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期中模拟测试卷（1-3章）
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程+4=0化为的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．34
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ）
A．14 B．20 C．15 D．10
8．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______．
12．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________．
13．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似．
14．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形．
15．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
16．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：．
18．（6分）如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形．
19．（8分）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求值．
21．（10分）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．
材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
(1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度；
(2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高；
22．（10分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长与的周长之差为，且，求的值．
23．（12分）阅读与思考
下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务．
“A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足． 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得． 即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度．
任务：
(1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________．
(2)补全【基本模型拓展】的证明过程．
(3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________．
24．（12分）综合与探究
问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的；
拓展延伸：
（3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长．
第1页（共1页）期中模拟测试卷（1-3章）
一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程+4=0化为的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解析】解：将+4=0化为的形式为，故，，．
2．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，根据比例的基本性质交叉相乘得：，展开得，移项化简得，等式两边同时除以得，．
3．如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．34
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长为．
故选C.
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，∴，∴或，解得，．
5．如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】菱形中，，对角线平分，
，
与地面平行，
与地面的夹角为．
6．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】 方程的两根为、，∴ 根据根与系数的关系可得 ， ，∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，∴ ．
7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（ ）
A．14 B．20 C．15 D．10
【答案】D
【解析】四边形为矩形，
，，．
由折叠可知，，，
，．
又 ，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴．
8．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】，∴；
，∴，即，∵，∴；
，∴，∵，∴，∴，∵，∴；
，∴；
，∴，无法得到，
所以一共有4个．
9．如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴当时，取得最大值，将代入得，．
10．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取点，，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______．
【答案】24
【解析】菱形的两条对角线长分别是6和8，
菱形的面积为：．
12．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，∴，解得或，∵二次项系数不为0，∴，∴，∴．
13．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似．
【答案】54或
【解析】∵，∴与相似时，或，∴或，∴或，故答案为：54或．
14．如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形．
【答案】6
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，四边形是矩形，此时．
15．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，解得，由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小，当取最大值时，取得最小值，代入得，最小值为．
16．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______．
【答案】6
【解析】连接，∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为，∴A，G，C三点在同一条直线上，，，，∵平行四边形 的面积为，∴ 和 的面积都是，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，同理可得 ，∴与的面积之和为．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：．
【解析】解：．
，
或，
解得：，．
18．（6分）如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形．
19．（8分）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．
(1)填空：___________，___________；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【解析】（1）解：，
；
故答案为：； ．
（2）解：．
证明：∵在的正方形方格中，
，，
∴．
∵， ，， ，
∴．
∴，
∴．
20．（8分）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根，，且，求值．
【解析】（1）证明：
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得，
，
，
解得，
的值为．
21．（10分）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．
材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
(1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度；
(2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高；
【解析】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，
．
根据折叠后正好重合可知．
（2）解：设，则，，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）
．
22．（10分）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长与的周长之差为，且，求的值．
【解析】(1)证明：设令与的交点为G．
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
连接，
∵
∴，
∴．
23．（12分）阅读与思考
下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务．
“A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足． 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得． 即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度．
任务：
(1)材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________．
(2)补全【基本模型拓展】的证明过程．
(3)在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________．
【解析】（1）依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
依据2：相似三角形的对应边成比例．
（2）证明：，
①，
，
②，
∴，得．
将式子两边同时除以，
得．
即．
（3）解：∵，
∴，
∴①；
∵，
∴，
∴②．
①+②，得，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：10．
24．（12分）综合与探究
问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的；
拓展延伸：
（3）如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长．
【解析】(1)四边形是正方形．
理由如下：将绕点C逆时针旋转得到．
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形．
又．
∴四边形是正方形．
(2)证明：如解图，过点B作，交于点M．

∴，，，
由（1）得四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由旋转性质，，
∴，
又∵，
∴（）．
∴．
即点O是的中点；
（3）解：∵正方形边长为4，
∴，
情况1：如解图，当时，连接．
∵，
∴，
∵，
∴点F与点B重合，与重合．
∴点E在上，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
情况2，当时，
由（1）得四边形是正方形，
∴，
∴
∴
由旋转得，，
∴，
在中．
∴．
解得（负值已舍去)．
情况3-当时，
∵，
∴此种情况不存在．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为或．
第1页（共1页）

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