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5.2.2　函数的和、差、积、商的导数
A级　必备知识基础练
1.记函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=exsin x，则f′(x)=(　　)
A．exsin x－excos x　　 B．exsin x＋excos x
C．excos x　　 D．ex＋cos x
2.曲线f(x)=x3－x2＋5在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
3.若函数f(x)=x2－x－6ln x，则f′(x)≥0的解集为(　　)
A．(－，0) [2，＋∞)　 B．[2，＋∞)
C．(0，＋∞)　　 D．(0，] [2，＋∞)
4.函数f(x)=excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0　　 B．　　
C．1　　 D．
5.已知函数f(x)=f′cos x＋sin x，则f=　　　　．
6.求下列函数的导数：
(1)y=；　　　
(2)y=excos x．
7.已知函数f(x)=ax2＋bx＋3，其导函数f′(x)=2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)=exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在点(0，g(0))处的切线方程．
B级　关键能力提升练
8.过点(2，0)作曲线y=x2ex的切线，可以作(　　)
A．1条　　 B．2条　　
C．3条　　 D．4条
9.(2025徐州高二月考)已知函数f(x)=ln x－3x＋f′(1)x2，则f(1)=(　　)
A．2　　 B．1　
C．0　　 D．－1
10.(多选题)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新不动点”，有下列函数：
①g(x)=x 2x；②g(x)=－ex－2x；③g(x)=ln x；④g(x)=sin x＋2cos x．
其中只有一个“新不动点”的函数有(　　)
A．①　　 B．②　　
C．③　　 D．④
11.已知函数f(x)=x3－2x，则过点(2，－4)与曲线y=f(x)相切的直线有　　　　　条．
12.已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)=2，求f(x)的解析式．
C级　学科素养创新练
13.在等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f(x)=x(x－a1)(x－a2) … (x－a8)，则f′(0)=　　　　．
答案：
1.B　解析 ∵y=exsin x，
∴y′=(ex)′sin x＋ex (sin x)′=exsin x＋excos x．故选B．
2.B　解析 因为f′(x)=x2－2x，所以k=f′(1)=－1，所以曲线在x=1处的切线的倾斜角为．
3.B　解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)=2x－1－=≥0，得x≥2，故选B．
4.B　解析 易知f′(x)=ex(cos x－sin x)，所以f′(0)=1，所以函数f(x)=excos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为．故选B．
5.1　解析 由f(x)=f′()cos x＋sin x，得f′(x)=－f′()sin x＋cos x，
所以f′()=－f′()sin＋cos，f′()=－f′()＋，
解得f′()=－1.
所以f(x)=(－1)cos x＋sin x．
则f()=(－1)cos＋sin=－1)＋=1.
6.解　(1)y′===．
(2)y′=(ex)′cos x＋ex(cos x)′=ex(cos x－sin x)．
7.解　(1)因为f(x)=ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f ′(x)=2ax＋b．又f ′(x)=2x－8，所以a=1，b=－8.
(2)由(1)可知g(x)=exsin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)=exsin x＋excos x＋2x－8，所以g′(0)=e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8=－7.
又g(0)=3，所以曲线g(x)在点(0，g(0))处的切线方程为y－3=－7(x－0)，即7x＋y－3=0.
8.C　解析 因为y′=(x2＋2x)ex，设切点为(x0，ex0)，所以曲线y=x2ex在点(x0，ex0)处的切线方程为y－ex0=(＋2x0)ex0 (x－x0)．将点(2，0)代入，得x0ex0 (－x0－4)=0，即x0ex0=0或－x0－4=0，所以x0=0或－x0－4=0，因为方程x2－x－4=0有两个不相等的实数根，且不为0，所以方程x0ex0 (－x0－4)=0共有3个不相等的实数根，即过点(2，0)作曲线y=x2ex的切线，可以作3条．
9.D　解析 因为f(x)=ln x－3x＋f′(1)x2，则f′(x)=－3＋2f′(1)x，所以f′(1)=1－3＋2f′(1)，则f′(1)=2，所以f(x)=ln x－3x＋2x2，所以f(1)=ln 1－3＋2=－1.故选D．
10.ABC　解析　对于①，g′(x)=2x＋x 2x ln 2，由x 2x=2x＋x 2x ln 2，得x=，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于②，g′(x)=－ex－2，由－ex－2=－ex－2x，得x=1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
对于③，g′(x)=，根据y=ln x和y=的图象可看出ln x=只有一个实数根，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于④，g′(x)=cos x－2sin x，由sin x＋2cos x=cos x－2sin x，得3sin x=－cos x，
∴tan x=－，根据y=tan x和y=－的图象可看出方程tan x=－有无数个解，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．
11.2　解析　由题意，知点(2，－4)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0=－2x0①．
由f(x)=x3－2x，得f′(x)=3x2－2．
由导数的几何意义，知y=f(x)在M(x0，y0)处的切线的斜率为k=f′(x0)=3－2，故切线的方程为y－y0=(3－2)(x－x0)．
因为点(2，－4)在切线上，所以－4－y0=(3－2)(2－x0)②．
联立①②，得－3=0，解得x0=0或x0=3，故所求切线方程为y=－2x或y=25x－54，则过点(2，－4)与曲线y=f(x)相切的直线有2条．
12.解　由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)=2ax＋b．
所以x2f′(x)－(2x－1)f(x)=x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)=2，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－2=0，所以解得
因此，f(x)=4x2＋4x＋2.
13.4 096　解析　因为f ′(x)=x′ [(x－a1)(x－a2) … (x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2) … (x－a8)]′ x=(x－a1)(x－a2) … (x－a8)＋[(x－a1)(x－a2) … (x－a8)]′ x，
所以f ′(0)=(0－a1)(0－a2) … (0－a8)＋0=a1a2 … a8．
因为数列{an}为等比数列，所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8，所以f ′(0)=84=4 096.

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