y=f(x)求导得y=f′(x)，再对y=f′(x)求导得y=f(2)(x)，下列函数中满足f(2)(x)=f(x)的是(　　)
A．f(x)=x　　 B．f(x)=sin x
C．f(x)=ex　　 D．f(x)=ln x
9.(多选题)已知函数f(x)=若f′(a)=12，则实数a的值可为(　　)
A．2　 　 B．－2　　
C．　　 D．4
10.点P是曲线f(x)=上一个动点，则点P到直线x－y＋2=0的距离的最小值是　　　　．
11.已知f′(x)是f(x)的导函数(f′(x)≠0)，f(x)=xn，n∈N*，则n=　　　　．
12.已知函数f(x)=ex(x＜1)，函数g(x)=k(x＋2)，若两函数的图象恰有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
C级　学科素养创新练
13.(多选题)定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)的导函数为f′(x)，若 ξ∈[a，b]使得f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)，则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列在区间[－π，π]上“中值点”多于一个的函数是(　　)
A．f(x)=sin x　　 B．f(x)=x＋1
C．f(x)=ex　　 D．f(x)=x3
答案：
1.C　解析 y′=(3x)′=3xln 3，故所求导数为9ln 3.
2.D　解析 ∵f′(x)=－且f′(m)=－，∴－=－，解得m=±2.故选D．
3.BC　解析 因为(x－1)′=－x－2，故A错误；因为(cos 2)′=0，故D错误．B，C正确．故选BC．
4.B　解析 由f(x)=ax，求导得f′(x)=axln a，则f′(0)=ln a，由g(x)=ex，求导得g′(x)=ex，g′(0)=1，由f′(0)=g′(0)得ln a=1，所以a=e．故选B．
5.BC　解析 y′=3x2，因为k=3，所以3x2=3，所以x=±1，故点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
6.4　解析 因为y′=，
所以切线方程为y－=(x－a)，
令x=0，得y=，
令y=0，得x=－a，
由题意知 a=2，所以a=4.
7.解　(1)y′=(x12)′=12x11．
(2)y′=()′=(x－4)′=－4x－5=－．
(3)y′=()′=()′= ．
(4)y′=(log5x)′=．
8.C　解析 对于A，f′(x)=1，f(2)(x)=0≠f(x)；对于B，f′(x)=cos x，f(2)(x)=－sin x≠f(x)；对于C，f′(x)=ex，f(2)(x)=ex=f(x)；对于D，f′(x)=，f(2)(x)=－≠f(x)．综上可知，只有C满足f(2)(x)=f(x)，故选C．
9.BC　解析　由题意，得f′(x)=
当a＜0时，f′(a)=3a2=12，解得a=－2，a=2(舍去)；当0＜a＜1时，f′(a)==12，解得a=．
10.　解析 因为f(x)=的定义域为[0，＋∞)，且f′(x)=，
令f′(x)==1，解得x=，
则f()=，可得点(，)，
且点(，)到直线x－y＋2=0的距离d==，
所以点P到直线x－y＋2=0的距离的最小值是．
11.3　解析　∵f(x)=xn，n∈N*，∴f′(x)=xn－1，∴f′(1)=，又f′(x)≠0，∴n=3.
12.解 由题知f′(x)=ex，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0=ex0(x－x0)．将(－2，0)代入可得x0=－1，
故g(x)=k(x＋2)与f(x)=ex(x＜1)相切时k=，
如图，A(1，e)，C(－2，0)，故由两函数的图象有两个不同交点可得＜k＜，即＜k＜．
13.ABD　解析　对于A，f(π)=sin π=0，f(－π)=sin(－π)=0，又f′(x)=cos x，由f(π)－f(－π)=f′(ξ)(π－(－π))，得cos ξ==0成立，解得ξ=±，所以A符合．
对于B，f(π)=π＋1，f(－π)=－π＋1，f(π)－f(－π)=2π，又f′(x)=1，对于ξ∈[－π，π]，使得f(π)－f(－π)=f′(ξ)(π－(－π))，则f′(ξ)=1=恒成立，所以B符合．
对于C，f(π)=eπ，f(－π)=e－π，f(π)－f(－π)=eπ－e－π，又f′(x)=ex，对于ξ∈[－π，π]，使得f(π)－f(－π)=f′(ξ)(π－(－π))，则eξ==，根据指数函数单调性可知，此方程只有一解，所以C不符合．
对于D，f(π)=π3，f(－π)=(－π)3，f(π)－f(－π)=2π3，又f′(x)=3x2，对于ξ∈[－π，π]，使得f(π)－f(－π)=f′(ξ)(π－(－π))，则3ξ2===π2，ξ=±，所以D符合．

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