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5.1.2第2课时　导数
A级　必备知识基础练
1.设f′(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在　　 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直　　 D．与x轴斜交
2.f(x)=x2在x=1处的导数为(　　)
A．2x　　 B．2　　
C．2＋Δx　　 D．1
3.若=1(m为常数)，则f′(x0)等于(　　)
A．－m　　 B．1　　
C．m　　 D．
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则f′(1) 与f′(3)的大小关系是(　　)
A．f′(1)＜f′(3)　　 B．f′(1)=f′(3)
C．f′(1)＞f′(3)　　 D．f′(1)＋f′(3)＞0
5.(多选题)已知f(x)=3x2＋1，g(x)=2x3＋2，则适合f′(x0)=g′(x0)的x0的值为(　　)
A．0　　 B．1　　
C．2　　 D．±1
6.函数f(x)=x－的导函数为　　　　．
7.(2025无锡高二质检)设y=f(x)为可导函数，且满足条件=－2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是　　　　．
8.求函数y=f(x)=2x2＋4x在x=3处的导数．
9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y=f(t)=3t，求函数y=f(t)在t=2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
B级　关键能力提升练
10.若抛物线y=2x2＋1与直线4x－y＋m=0相切，则m=(　　)
A．－1　　 B．1　　
C．－2　　 D．2
11.曲线y=f(x)=在点P处的切线与直线y=x垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(，2)　　 B．(－，－2)
C．(，2)或(－，－2)　　 D．(－，2)或(，2)
12.若点P是抛物线y=x2上任意一点，则点P到直线y=x－2的最小距离为　　　　．
13.已知直线x＋y=b是函数f(x)=ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b=　　　　，m=　　　　．
14.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)=x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
15.求函数f(x)=x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．
C级　学科素养创新练
16.已知二次函数f(x)=ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，且对于任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为　　　　　．
17.已知直线x＋2y－4=0与抛物线y2=2x相交于A，B两点，O是坐标原点，若曲线AOB上存在一点P，使△ABP的面积最大，求点P的坐标．
答案：
1.B　解析 因为f′(x0)=0，所以曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，故切线与x轴平行或重合．
2.B　解析 f′(1)===(2＋Δx)=2.故选B．
3.D　解析 由题意根据导数的概念可得=m limΔx→0=mf′(x0)=1，所以f′(x0)=．故选D．
4.A　解析 f′(1)与f′(3)分别表示f(x)在x=1处和x=3处的切线的斜率，由图象可得f′(1)＜0，f′(3)＜0，且f(x)在x=1处的切线的倾斜角比x=3处的切线的倾斜角小，所以f′(1)＜f′(3)，故选A．
5.AB　解析 由导数的定义知，令y1=f(x)，y2=g(x)，
==6x0＋3Δx，
==6＋6x0 (Δx)＋2(Δx)2，
=6x0，
=6，
因为f′(x0)=g′(x0)，
所以6x0=6，
所以x0=0或x0=1.
6.f′(x)=1＋　解析 ∵Δy=(x＋Δx)－－(x－)=Δx＋，
∴=1＋，
∴当Δx→0时，1＋→1＋，
∴函数f(x)的导函数为f′(x)=1＋．
7.－4　解析 由=－2，根据导数的定义，可得f′(1)=－2，
所以f′(1)=－4，
即曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－4.
8.解　Δy=2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)=12Δx＋2(Δx)2＋4Δx=2(Δx)2＋16Δx，
所以==2Δx＋16，
所以f ′(3)==(2Δx＋16)=16.
9.解　因为===3，
所以f ′(2)==3.
f ′(2)的实际意义是水流在t=2 s时的瞬时流速为3 m3/s．
10.A　解析 设切点为P(x0，y0)，则Δy=2(x0＋Δx)2＋1－2－1=4x0 Δx＋2(Δx)2，所以=4x0＋2Δx．当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)=4x0，所以4x0=4，所以x0=1，y0=3，将(1，3)代入直线4x－y＋m=0，得m=－1.
11.C　解析 易知曲线在点P处的切线的斜率为－4，设P(x0，)，
因为===－，当Δx→0时，→－，所以－=－4 x0=±，则点P的坐标为(，2)或(－，－2)．故选C．
12.　解析 由题意可得，当点P到直线y=x－2的距离最小时，点P为抛物线y=x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x－2，设y=f(x)=x2，
由导数的几何意义知y′=f′(x)==2x=1，解得x=，所以P(，)，
故点P到直线y=x－2的最小距离为d==．
13.5　3　解析 由题意知，m=a＋2，1＋m=b．
因为f ′(1)==(a－)=a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2．
由a－2=－1，得a=1，所以m=3，b=4，a＋b=5.
14.解　依题意，在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为==
=(－3＋Δx)=－3，其意义表示在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降．在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为
===(5＋Δx)=5，其意义表示在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
15.解　设切点坐标为(x0，y0)，则y0=－3＋x0.
因为Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)=(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(－3＋x0)=3Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，所以=3＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，所以f′(x0)=limΔx→0=3－6x0＋1.
所以切线方程为y－(－3＋x0)=(3－6x0＋1) (x－x0)．
因为切线过原点，所以－3＋x0=3－6＋x0，即2－3=0，解得x0=0或x0=，所以切线方程为x－y=0或5x＋4y=0.
16.2　解析　由导数的定义，
得f ′(0)=
=
=(a Δx＋b)=b＞0.
又
所以ac≥，所以c＞0，所以=≥≥=2，当且仅当a=c=时，等号成立．
17.解　分析可知点P位于x轴的下方．
当y＜0时，y=－，则==，则=－．
设曲线y=－在点(x0，－)处的切线与直线x＋2y－4=0 平行，则－=－，解得x0=2，所以切点坐标为(2，－2)，此时该点到线段AB的距离最大，△ABP的面积最大．故点P的坐标为(2，－2)．

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